高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率2．6正態(tài)分布 第2章正態(tài)分布學(xué)業(yè)分層測評

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、填空題1．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(X＜3)＝________.【解析】由正態(tài)分布圖象(圖略)知，μ＝3為該圖象的對稱軸，P(X＜3)＝P(X＞3)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．若隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則X在區(qū)間(－3,3]上取值的概率等于________．【答案】3．如圖2-6-2是當(dāng)σ取三個不同值σ1，σ2，σ3時的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是________．圖2-6-2【解析】由已知得eq\f(1,\r(2π)σ2)＝eq\f(1,\r(2π))，∴σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)知，當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，所以σ1＜σ2＜σ3.【答案】σ1＜σ2＜σ34．在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．【解析】由對稱性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝.【答案】5．已知正態(tài)總體落在區(qū)間，＋∞)內(nèi)的概率是，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時達到最高點.【導(dǎo)學(xué)號：29440063】【解析】由正態(tài)曲線的性質(zhì)知：μ＝，故x＝時，正態(tài)曲線f(x)達到最高點．【答案】6．已知隨機變量X～N(2，σ2)，若P(X＜a)＝，則P(a≤X＜4－a)＝________.圖2-6-3【解析】由正態(tài)分布圖象的對稱性可得：P(a≤X＜4－a)＝1－2P(X＜a)＝.【答案】7．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝，則P(X＞2)＝________.【解析】∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝，∴P(X＞2)＝eq\f(1,2)(1－2×＝.【答案】8．已知正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線是P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R.給出以下四個命題：①對任意x∈R，P(μ＋x)＝P(μ－x)成立；②如果隨機變量X服從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；③如果隨機變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；④隨機變量X服從N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命題的序號是________．(寫出所有真命題的序號)【解析】畫出正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線如圖．由圖可得：①圖象關(guān)于x＝μ對稱，故①正確；②隨著x的增加，F(xiàn)(x)＝P(ξ<x)也隨著增加，故②正確；③如果隨機變量ξ服從N(108,100)，那么ξ的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是10；④由圖象的對稱性，可得④正確．故填①②④.【答案】①②④二、解答題9．已知某種零件的尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，且P(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式；(2)估計尺寸在72mm～88mm之間的零件大約占總數(shù)的百分之幾．【解】(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對稱，且在x＝80處取得最大值．因此得μ＝80，eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，所以σ＝8.故正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是P(x)＝eq\f(1,8\r(2π))e－eq\f(x－802,128)(x∈R)．(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X在區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是.因此尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的%.10．設(shè)X～N(6,1)，求P(4＜X≤5)．【解】由已知得μ＝6，σ＝1.∵P(5＜X≤7)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝，P(4＜X≤8)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝.如圖，由正態(tài)分布的對稱性知P(4＜x≤5)＝P(7＜x≤8)．∴P(4＜x≤5)＝eq\f(1,2)[P(4＜x≤8)－P(5＜x≤7)]＝eq\f(1,2)×＝5.[能力提升]1．對于正態(tài)分布N(0,1)的概率密度函數(shù)P(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，有下列四種說法：①P(x)為偶函數(shù)；②P(x)的最大值為eq\f(1,\r(2π))；③P(x)在x＞0時是單調(diào)減函數(shù)，在x≤0時是單調(diào)增函數(shù)；④P(x)關(guān)于σ＝1對稱．不正確的是________(填序號)．【解析】∵X～N(0,1)，∴曲線的對稱軸為x＝μ＝0.【答案】④2．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，則P(0<ξ<2)等于________．【解析】∵P(ξ<4)＝，∴P(ξ>4)＝.由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝，∴P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝.【答案】3．若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，已知P(ξ≤－＝，則P(|ξ|≤等于________．【解析】由隨機變量ξ服從正態(tài)分布N，得P(ξ＜＝1－P(ξ≤－，所以P(|ξ|≤＝P(－＜ξ＜＝P(ξ≤－P(ξ≤－＝1－2P(ξ≤－＝1－2×＝.【答案】4．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：圖2-6-4(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P<Z<；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間,的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝4.【解】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220×＋230×＝200，s2＝(－30)