高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語(yǔ)命題及其關(guān)系 模塊綜合評(píng)價(jià)(二)

模塊綜合評(píng)價(jià)(二)(時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的)1．某校教學(xué)大樓共有6層，每層均有2個(gè)樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有()A．25種 B．52種C．12種 D．36種解析：因?yàn)槊繉泳?個(gè)樓梯，所以每層有兩種不同的走法，由分步計(jì)數(shù)原理可知：從一樓至五樓共有25種不同走法．答案：A2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(ξ＜3)等于()\f(1,5) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)解析：由正態(tài)分布的圖象知，x＝μ＝3為該圖象的對(duì)稱(chēng)軸，則P(ξ＜3)＝eq\f(1,2).答案：D3．下表是某廠(chǎng)1～4月份用水量(單位：百?lài)?的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y43由其散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其線(xiàn)性回歸方程是eq\o(y,\s\up12(^))＝－＋a，則a＝()A． B．C． D．解析：eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝，eq\o(b,\s\up12(^))＝，所以eq\o(a,\s\up12(^))＝＋×＝.答案：D4．(2023·陜西卷)二項(xiàng)式(x＋1)n(n∈N*)的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為15，則n＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xr，令r＝2，得x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,n)，所以Ceq\o\al(2,n)＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝－5(舍去)或n＝6.答案：C5．變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，，2)，，3)，，4)，(13，5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，，4)，，3)，，2)，(13，1)．r1表示變量Y與X之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，則()A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1解析：畫(huà)出散點(diǎn)圖(圖略)，由散點(diǎn)圖可知X與Y是正相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)r1＞0，U與V是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r2＜0，所以r2＜0＜r1.答案：C6．若隨機(jī)變量X～B(n，，且E(X)＝3，則P(X＝1)的值是()A．2× B．2×C．3× D．3×解析：因?yàn)閄～B(n，，所以E(X)＝np＝＝3，所以n＝5，所以P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,5)××＝3×.答案：C7．如圖所示，A，B，C表示3種開(kāi)關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別為，，，那么此系統(tǒng)的可靠性為()A． B．C． D．解析：A，B，C三個(gè)開(kāi)關(guān)相互獨(dú)立，三個(gè)中只要至少有一個(gè)正常工作即可，由間接法知P＝1－(1－×(1－(1－＝1－××＝.答案：B8．有三箱粉筆，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，從這三箱粉筆中各抽出一盒，則這三盒中至少有一盒是次品的概率是()A．× B．×C．Ceq\o\al(1,3)× D．1－解析：設(shè)A＝“三盒中至少有一盒是次品”，則eq\o(\s\up7(—),\s\do3(A))＝“三盒中沒(méi)有次品”，又P(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(A)))＝，所以P(A)＝1－.答案：D9．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝()A．1 B．－1C．0 D．2解析：令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋eq\r(3))4.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋eq\r(3))4.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋eq\r(3))4(－2＋eq\r(3))4＝1.答案：A10．某商場(chǎng)開(kāi)展促銷(xiāo)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，搖獎(jiǎng)?chuàng)u出的一組中獎(jiǎng)號(hào)碼是8，2，5，3，7，1，參加抽獎(jiǎng)的每位顧客從0，1，2，…，9這10個(gè)號(hào)碼中任意抽出6個(gè)組成一組，如果顧客抽出6個(gè)號(hào)碼中至少有5個(gè)與中獎(jiǎng)號(hào)碼相同(不計(jì)順序)就可以得獎(jiǎng)，那么得獎(jiǎng)的概率為()\f(1,7) \f(1,32)\f(4,34) \f(5,42)解析：設(shè)A表示“至少有5個(gè)與搖出的號(hào)碼相同”，A1表示“恰有5個(gè)與搖出的號(hào)碼相同”，A2表示“恰有6個(gè)與搖出的號(hào)碼相同”，得A＝A1＋A2，且A1，A2互斥，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(Ceq\o\al(5,6)·Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(6,10))＋eq\f(1,Ceq\o\al(6,10))＝eq\f(5,42).答案：D11．(2023·湖南卷)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線(xiàn)C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線(xiàn))的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()(附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ，σ＜X≤μ＋σ)＝6，(P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝4)A．2386 B．2718C．3413 D．4772解析：設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，則P(0＜X＝1)＝eq\f(1,2)P(－1＜X≤1)＝3，故所投點(diǎn)落入陰影部分的概率P＝eq\f(S陰,S正方形)＝eq\f3,1)＝eq\f(n,10000)，得n＝3413.答案：C12．考查正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線(xiàn)，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線(xiàn)，則所得的兩條直線(xiàn)相互平行但不重合的概率等于()\f(1,75) \f(2,75)\f(3,75) \f(4,75)解析：如題圖所示，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線(xiàn)，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線(xiàn)，不同取法共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225(種)，其中所得的兩條直線(xiàn)相互平行但不重合有AC∥DB，AD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED，共12對(duì)，所以所求概率為P＝eq\f(12,225)＝eq\f(4,75).答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線(xiàn)上)13．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則x＝________.ξ012px2xeq\f(1,4)解析：由隨機(jī)變量概率分布列的性質(zhì)可知：x2＋x＋eq\f(1,4)＝1且0≤x≤1，解得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為，，和，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利________元．解析：50×＋30×－20×＝37(元)．答案：3715．小明和小勇在五種課外讀物中各自選購(gòu)兩種，則他們兩人所選購(gòu)的課外讀物中至少有一種不相同的選法種數(shù)為_(kāi)_______．解析：小明和小勇都有Ceq\o\al(2,5)種選購(gòu)方法，根據(jù)乘法原理，選購(gòu)方法總數(shù)是Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＝100.選購(gòu)的兩本讀物都相同的方法數(shù)是Ceq\o\al(2,5)＝10.故所求的選法種數(shù)為100－10＝90.答案：9016．下列說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝3－5x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位；③線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))必過(guò)(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y)))；④曲線(xiàn)上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系；⑤在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K2＝，則其兩個(gè)變量之間有關(guān)系的可能性是90%.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是________．解析：由方差的性質(zhì)知①正確；由線(xiàn)性回歸方程的特點(diǎn)知③正確；②④⑤均錯(cuò)誤．答案：3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿(mǎn)分10分)兩臺(tái)車(chē)床加工同一種機(jī)械零件如下表：分類(lèi)合格品次品總計(jì)第一臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)35540第二臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)501060總計(jì)8515100從這100個(gè)零件中任取一個(gè)零件，求：(1)取得合格品的概率；(2)取得零件是第一臺(tái)車(chē)床加工的合格品的概率．解：(1)記在100個(gè)零件中任取一個(gè)零件，取得合格品記為A，因?yàn)樵?00個(gè)零件中，有85個(gè)為合格品，則P(A)＝eq\f(85,100)＝.(2)從100個(gè)零件中任取一個(gè)零件是第一臺(tái)加工的概率為P1＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，第一臺(tái)車(chē)床加工的合格品的概率為P2＝eq\f(35,40)＝eq\f(7,8)，所以取得零件是第一臺(tái)車(chē)床加工的合格品的概率P＝P1·P2＝eq\f(2,5)×eq\f(7,8)＝eq\f(7,20).18．(本小題滿(mǎn)分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))eq\s\up12(n)展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)系數(shù)大162，求：(1)n的值；(2)展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)．解：(1)因?yàn)門(mén)3＝Ceq\o\al(2,n)(eq\r(x))n－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))eq\s\up12(2)＝4Ceq\o\al(2,n)xeq\s\up12(\f(n－6,2))，T2＝Ceq\o\al(1,n)(eq\r(x))n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))＝－2Ceq\o\al(1,n)xeq\s\up12(\f(n－3,2))，依題意得4Ceq\o\al(2,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＝162，所以2Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)＝81.所以n2＝81，n＝9.(2)設(shè)第r＋1項(xiàng)含x3項(xiàng)，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(eq\r(x))9－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝(－2)rCr9xeq\s\up12(\f(9－3r,2))，所以eq\f(9－3r,2)＝3，r＝1.所以第二項(xiàng)為含x3的項(xiàng)：T2＝－2Ceq\o\al(1,9)x3＝－18x3.19．(本小題滿(mǎn)分12分)(2023·山東卷)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱(chēng)n為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”是：125，135，145，235，245，345；(2)X的所有取值為－1，0，1.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(11,42)，甲得分X的分布列為：X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)E(X)＝0×eq\f(2,3)＋eq\f(1,14)×(－1)＋eq\f(11,42)×1＝eq\f(4,21).20．(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)甲、乙兩家燈泡廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單位：小時(shí))和Y的分布列分別如表1和表2所示：X90010001100PY95010001050P試問(wèn)哪家工廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？解：由期望的定義，得E(X)＝900×＋1000×＋1100×＝1000，E(Y)＝950×＋1000×＋1050×＝1000.兩家燈泡廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等，需進(jìn)一步考查哪家工廠(chǎng)燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即比較其方差．由方差的定義，得D(X)＝(900－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1100－1000)2×＝2000，D(Y)＝(950－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1050－1000)2×＝1500.因?yàn)镈(X)＞D(Y)，所以乙廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量比甲廠(chǎng)穩(wěn)定，即乙廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好．21．(本小題滿(mǎn)分12分)某5名學(xué)生的總成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生ABCDE總成績(jī)x/分482383421364362數(shù)學(xué)成績(jī)y/分7865716461(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)求數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)總成績(jī)的回歸方程；(3)如果一個(gè)學(xué)生的總成績(jī)?yōu)?50分，試預(yù)測(cè)這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)．(參考數(shù)據(jù)：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819794，482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137760)解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)設(shè)回歸方程為≈，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))≈eq\f(339,5)－×eq\f(2012,5)＝2，所以回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋2.(3)當(dāng)x＝450時(shí)，eq\o(y,\s\up12(^))＝×450＋2＝2≈74，即數(shù)學(xué)成績(jī)大約為74分．22．(本小題滿(mǎn)分12分)在一次物理與化學(xué)兩門(mén)功課的聯(lián)考中，備有6道物理題，4道化學(xué)題，共10道題可供選擇．要求學(xué)生從中任意選取5道作答，答對(duì)4道或5道即為良好成績(jī)．設(shè)隨機(jī)變量ξ為所選5道題中化學(xué)題的題數(shù)．(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望與方差；(2)若學(xué)生甲隨機(jī)選定了5道題，且答對(duì)任意一道題的概率均為，求甲沒(méi)有取得良好成績(jī)的概率(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)．解：(1)依題意，得ξ＝0，1，2，3，4.則P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(5,6)·Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(5,10))＝eq\f