高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面解析幾何初步 第2章平面上兩點(diǎn)間的距離

第2章平面解析幾何初步直線與方程2.1.5平面上兩點(diǎn)間的距離A組基礎(chǔ)鞏固1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則eq\f(|AC|,|CB|)的值為()\f(1,3)\f(1,2)C．3D．2解析：由兩點(diǎn)間的距離公式，得|AC|＝eq\r([3－（－1）2]＋（4－0）2)＝4eq\r(2)，|CB|＝eq\r(（3－5）2＋（4－6）2)＝2eq\r(2)，故eq\f(|AC|,|CB|)＝eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2.答案：D2．直線y＝x上的兩點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別是1，5，則|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)解析：由題意易知P(1，1)，Q(5，5)，所以|PQ|＝eq\r(2（5－1）2)＝4eq\r(2).答案：B3．已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(a，3)且|AB|＝5，則a等于()A．1B．－5C．1或－5D解析：由兩點(diǎn)間距離公式得，(a＋2)2＋(3＋1)2＝52，所以(a＋2)2＝9.所以a＝1或a＝－5.答案：C4．與兩點(diǎn)A(－2，2)，B(2，4)等距離，且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．解析：設(shè)點(diǎn)P(a，0)或(0，b)由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))和(0，3)5．光線從點(diǎn)A(－3，5)射到直線l：3x－4y＋4＝0以后，再反射到一點(diǎn)B(2，15)．(1)求入射線與反射線的方程；(2)求這條光線從A到B的長度．解：(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A1(x0，y0)，由直線AA1與已知直線垂直，且AA1中點(diǎn)也在直線上，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－5,x0＋3)＝－\f(4,3)，,3×\f(x0－3,2)－4×\f(y0＋5,2)＋4＝0，))解得x0＝3，y0＝－3，即A1(3，－3)．于是反射光線方程為eq\f(y＋3,15＋3)＝eq\f(x－3,2－3)，即18x＋y－51＝0.同理B1(14，－1)，入射光線方程為6x＋17y－67＝0.(2)光線從A到B的長度，利用線段的垂直平分線性質(zhì)，即得AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝eq\r(（3－2）2＋（－3－15）2)＝5eq\r(13).B級能力提升6．x軸上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0，2)，(1，1)距離之和的最小值是()\r(2)B．2＋eq\r(2)\r(10)\r(5)＋1解析：作點(diǎn)(1，1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)(1，－1)，則距離之和最小值為eq\r(12＋（－1－2）2)＝eq\r(10).答案：C7．直線y＝3x－4關(guān)于點(diǎn)P(2，－1)對稱的直線l的方程是()A．y＝3x－10 B．y＝3x－18C．y＝3x＋4 D．y＝4x＋3解析：在直線上任取兩點(diǎn)A(1，－1)，B(0，－4)，則其關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)A′，B′可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得為A′(3，－1)，B′(4，2)．由兩點(diǎn)式可求得方程為y＝3x－10.答案：A8．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x軸上有一點(diǎn)M，使得|MA|＋|MB|最短，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()A．(－1，0) B．(1，0)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，0)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(22,5)))解析：如圖所示，A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(－3，－8)，則A′B與x軸的交點(diǎn)即為M，求得M的坐標(biāo)為(1，0)．答案：B9．已知A(5，2a－1)、B(a＋1，a－4)，則AB的最小值是________解析：由兩點(diǎn)間的距離公式得AB＝eq\r(（a－4）2＋（a－4－2a＋1）2)＝eq\r(2a2－2a＋25)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(49,2))≥eq\f(7\r(2),2).答案：eq\f(7\r(2),2)10．點(diǎn)A(－3，1)，C(1，y)關(guān)于點(diǎn)B(－1，－3)對稱，則AC＝______．解析：由已知得eq\f(y＋1,2)＝－3，所以y＝－7，即C(1，－7)，所以|AC|＝eq\r([1－（－3）2]＋（－7－1）2)＝4eq\r(5).答案：4eq\r(5)11．直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線y－x＝1對稱的直線方程是____．解析：設(shè)所求直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則它關(guān)于y－x＝1對稱的點(diǎn)為(y－1，x＋1)，且在直線x－2y＋1＝0上，所以y－1－2(x＋1)＋1＝0，化簡得2x－y＋2＝0.答案：2x－y＋2＝012．甲船在某港口東50km，乙船在同一港口的東14km，南18km處，那么甲、乙解析：以某港口為坐標(biāo)原點(diǎn)建系后得甲船坐標(biāo)為(50，0)，乙船坐標(biāo)為(14，－18)，由兩點(diǎn)間距離公式得甲、乙兩船的距離為eq\r(（50－14）2＋（0＋18）2)＝18eq\r(5).答案：1813．已知點(diǎn)A(a＋1，2)與點(diǎn)B(5，a)的距離為2，求a的值．解：由已知得|AB|＝eq\r([5－（a＋1）]2＋（a－2）2)＝2，即(a－4)2＋(a－2)2＝4，化簡整理得a2－6a＋8＝0解之得a＝2或a＝4.14．已知0<x<1，0<y<1.求證：eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x2＋（1－y）2)＋eq\r(（1－x）2＋y2)＋eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)≥2eq\r(2)，并求等號成立的條件．證明：設(shè)四邊形OABC是正方形，O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，設(shè)P(x，y)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，如圖所示，|PO|＝eq\r(x2＋y2)，|PA|＝eq\r(（1－x）2＋y2)，|PB|＝eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)，PC＝eq\r(x2＋（1－y）2)，OB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(2).因?yàn)镻O＋PB≥BO，PA＋PC≥AC，所以PO＋PB＋PA＋PC≥BO＋AC，即eq\r(x2＋y2)＋eq