高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量 第二章章末測試

第二章章末測試時間：90分鐘分值：100分一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列命題正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是相等向量B．共線的單位向量是相等向量C．零向量與任一向量共線D．兩平行向量所在直線平行答案：C解析：利用向量的概念進(jìn)行判定．2．向量a，b反向，下列等式成立的是()A．|a－b|＝|a|－|b|B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．|a|＋|b|＝|a－b|D．|a＋b|＝|a－b|答案：C解析：當(dāng)a，b反向時，由向量加法或減法的幾何意義可知，|a－b|＝|a|＋|b|.3．以a＝(－1,2)，b＝(1，－1)為基底表示c＝(3，－2)為()A．c＝4a＋bB．c＝a＋4C．c＝4bD．c＝a－4b答案：B解析：設(shè)c＝xa＋yb，則(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，所以－x＋y＝3且2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4.所以c＝a＋4b.4．已知平面內(nèi)三點(diǎn)A(－1,0)、B(5,6)、P(3,4)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))等于()A．0B．－16C．16D．8答案：B解析：eq\o(AP,\s\up6(→))＝(4,4)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2，－2)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝－16.5．向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)上的射影為()\f(\r(2),2)B．－eq\f(\r(2),2)\f(1,5)D．－eq\f(1,5)答案：C解析：由a·b＝|a||b|cosθ，得|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－1×3＋1×4,\r(32＋42))＝eq\f(1,5).6．已知a＝(3，eq\f(\r(3),2))，b＝＝(－eq\r(3)，cosα)，a∥b且0°＜α＜180°，則α等于()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析：∵a∥b，∴3cosα＝－eq\f(3,2)，∴cosα＝－eq\f(1,2)，又0＜α＜π，∴α＝120°.7．給定兩個向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，則x等于()\f(13,27)\f(13,2)\f(13,3)\f(7,27)答案：D解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝eq\f(7,27).8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，則a與c的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析：由條件知|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝eq\r(5)，∵(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，∴eq\r(5)×eq\r(5)·cosθ＝eq\f(5,2)，其中θ為a＋b與c的夾角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b與a方向相反，∴a與c的夾角為120°.9．在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|等于()A．1\f(3,2)C．2\f(5,2)答案：C解析：先求模的平方．10.將一圓的六個等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)，它們所構(gòu)成的兩個正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一個正六角星，如圖所示的正六角星是以原點(diǎn)O為中心，其中eq\o(x,\s\up6(→,))，eq\o(y,\s\up6(→,))，分別為原點(diǎn)O到兩個頂點(diǎn)的向量．若將原點(diǎn)O到正六角星12個頂點(diǎn)的向量，都寫成為aeq\o(x,\s\up6(→,))＋beq\o(y,\s\up6(→,))的形式，則a＋b的最大值為()A．2B．3C．4D．5答案：D解析：要求a＋b的最大值，只需考慮右圖中6個頂點(diǎn)的向量即可，討論如下：(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(1,0)；(2)∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋3eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(3,1)；(3)∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋2eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(1,2)；(4)∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋eq\o(x,\s\up6(→,))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋eq\o(x,\s\up6(→,))＋(eq\o(y,\s\up6(→,))＋2eq\o(x,\s\up6(→,)))＝2eq\o(y,\s\up6(→,))＋3eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(3,2)；(5)∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(1,1)；(6)∵eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(0,1)．∴a＋b的最大值為3＋2＝5.二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填入題中橫線上．11．已知向量a，b滿足|a|＝2023，|b|＝4，且a·b＝4022，則a與b的夾角為________．答案：eq\f(π,3)解析：設(shè)a與b的夾角為θ，由夾角余弦公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(4022,2023×4)＝eq\f(1,2)，解得θ＝eq\f(π,3).12．已知向量a＝(1，t)，b＝(－1，t).2a－b與b垂直，則|a|＝答案：2解析：由(2a－b)·b＝0，可得t＝±eq\r(3)，所以|a|＝eq\r(12＋±\r(3)2)＝2.13．如右圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝eq\r(2)，AC＝1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC＝2BD，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案：－eq\f(4,3)解析：根據(jù)向量的加減法法則有：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，此時eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(2,3)×2＝－eq\f(4,3).三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．14．已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(eq\r(6)，2)、B(0,3)、C(－eq\f(\r(3),2)，sinα)，α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))．若eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求角α的值．解：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(6)，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)，sinα－3)∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(3,4)＋sinα－32)由|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|得sinα＝eq\f(1,2).又∵α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，∴α＝eq\f(5π,6).15．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是150°，計算：(1)(a＋2b)(2a－b(2)|4a－2b解：(1)(a＋2b)·(2a－b＝2a2＋3a·b－2＝2|a|2＋3|a|·|b|·cos150°－2|b|2＝242＋348·(－eq\f(\r(3),2))－282＝－96－48eq\r(3).(2)|4a－2b|＝eq\r(4a－2b2)＝eq\r(16a2－16a·b＋4b2)＝eq\r(16|a|2－16|a|·|b|·cos150°＋4|b|2)＝eq\r(1642－1648－\f(\r(3),2)＋482)＝8(eq\r(2)＋eq\r(6))．16．已知向量a與b的夾角為eq\f(2,3)π，|a|＝2，|b|＝3，記m＝3a－2b，n＝2a＋kb.(1)若m⊥n，求實(shí)數(shù)k的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得m∥n？說明理由．解：(1)由m⊥n得m·n＝0，即(3a－2b)·(2a＋kb整理得：6|a|2－(4－3k)a·b－2k|b|2＝0，∴27k＝36，∴k＝eq\f(4,3)，∴當(dāng)k＝eq\f(4,3)時，m⊥n.(2)若存在實(shí)數(shù)k，使m∥n，則有m＝λn，即3a－2b＝λ(2a＋kb)，∴(3－2λ)a＝(2＋kλ)∵由題意可知向量a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2λ＝0，,2＋kλ＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,k＝－\f(4,3)，))即存在實(shí)數(shù)k＝－eq\f(4,3)，使得m∥n.17．如圖所示，現(xiàn)有一小船位于d＝60m寬的河邊P處，從這里起，在下游l＝80m的L處河流變成“飛流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向?yàn)樯嫌沃赶蛳掠?與河岸平行)，水速大小為5m/s，為了使小船能安全渡河，船的劃速不能小于多少？解：船速最小時，船應(yīng)在到達(dá)瀑布的那一刻到達(dá)對岸，如圖所示，船的臨界合速度應(yīng)沿eq\o(PQ,\s\up6(→))方向．設(shè)eq\o(PA,\s\up6(→))＝v水，從A向eq\o(PQ,\s\up6(→))作垂線，垂足為B，有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))即表示最小劃速的大小和方向．|v劃|min＝|v水|sinθ＝|v水|·eq\f(d,|\o(PQ,\s\up6(→))|)＝5×eq\f(60,\r(602＋802))＝5×＝3(m/s)，所以劃速最小為3m/s.18．已知點(diǎn)A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)．(1)已知點(diǎn)D(－2,3)，以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))為一組基底來表示eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點(diǎn)P在第四象限，求λ的取值范圍．解：如圖，∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))