高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量2從位移的合成到向量的加法

課時(shí)提升作業(yè)向量的加法一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2023·長(zhǎng)春高一檢測(cè))向量(AB→+MB→)+(BO→+BC→)+OMA.BC→B.AB→C.AC→【解析】選C.原式=AB→+BO→+OM→+MB→+2.如圖所示,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,則OA→+BC→+AB→=A.CD→ B.OC→ C.DA→ 【解題指南】根據(jù)圖形,由向量加法的三角形法則依次求和,即可得到和向量的表達(dá)式,從圖形中找出相對(duì)應(yīng)的有向線段即可.【解析】選B.由題圖可得,OA→+BC→+AB→=OB→+BC→3.(2023·合肥高一檢測(cè))P為四邊形ABCD所在平面上一點(diǎn),PA→+PB→+PC→+PD→=AB→+CD→,A.四邊形ABCD對(duì)角線交點(diǎn) 中點(diǎn)中點(diǎn) 邊上一點(diǎn)【解題指南】利用向量的三角形法則可得:AB→=AP→+PB→,CD→=CP→+PD→.由于PA→+PB→+可得PA→+PC→=AP→+CP→,即PA→+PC【解析】選B.因?yàn)锳B→=AP→+PB→,CD→=又PA→+PB→+PC→+PD→=所以PA→+PC→=AP→所以PA→+PC→=所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn).故選B.4.在平行四邊形ABCD中,CA→+AB→+BD→等于A.AB→ B.BC→ C.CD→ 【解析】選C.CA→+AB→+BD→=CB→+BD→5.(2023·青島高一檢測(cè))如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則OP→+OQ→=(A.OH→ B.OG→ C.EO→ 【解析】選D.設(shè)圖中H左側(cè)的點(diǎn)為I,連接OPIQ,易知四邊形OPIQ為平行四邊形,故OP→+OQ→=OI→,又OI→=【誤區(qū)警示】本題容易出現(xiàn)誤選A的錯(cuò)誤,原因是誤認(rèn)為OPHQ為平行四邊形,因此觀察圖形時(shí)應(yīng)仔細(xì).6.若|a|=3,|b|=4,且a,b方向相反,則|a+b|=() 【解析】選D.由題意可知|a+b|=|b|-|a|=1.二、填空題(每小題4分,共12分)7.在矩形ABCD中,AB→+BC→=,AB→+BA→=,AB→【解析】由向量加法的三角形法則可知,AB→+BC→=AC→,AB→+由向量加法的平行四邊形法則可知,AB→+AD→=答案:AC→08.若a表示“向東走8km”,b表示“向北走8km”,則|a+b|=,a+b的方向是.【解析】在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O(如圖),作OA→=a,AB→=b,則OB→=a+b,|OA→|=|AB→|=8,所以82+8向量OB→的方向是東北方向答案:82km東北方向9.根據(jù)圖示填空:(1)c+d=.(2)f+e=.(3)a+b+d=.(4)c+d+e=.【解析】(1)c+d=AC→+CD→=(2)f+e=AD→+DE→=(3)a+b+d=(AB→+BC→)+CD→=AC→+(4)c+d+e=(AC→+CD→)+DE→=AD→+答案:(1)f(2)g(3)f(4)g三、解答題(每小題10分,共20分)10.(2023·沈陽(yáng)高一檢測(cè))如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),化簡(jiǎn)下列各式:(1)DG→+EA→+(2)EG→+CG→+DA→【解析】(1)DG→+EA→+CB→=GC→+BE→+CB→=GC→+CB→+(2)EG→+CG→+DA→+EB→=EG→+GD→+DA→+AE→=ED→11.在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸,求船行進(jìn)的方向.【解析】作出圖形如圖:船速v船與岸的方向成α角,由圖可知v水+v船=v實(shí)際,結(jié)合已知條件,可知四邊形ABCD為平行四邊形.在Rt△ACD中,|CD→|=|AB→|=|v|AD→|=|v船所以cosα=|CD→||AD所以α=60°,即船行進(jìn)的方向與水流方向成120°角.【變式訓(xùn)練】一條小船要渡過(guò)一條兩岸平行的小河,河的寬度d=100m,船的靜水航行速度為4m/s,水流的速度為2m/s,試問(wèn)當(dāng)船頭與水流方向的夾角為多大時(shí),小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少?此時(shí)小船的實(shí)際航行速度與水流速度的夾角的正切值是多大?【解析】設(shè)小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間為ts,如圖(1),設(shè)AB→表示水流的速度,AD→表示船的航行速度,以AD,AB為鄰邊作?ABCD,則AC→就是船實(shí)際航行的速度.設(shè)∠BAC=α,∠BAD=θ,則AC→相對(duì)于垂直對(duì)岸的速度為v=AD→sinθ,小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間為t=QUOTEd|v|=d|AD→|sinθ=故當(dāng)sinθ=1,即θ=90°時(shí),小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少,為25s.當(dāng)θ=90°,如圖(2),在Rt△ABC中,|AB→|=2,|BC→|=|AD→|=4,所以答:當(dāng)船頭與水流方向的夾角為90°時(shí),小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少,為25s,此時(shí)小船的實(shí)際航行速度與水流速度的夾角的正切值是2.一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2023·濟(jì)寧高一檢測(cè))在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中運(yùn)算的結(jié)果與向量AC1→共線的有①(AB→+BC→)+②(AA1→+A③(AB→+BB1④(AA1→+A個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)【解題指南】由向量的運(yùn)算可得4個(gè)結(jié)果均為向量AC1→【解析】選D.由向量的運(yùn)算可得①(AB→+BC→)+CC1→=AC→+CC②(AA1→+A1D1→)+D1C1→③(AB→+BB1→)+B1C1→=AB④(AA1→+A1B1→)+B1C1→=A2.河水的流速為5m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度駛向?qū)Π?則小船的靜水速度大小為()s s s s【解析】選A.設(shè)河水的流速|(zhì)v2|=5m/s,靜水速度與河水速度的合速度|v|=12m/s,小船的靜水速度為|v1|,因?yàn)闉榱耸购较虼怪焙影?船頭必須斜向上游方向,即:靜水速度v1斜向上游方向,河水速度|v2|=5m/s平行于河岸,靜水速度與河水速度的合速度|v|=12m/s指向?qū)Π?所以靜水速度|v1|=QUOTEv2+v22=13.在平行四邊形ABCD中,若|BC→+BA→|=|BC→+AB→|,A.平行四邊形ABCD為菱形B.平行四邊形ABCD為矩形C.平行四邊形ABCD為正方形D.以上都不正確【解析】選B.因?yàn)锽C→+BA→=BD→,BC所以BC→+AB→=AD→+AB由|BC→+BA→|=|BC→+AB→|可知|所以四邊形ABCD是矩形.4.設(shè)a=(AB→+CD→)+(BC→+DA→),b是任一非零向量,則在下列結(jié)論中,①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|;⑥|a+b|>|a|+|b|.A.①②⑥ B.①③⑥C.①③⑤ D.③④⑤⑥【解析】選C.因?yàn)閍=(AB→+CD→)+(BC→+DA→)=AB→+BC→+CD→+DA→=二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2023·青州高一檢測(cè))已知O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是(填序號(hào))(1)AB→+CB→(2)BA→+DA→(3)AD→+CD→(4)AO→+CO→+OB→+【解析】根據(jù)題意可得:(1)AB→+CB→=DC→+CB→=DB→≠AC(2)BA→+DA→=CD→+DA→=CA→≠AC(3)AD→+CD→=AD→+BA→=BD→(4)AO→+CO→+OB→+OD→=0+0=0,答案:(3)6.當(dāng)非零向量a,b(a,b不共線)滿足時(shí),能使a+b平分a與b的夾角.【解析】菱形的對(duì)角線平分對(duì)角,由平行四邊形法則可得,當(dāng)|a|=|b|時(shí),a+b平分a與b的夾角.答案:|a|=|b|三、解答題(每小題12分,共24分)7.(2023·合肥高一檢測(cè))如圖,點(diǎn)D,E,F分別是△ABC三邊AB,BC,CA的中點(diǎn),求證:(1)AB→+BE→=AC→(2)EA→+FB→+DC→【證明】(1)因?yàn)锳B→+BE→=AC→+CE→=AE→,所以AB→+BE→(2)由向量加法的平行四邊形法則可得:EA→+FB→+DC→=(EF→+ED→)+(FD→+FE→)+(DF→+DE→)=(EF→+FE→【拓展延伸】用向量證明幾何問(wèn)題的一般步驟(1)要把幾何問(wèn)題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量.(2)通過(guò)向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系.(3)還原成幾何問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn),如圖所示,化簡(jiǎn)下列各式:(1)DE→+EA(2)BE→+AB→+(3)DE→+CB→+(4)BA→+DB→+EC→【解析】(1)DE→+EA→=(2)BE→+AB→+EA→=EA→+AB→(3)DE→+CB→+EC→=DE→=DC→+CB→=(4)BA→+DB→+EC=DB→+BA→+AE→+EC8.重為|G|的物體系在OA,OB兩根等長(zhǎng)的輕繩上,輕繩掛在半圓形支架上.如圖所示,若A端位置固定不變,將OB繩的B端沿半圓支架從水平位置逐漸移至豎直的位置C的過(guò)程中.OA繩和OB繩的拉力如何變化?【解題指南】OB繩的B端沿半圓支架從水平位置逐漸移至豎直的位置C的過(guò)程中,物體始終處于平衡狀態(tài),找出不變的物理量,畫出平行四邊形進(jìn)行分析.【解析】對(duì)結(jié)點(diǎn)O受力分析如圖:結(jié)點(diǎn)O始終處于平衡狀態(tài),所以O(shè)B繩和OA繩上的拉力的合力大小保持不變,方向始終是豎直向上的.所以O(shè)A繩和OB繩的拉力變化為:OA繩受力大小變化情況:變小;OB繩受力大小變化情況是:先變小后變大.【變式訓(xùn)練】如圖,在重300N的物體上拴兩根繩子,這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè),與鉛垂線的夾角分別為30°,60°,當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí),求兩