二項分布應用舉例

二項分布及其應用知識歸納1、條件概率及其性質(zhì)⑴對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫 ，用符號來表示，其公式為P(B|A)= .在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A)=_.(2)條件概率具有性質(zhì)：①；TOC\o"1-5"\h\z②如果B和C是兩互斥事件，則P(B+C|A)= —2、 相互獨立事件⑴對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件'若A與B相互獨立，則P(B|A)= ，P(AB)=P(B|A)P(A)= 、若A與B相互獨立，則 ， ， 也都相互獨立'⑷若P(AB)=P(A)P(B)，則 -3、 二項分布⑴獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中毎一次試驗只有兩種相互對立的結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的、(2)在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生k次的概率為 (P為事件A發(fā)生的概率)，若一個隨機變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，簡記為 、自我檢測1、(2011高考，5)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A="取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)"，事件B=取到的2個數(shù)均為偶數(shù)"，則P(B|A)=()1a?8B?41解析:1a?8B?41解析:條件概率P(B|A)=PABPA丄C2+1 4 2 1 1 101P(A)^Cr=^=5,P(AB)=C；=^，aP(B|A)^7=4-5 552、一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，毎次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設停止時共取了E次球，則P(E=12)等于( )a、c1o[1M8)2 b、?8)(罷C、c9；8)(8)2 d、c9(8X|)2

解：事件心12｝表示第12次取到紅球，前11次取到9個紅球，故P（E=12）=C9（8）9[|）28.3．（2011高考）甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為（）1a.2TOC\o"1-5"\h\z3 2 31a.2b?5 c?3 d?41?.?甲、乙兩隊決賽時毎隊贏的概率相等，.??毎場比賽甲、乙贏的概率均為711 3記甲獲冠軍為事件a,則p（a）=2+2x2=44．（2010高考，13）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為 ．解析：由題設分兩種情況：⑴第1個正確，第2個錯誤，第3、4個正確，由乘法公式得P1=O.8XO.2XO.8XO.8=O.1O24. （2）第1、2個錯誤，第3、4個正確，由互斥事件的概率公式得P2=O.2xO.2X0.8X0.8=O.O256.P=P1+P2=O.128.5．（2O11高考，12）隨機抽取的9位同學中，至少有2位同學在同一月份出生的概率是 （默認每個月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到O.OO1）、解析：設事件A為"至少有2位同學在同一月份出生"，則A的對立事件A為"所有人出生月份均不相129同”，則P(A)亠Pg)亠魏亠12X11X1OX9X8X7x6x5x129~1-O.O155=O.98459985.題型講解例1.（2011高考，15）如圖，EFGH是以O為圓心、半徑為1的圓的接正方形、將一顆豆子隨機地扔到該圓,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH”B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）”則（1）P（A）= ?（2）P（B|A）= .［解析］迸圓P(B|A)=［解析］迸圓P(B|A)=PABPA正方形［規(guī)律方法］??條件概率的求法：⑴利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)=PABPA這是通用的求條件概率的方法、(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事nAB件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)= .nA練習1、拋擲紅、藍兩顆骰子，設事件A為“藍色骰子的點數(shù)為3或6”事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”⑴求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)當已知藍色骰子的點數(shù)為3或6時，求兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率、r* 2 1解析：⑴①P(A)=6=j②???兩個骰子的點數(shù)之和共有36個等可能的結(jié)果，點數(shù)之和大于8的結(jié)果共rrIO5有10個…??P(B)=36=?.③當藍色骰子的點數(shù)為3或6時，兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的結(jié)果有5個,5故P(5故P(AB)=—⑵由⑴知P(B|A)=PABPA_5_36 5=T=^.3⑴記"乙獲勝"為事件⑴記"乙獲勝"為事件C，P(C)=P(A1B1)+P(A1B1A2B2)+P(A1B1A2B2A3B3)例2.(2012高考，18)甲、乙兩人輪流投籃，毎人毎次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人1獲勝或毎人都已投球3次時投籃結(jié)束、設甲毎次投籃投中的概率為3，乙毎次投籃投中的概率為2，且各次投籃互不影響、⑴求乙獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率、11解析］設Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)=3，P(Bj=2(k=123)、由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知=P(A1)P(B1)+P?)P(B1)P(A2)P(B2)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(?)P(BJ=Ix2+(lX2)+(lX2)=^-(2)記"投籃結(jié)束時乙只投了2個球"為事件D,則由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(D)=P(d B1A2B2)+P(A1B1A2B2A3)=P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(AJ2＋［規(guī)律方法］… ? ?⑴相互獨立事件是指兩個試驗中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；相互對立事件是指同一次試驗中,兩個事件不會同時發(fā)生；(2)求用“至少”表述的事件的概率時,先求其對立事件的概率往往比較簡單．練習2(2011高考，18改編)紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A,乙對B,丙對C各一盤、已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設各盤比賽結(jié)果相互獨立．(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用￡表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求￡的分布列、解析：⑴設甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F.則D,E,F分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件、因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由對立事件的概率公式知P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有：DEF,DEF,DEF,DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.6x0.5x0.5＋0.6x0.5x0.5＋0.4x0.5x0.5＋0.6x0.5x0.5=0.55(2)由題意知E可能的取值為0,1,2,l.又由(1)知DEF、DEF、DE F是兩兩互斥事件,且各盤比賽的結(jié)果相互獨立,因此P(E=0)=P(D"E "F)=0.4x0.5x0.5=0.1,P(E=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.I5,P(E=I)=P(DEF)=0.6x0.5x0.5=0.15. 由對立事件的概率公式得P(E=2)=1-P(E=0)-P(E=1)-P(E=I)=0.4.所以E的分布列為:

0123P0.10.350.40.15例3.(2010高考，17改編)某種有獎銷售的飲料，瓶蓋印有“獎勵一瓶”或“購買”字樣，購買一瓶1若其瓶蓋印有"獎勵一瓶"字樣即為中獎，中獎概率為石.甲、乙、丙三位同學毎人購買了一瓶該飲料、⑴求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率，(2)求中獎人數(shù)x的分布列、i［解析］⑴設甲、乙、丙中獎的事件分別為A、B、C,那么P(A)=P(B)=P(C)=&p(aE"c)=P(A)P(T)P("c)=6=2256,甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率是磊.(2)X的可能取值為0,1,2,3.(2)X的可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=k=0,1,2,3.所以中獎人數(shù)X的分布列為X0123P12525512167272216SKl)r［規(guī)律方法］ ? ?⑴獨立重復試驗是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗．在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的、(2)二項分布滿足的條件①毎次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的、②各次試驗中的事件是相互獨立的、③毎次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生、④隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)、練習3、(2012高考，17)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為￡和p.49⑴若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為50，求p的值；(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率、TOC\o"1-5"\h\z1 49 1解析：⑴設"至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障"為事件C，那么i-P(C)=i-iop=5O.解得p=5°(2)設"系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)"為事件D,r 1門1 1 972 243那么p(Drc210(1一祁2+(1一祁2罰x 243故系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為250.例4.(2013模擬)一個袋中裝有黑球、白球和紅球共n(n€N*)個，這些球除顏色外完全相同、已知從

2袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是5.現(xiàn)從袋中任意摸出2個球、4⑴若n=15，且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是7,設E表示摸出的2個球中紅球的個數(shù)，求隨機變量E的概率分布列;(2)當n取何值時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為多少？x［解析］⑴設袋中黑球的個數(shù)為X個，記"從袋中任意摸出一個球，得到黑球”為事件A,貝dP(A)=15=25.「.x=6.C2設袋中白球的個數(shù)為y個，記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件B,則P(B)=1--grC154=7，「?y2-29y+120=0，.?.y=5或y=24(舍)、二紅球的個數(shù)為15-6-5=4(個) .??隨機變量E的取值為0,1,2，分布列為012P衛(wèi)44_2_2210535⑵設袋中有黑球z個，則z=|n(n=5,10,15,…)、3設“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個黑球為事件C，貝*)=1-詈備敷占當n=5時，P(C)最大，最大值為召.強化訓練事件B："甲、乙兩枚骰子的點數(shù)之和1、拋擲甲、乙兩枚骰子，若事件A事件B："甲、乙兩枚骰子的點數(shù)之和等于6"，則P(B|A)的值等于()11丄12 1 2 1 PAB18 1解析：由題意知p（A）=36=3，p（ab）=36=18，.p（bIa）=b^a=T=6?332、(2010高考)兩個實習生毎人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為亍和4，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰好有一個一等品的概率為( )

1C.4解析：設事件A："—個實習生加工一等品"，事件B："另一個實習生加工一等品"，由于A、B相互獨立，則恰有一個一等品的概率P=P（ACIB）+P（AAB）1 13 5=P(A)=P(B)+P(A)P(B)=3x4+3x4=^.3、（2011高考）如圖，用K、3、（2011高考）如圖，用K、A「A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng),且A「A?至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、A「A2率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（ ）A、0.960 B、0.864 C、0.720/I.1_亞D、0.576當K正常工作正常工作的概解析：A「A?同時不能工作的概率為0.2x0.2=0.04,所以A「A?至少有一個正常工作的概率為1-0.04=0.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9x0.96=0.864.故選B.4、位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點毎次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是2.質(zhì)點4、位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點毎次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是2.質(zhì)點P移動五次后位于點（2,3）的概率是（ ）B、C￡）a（D解析：質(zhì)點在移動過程中向右移動2次，向上移動3次，因此質(zhì)點P移動5次后位于點（2,3）的概率為QC、C￡)1D、c2c5(2)53,故選B.15、如果15、如果E?B（15，4），則使P（E=k）取最大值的k值為（A、3 B、4C、5D、3或4解析：（特殊值法）?.?p（E=3）=C312， 解析：（特殊值法）?.?p（E=3）=C312， P(E=4)=4311,P(E=5)=P(E=5)=5310 從而易知P(E=3)=P(E=4)>P(E=5)、6、（2012高考，15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其它三門藝術(shù)課各（用數(shù)字作答1節(jié)間接法，分兩，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答解析：使用間接法，分兩類：①某兩節(jié)文化課之間間隔2節(jié)藝術(shù)課方法數(shù)為C2a2c2c3a3=216種、②某2節(jié)文化課之間間隔3節(jié)藝術(shù)課方法數(shù)為：C2A3A3=72種，故所求事件概率為P=1-^6+2=1-|=3=5.7、將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洹⑿∏蛟谙侣涞倪^程中,將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中、已知小球毎次遇到黑色 障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是2，則小球落入A袋中的概率為 1111解：小球落入1111解：小球落入a袋左側(cè)的概率為2^2%2=81r11)3同理落入右側(cè)的概率為8，.?.p=i-(8+8丿=48．(2010高考，15)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以b表示由乙罐取出的球是紅球的事件、則下列結(jié)論中正確的 (寫出所有正確結(jié)論的編號)25?P(B)=5:②P(B|A])=〒；③事件B與事件A]相互獨立；?A]，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因為它與J，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關、解析：對①,P(B)=Cb!解析：對①,P(B)=Cb!+Cb豐22；②，P(B|A1)=C1 51 9 5③，由P(A1)=2，P(B)=22，P(db)=22知p?B)HP(A])p(b)、故事件b與事件a〔不是相互獨立事件;④，從甲罐中只取一球，若取出紅球就不可能是其他，故兩兩互斥； ⑤，由①可算得、答案：②④9．(2011大綱卷，18)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設各車主購買保險相互獨立．求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)、求X的期望、解析：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；P(A)=0.5，P(B)=0.3，C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.D="C，P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2，X?B(100,0.2)，即X服從二項分布，所以期望EX=100x0.2=20.10．(2011天津高考，16)學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)．⑴求在1次游戲中；()摸出3個白球的概率；()獲獎的概率；(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望EX.解析：(1)()設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件A.(i=0,1,2,3)，則()設"在1次游戲中獲獎"為事件b，則b=a2ua3.又卩代)?？?呈學Cj=2，117且A2，A3互斥，所以P(B)=P(