高二物理競(jìng)賽第四章金屬電子論課件

第四章金屬電子論第一節(jié)自由電子氣的能量狀態(tài)1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解1.2波矢空間和能態(tài)密度1.3自由電子氣的費(fèi)米能量本節(jié)主要內(nèi)容：1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解(1)金屬中的價(jià)電子彼此之間無相互作用；1.模型(索末菲)

自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：自由的、無相互作用的

、遵從泡利原理的電子氣。(2)金屬內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)為恒定勢(shì)場(chǎng)(價(jià)電子各自在勢(shì)能等于平均勢(shì)能的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng))；(3)價(jià)電子服從費(fèi)米—狄拉克分布。

為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長為L的立方體，又設(shè)勢(shì)阱的深度是無限的。粒子勢(shì)能為2.薛定諤方程及其解每個(gè)電子都可以建立一個(gè)獨(dú)立的薛定諤方程：E---電子的能量----電子的波函數(shù)(是電子位矢的函數(shù))常用邊界條件:周期性邊界條件波矢，為電子的德布羅意波長。電子的動(dòng)量：電子的速度：由正交歸一化條件：由周期性邊界條件：(其中為整數(shù))1.2波矢空間和能態(tài)密度1.波矢空間

以波矢的三個(gè)分量為坐標(biāo)軸的空間稱為波矢空間或空間。金屬中自由電子波矢：(1)在波矢空間每個(gè)(波矢)狀態(tài)代表點(diǎn)占有的體積為：(2)波矢空間狀態(tài)密度(單位體積中的狀態(tài)代表點(diǎn)數(shù)):(3)體積元中的(波矢)狀態(tài)數(shù)為:(4)體積元中的電子狀態(tài)數(shù)為:2.能態(tài)密度(1)定義:(2)計(jì)算:波矢密度兩個(gè)等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)兩等能面間的電子狀態(tài)數(shù)能態(tài)密度

兩等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)：在半徑為k的球體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為：自由電子氣的能態(tài)密度：其中在k空間自由電子的等能面是半徑的球面，1.3自由電子氣的費(fèi)米能量在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是1.費(fèi)米能量

EF---費(fèi)米能級(jí)(等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì))，它的意義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。它是溫度T和晶體自由電子總數(shù)N的函數(shù)。2.圖象

隨著T的增加，f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任何情況下，此能量范圍約在EF附近kBT范圍內(nèi)。3.費(fèi)米面E=EF的等能面稱為費(fèi)米面。(a)T=0k

在絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米面以內(nèi)的狀態(tài)都被電子占據(jù)，球外沒有電子。費(fèi)米能級(jí)(b)

T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，此時(shí)費(fèi)米面以內(nèi)能量離EF約kBT范圍的能級(jí)上的電子能被激發(fā)到EF之上約kBT范圍的能級(jí)。EF4.求EF的表達(dá)式分兩種情況討論：E~E+dE間的電子狀態(tài)數(shù)：E~E+dE間的電子數(shù)：系統(tǒng)總的電子數(shù)：(1)在T=0K時(shí)，上式變成：將自由電子密度N(E)=CE1/2代入得：其中令n=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，則有自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量由下式計(jì)算金屬中一般n~1028m-3，電子質(zhì)量m=9×10-31kg，幾個(gè)電子伏。

由上式可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。(分步積分得來)(2)=0則上式化簡為將g(E)在EF附近展開為泰勒級(jí)數(shù)：

函數(shù)的特點(diǎn)具有類似于函數(shù)的性質(zhì)，僅在EF附近kBT的范圍內(nèi)才有顯著的值。只考慮到二次方項(xiàng)，略去三次方以上的高次項(xiàng)，可得到很顯然，I0等于１，由于為(E-EF)的偶函數(shù)，因此I1=0。令(