高中數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí) 江蘇省2023年高考數(shù)學(xué)三輪專題復(fù)習(xí)素材倒數(shù)第6天

倒數(shù)第6天立體幾何[保溫特訓(xùn)]1．一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該球的體積為4eq\r(3)π，則該正方體的表面積為________．解析設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則依題意有eq\f(4πR3,3)＝4eq\r(3)π，解得R＝eq\r(3).因?yàn)閑q\r(3)a＝2R＝2eq\r(3)，所以a＝2.故該正方體的面積為6a2＝24.答案242．一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的正四棱錐形容器．當(dāng)x＝6cm時(shí)，該容器的容積為________cm3.解析由題意可知道，這個(gè)正四棱錐形容器的底面是以6cm為邊長的正方形，側(cè)高為5cm，高為4cm，所以所求容積為48cm3.答案483．如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．解析如圖，分別過點(diǎn)A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連接DG、CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，所以S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，所以V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).答案eq\f(\r(2),3)4．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題：①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；③若α∥β，l∥α則l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.其中真命題是______________(寫出所有真命題的序號)．解析①：只有當(dāng)l與m相交時(shí)，才可證明α∥β；③：l可能在平面β內(nèi)．答案②④5．設(shè)α，β為兩個(gè)不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥n，m⊥α，n?α則n∥α；②若α⊥β，則α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，則α⊥β；④若n?α，m?β，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直．其中，所有真命題的序號是________．解析③錯(cuò)誤，α，β相交或平行；④錯(cuò)誤，n與m可以垂直，不妨令n＝α∩β，則在β內(nèi)存在m⊥n.答案①②6．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)條件：①存在一條直線a，a⊥α，a⊥β；②存在一個(gè)平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；④存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分條件的為________(填上所有符號要求的序號)．解析①正確，此時(shí)必有α∥β；②錯(cuò)誤，因?yàn)榇藭r(shí)兩平面平行或相交均可；③錯(cuò)誤，當(dāng)兩直線a，b在兩平面內(nèi)分別與兩平面的交線平行即可；④正確，由于α∥β，經(jīng)過直線α的平面與平面β交于a′，則a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因?yàn)閍，b為異面直線，故a′，b為相交直線，由面面平行的判定定理可知α∥β，綜上可知①④是平面α∥平面β的充分條件．答案①④7．設(shè)a，b為空間的兩條直線，α，β為空間的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若a∥α，a∥β，則α∥β；②若a⊥α，α⊥β，則α⊥β；③若a∥α，b∥α，則a∥b;④若a⊥α，b⊥α，則a∥b.上述命題中，所有真命題的序號是________．解析若a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，即命題①不正確；若a⊥α，a⊥β，則α∥β，即命題②不正確；若a∥α，b∥α，則a∥b或a與b相交或a與b異面，即命題③不正確；若a⊥α，b⊥α，則a∥b，即命題④正確，綜上可得真命題的序號為④.答案④8．已知棱長為eq\r(2)的正方體，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．解析以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的多面體是兩個(gè)全等的正四棱錐的組合體，如圖，一個(gè)正四棱錐的高是正方體的高的一半，故所求的多面體的體積為2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).答案eq\f(\r(2),3)9．已知平面α，β，γ，直線l，m滿足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述條件可推出的結(jié)論有________(請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)．解析畫圖可知①m⊥β、③β⊥γ不一定成立．答案②④10．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確命題的序號是________．解析α∥β?直線l⊥平面β，由于直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m故①正確；由l∥m，直線l⊥平面α可推出直線m⊥平面α，而直線m?平面β，∴α⊥β故③正確．答案①③11．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝BC＝1，A1B＝eq\r(2).(1)求證：平面A1BC⊥平面ACC1A1(2)如果D為AB的中點(diǎn)，求證：BC1∥平面A1CD.證明(1)在△A1AC中，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝1，∴A1C＝1，△A1BC中，BC＝1，A1C＝1，A1B＝eq\r(2)，∴BC⊥A1C，又AA1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC?平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1(2)連接AC1，交A1C于O，連接DO，則由D為AB中點(diǎn)，O為A1C中點(diǎn)得，OD∥BC1，OD?平面A1DC，BC1?平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC12．如圖，在三棱錐S-ABC中，平面EFGH分別與BC，CA，AS，SB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.求證：(1)AB∥平面EFGH；(2)GH∥EF；(3)GH⊥平面SAC.證明(1)因?yàn)镾A⊥平面EFGH，GH?平面EFGH，所以SA⊥GH.又因?yàn)镾A⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB內(nèi)，所以AB∥GH.因?yàn)锳B?平面EFGH，GH?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.(2)因?yàn)锳B∥平面EFGH，AB?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，所以AB∥EF.又因?yàn)锳B∥GH，所以GH∥EF.(3)因?yàn)镾A⊥平面EFGH，SA?平面SAC，所以平面EFGH⊥平面SAC，交線為FG.因?yàn)镚H∥EF，EF⊥FG，所以GH⊥FG.又因?yàn)镚H?平面EFGH，所以GH⊥平面SAC.13．如圖a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，E在BC上，且EF∥AB.已知AB＝AD＝CE＝2，沿線EF把四邊形CDFE折起如圖b，使平面CDFE⊥平面ABEF.(1)求證：AB⊥平面BCE；(2)求三棱錐C-ADE體積．(1)證明在題圖a中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，在題圖b中，CE⊥EF，又平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，CE⊥平面ABEF，AB?平面ABEF，∴CE⊥AB，又∵AB⊥BE，BE∩CE＝E，∴AB⊥平面BCE；(2)解∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，AF⊥FE，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面CDEF，∴AF為三棱錐A-CDE的高，且AF＝1，又∵AB＝CE＝2，∴S△CDE＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴VC-ADE＝eq\f(1,3)·S△CDE·AF＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).[知識排查]1．弄清楚球的簡單組合體中幾何體度量之間的關(guān)系，如棱長為a的正方體的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)a.2．搞清幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所在底面面積