第四章 平面勢(shì)流(4.1~4.4)

《高等流體力學(xué)》電子課件上海電力學(xué)院能源與環(huán)境工程學(xué)院工程熱物理學(xué)科平面流動(dòng)：即二維流動(dòng)。流體的速度都平行于某個(gè)平面，且各物理量在此平面的垂直方向上沒(méi)有變化。第四章平面勢(shì)流數(shù)學(xué)表達(dá)的特點(diǎn)：平面勢(shì)流與三維勢(shì)流相比，數(shù)學(xué)上又得到了簡(jiǎn)化，無(wú)需求解偏微分方程，可通過(guò)運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法的方法求解。一、速度勢(shì)函數(shù)1、速度勢(shì)存在的條件2、速度勢(shì)與速度的關(guān)系§4.1速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)或速度勢(shì)函數(shù)允許相差一個(gè)任意常數(shù)，不影響對(duì)流場(chǎng)的描述。3、速度勢(shì)的性質(zhì)§4.1速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)一、速度勢(shì)函數(shù)的曲線是等勢(shì)線，等勢(shì)線的法向與速度矢量的方向重合。沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點(diǎn)與起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。平面流動(dòng)的速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。二、流函數(shù)1、流函數(shù)存在的條件理想不可壓平面流動(dòng)的連續(xù)方程2、流函數(shù)與速度的關(guān)系所有的平面流動(dòng)都存在流函數(shù)。§4.1速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)流函數(shù)允許相差一個(gè)任意常數(shù)，不影響對(duì)流場(chǎng)的描述。的曲線是流線。的曲線上或§4.1速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)兩條流線上的流函數(shù)之差等于兩條流線間單位厚度通過(guò)的體積流量。B通過(guò)dl的體積流量§4.1速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)方程平面流動(dòng)時(shí)，只存在z方向的渦量分量有旋流動(dòng)時(shí)：或無(wú)旋流動(dòng)時(shí)：（滿足拉普拉斯方程）§4.1速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)流線與等勢(shì)線相互垂直?？臻g任意兩點(diǎn)間的勢(shì)函數(shù)變化為：一條等勢(shì)線上任意兩點(diǎn)間的勢(shì)函數(shù)變化為：等勢(shì)線的斜率是：同理，流線的斜率是：故，流線和等勢(shì)線相互正交，并構(gòu)成流網(wǎng)?！?.1速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)一、柯西-黎曼條件§4.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度平面勢(shì)流流動(dòng)，即存在勢(shì)函數(shù)，又存在流函數(shù)上式稱柯西-黎曼條件。流函數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)中有一個(gè)已知，另一個(gè)即可以由上式求出。

二、復(fù)位勢(shì)§4.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度當(dāng)

滿足柯西－黎曼條件，根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，可以用它們構(gòu)造是解析函數(shù)F(ｚ)。F(ｚ)的實(shí)數(shù)部分是速度勢(shì)函數(shù)，虛數(shù)部分是流函數(shù)F(ｚ)為復(fù)位勢(shì)，它也可以用來(lái)描述平面勢(shì)流流動(dòng)。三、復(fù)速度§4.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度因F(z)是解析函數(shù)，所以其導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)方向無(wú)關(guān)，只是平面上點(diǎn)的函數(shù)。構(gòu)造出F(z)復(fù)位勢(shì)函數(shù)來(lái)描寫勢(shì)流流動(dòng)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)是另一個(gè)比較重要的物理量。三、復(fù)速度§4.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度復(fù)速度：共軛復(fù)速度：復(fù)速度與共軛復(fù)速度的乘積等于速度矢量模的平方。四、柱坐標(biāo)下的復(fù)速度§4.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度平面內(nèi)的速度可分解為u,v，也可分解為或復(fù)速度：§4.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度柱坐標(biāo)下的復(fù)速度

：四、柱坐標(biāo)下的復(fù)速度§4.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度復(fù)位勢(shì)允許相差一個(gè)任意常數(shù)，而不影響其所代表的對(duì)流場(chǎng)。五、復(fù)位勢(shì)的性質(zhì)復(fù)位勢(shì)等于常數(shù)等價(jià)于勢(shì)函數(shù)等于常數(shù)和流函數(shù)等于常數(shù)，它們分別代表流場(chǎng)中的等勢(shì)線和流線，等勢(shì)線和流線相交。復(fù)位勢(shì)沿封閉曲線的積分，實(shí)部等于繞該封閉曲線的環(huán)量，虛部表示穿過(guò)該封閉曲線流出的體積流量?！?.2復(fù)位勢(shì)和復(fù)速度任何一個(gè)平面無(wú)旋流動(dòng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)位勢(shì)。六、有關(guān)復(fù)位勢(shì)的討論由此，不可壓縮平面勢(shì)流的問(wèn)題歸結(jié)為尋找相應(yīng)的復(fù)位勢(shì)。給定一個(gè)解析函數(shù)F(z)，其實(shí)數(shù)和虛數(shù)部分可分別看作一個(gè)平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)。（但并非所有的Φ和Ψ都可以作出有物理意義的解釋）由于復(fù)位勢(shì)由勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)構(gòu)成，勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別滿足拉氏方程，解具有可加性，所以復(fù)雜流動(dòng)的復(fù)位勢(shì)可由簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)位勢(shì)迭加而成?！?.3基本流動(dòng)一、均勻流勢(shì)函數(shù)

：復(fù)位勢(shì)函數(shù)

速度：

流函數(shù)

：§4.3基本流動(dòng)一、均勻流勢(shì)函數(shù)

：復(fù)速度：

某一復(fù)變線性函數(shù)：

流函數(shù)

：流體速度：

代入復(fù)位勢(shì)：

§4.3基本流動(dòng)二、點(diǎn)源（匯）勢(shì)函數(shù)

：復(fù)速度：

某一復(fù)變對(duì)數(shù)函數(shù)：

流函數(shù)

：流體速度：

§4.3基本流動(dòng)二、點(diǎn)源（匯）圍繞作徑向速度的積分：代入復(fù)位勢(shì)：

點(diǎn)源在時(shí)：

點(diǎn)匯時(shí)：

§4.3基本流動(dòng)三、點(diǎn)渦某一復(fù)變對(duì)數(shù)函數(shù)：

勢(shì)函數(shù)

：復(fù)速度：

流函數(shù)

：流體速度：

§4.3基本流動(dòng)圍繞的速度環(huán)量：代入復(fù)位勢(shì)：

點(diǎn)渦在時(shí)：

漩渦順時(shí)針?lè)较驎r(shí)：

三、點(diǎn)渦§4.3基本流動(dòng)四、繞角流動(dòng)某一復(fù)變冪次函數(shù)：

勢(shì)函數(shù)

：零流線：

流函數(shù)

：§4.3基本流動(dòng)四、繞角流動(dòng)復(fù)速度：

流體速度：

§4.3基本流動(dòng)四、繞角流動(dòng)n=2n=1n=?n小于?

時(shí)得到大于2π的區(qū)域，這顯然沒(méi)有物理意義。因此n應(yīng)大于?

?！?.3基本流動(dòng)四、繞角流動(dòng)§4.3基本流動(dòng)五、偶極子偶極子：一對(duì)無(wú)限接近的強(qiáng)度相等的點(diǎn)源和點(diǎn)匯的迭加。§4.3基本流動(dòng)五、偶極子表示偶極子的強(qiáng)度。方向：從匯指向源§4.3基本流動(dòng)五、偶極子流函數(shù)：令

等于常數(shù)，流線是圓心在y軸且通過(guò)原點(diǎn)的圓族?！?.3基本流動(dòng)五、偶極子復(fù)速度：流體速度：強(qiáng)度為μ，位于點(diǎn)的偶極子的復(fù)位勢(shì)：§4.4圓柱繞流勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)滿足的控制方程是線性的，因此它們的解具有可疊加性。依據(jù)這一原理，上面給出的基本流動(dòng)的復(fù)位勢(shì)函數(shù)可以疊加起來(lái)給出較為復(fù)雜的流動(dòng)問(wèn)題的解。疊加原理§4.4圓柱繞流一、無(wú)環(huán)量圓柱繞流水平均勻流與偶極子疊加復(fù)位勢(shì)：

某一圓的方程:該圓上的復(fù)位勢(shì):該圓上的流函數(shù):§4.4圓柱繞流一、無(wú)環(huán)量圓柱繞流當(dāng)偶極子的強(qiáng)度選為時(shí)，即：圓成為零流線。圓把流場(chǎng)分為兩部分。由于流體不可能穿越一條流線流動(dòng)，所以偶極子流動(dòng)被包圍在圓內(nèi)，而均勻來(lái)流則被排斥在圓外。偶極子向上游的流動(dòng)由于受到均勻來(lái)流作用，折轉(zhuǎn)方向流向下游；均勻來(lái)流流線則發(fā)生彎曲，圍繞圓從圓外流過(guò)。無(wú)環(huán)量圓柱繞流的復(fù)位勢(shì)：§4.4圓柱繞流一、無(wú)環(huán)量圓柱繞流總結(jié)：用一個(gè)半徑為a的圓柱狀薄金屬殼垂直于均勻流插入流場(chǎng)并與圓R＝a的流線相重合，將不會(huì)對(duì)圓內(nèi)的偶極子流動(dòng)和圓外的均勻來(lái)流形成干擾。移去金屬殼內(nèi)的偶極子流體，填充以固體材料形成一個(gè)固體圓柱，圓外的流動(dòng)將保持不變。也就是說(shuō)速度為U的均勻來(lái)流和強(qiáng)度為的偶極子流動(dòng)疊加后在R>a

的區(qū)域形成的流場(chǎng)即是速度為U的均勻來(lái)流繞流R=a的圓柱流動(dòng)?！?.4圓柱繞流一、無(wú)環(huán)量圓柱繞流前者是和實(shí)際情況符合的，而后者則與實(shí)際不符，這就是著名的達(dá)朗貝爾佯謬。這主要是由于沒(méi)有考慮粘性對(duì)流動(dòng)的影響。在粘性流動(dòng)中圓柱將承受由于存在壁面切應(yīng)力所產(chǎn)生的摩擦阻力和由于邊界層分離所產(chǎn)生的壓差阻力。盡管如此圓柱無(wú)環(huán)量繞流問(wèn)題仍具有重要的理論意義。達(dá)朗貝爾佯謬均勻來(lái)流繞流圓柱的速度場(chǎng)對(duì)x軸和y軸都是對(duì)稱的，因此壓強(qiáng)分布對(duì)x軸和y軸也是對(duì)稱的，于是圓柱所受流體作用力的合力為零，即圓柱不但不承受與氣流垂直的升力，也不承受沿流動(dòng)方向的阻力。§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流無(wú)環(huán)量圓柱繞流和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)渦疊加。復(fù)位勢(shì)：

點(diǎn)渦的流線是同心圓，圓柱表面是一條流線不會(huì)因在原點(diǎn)增加點(diǎn)渦而改變。選擇合適的復(fù)常數(shù)c，使得無(wú)環(huán)流繞流時(shí)的圓周上的Ψ=0，即該圓周是一條流線。1.復(fù)位勢(shì)§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流當(dāng)時(shí)，

則在圓柱面Ψ＝0

。于是，繞半徑為a的圓柱體的有環(huán)量繞流的復(fù)位勢(shì)為：此時(shí)，均勻來(lái)流的速度為U，偶極子強(qiáng)度為，點(diǎn)渦環(huán)量的強(qiáng)度為§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流2.速度場(chǎng)在圓柱面上（R=a）正是理想流體繞流圓柱時(shí)在圓柱表面應(yīng)滿足的邊界條件。§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點(diǎn)在圓柱面上速度為0的點(diǎn)。無(wú)環(huán)量流動(dòng)，有環(huán)量流動(dòng)，§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點(diǎn)有環(huán)量流動(dòng)，有兩個(gè)駐點(diǎn)，分別位于3，4象限，且關(guān)于y軸對(duì)稱。順時(shí)針點(diǎn)渦流場(chǎng)與無(wú)環(huán)量繞流圓柱流場(chǎng)疊加時(shí)，在1，2象限速度增加；在3，4象限速度減少，于是分別在3，4象限的某個(gè)點(diǎn)處速度為零。相當(dāng)于把θ＝0和π的兩個(gè)駐點(diǎn)分別移動(dòng)至3，4象限。一個(gè)駐點(diǎn)，。當(dāng)Γ增大到一定值時(shí)，位于3，4象限的兩個(gè)駐點(diǎn)相互靠近最終匯合在圓柱面的最低點(diǎn)?！?.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點(diǎn)有環(huán)量流動(dòng)，駐點(diǎn)就不再保持在圓柱面上，而是進(jìn)入流體中駐點(diǎn)方程§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點(diǎn)駐點(diǎn)方程由（1）因?yàn)樵诜较螯c(diǎn)渦和圓柱繞流流場(chǎng)速度方向相同，合速度不可能為零。取