北師大版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件第一章數(shù)列

數(shù)列第一章北師大版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件1.通過日常生活和數(shù)學中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式）.2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，會根據(jù)函數(shù)的單調性判斷數(shù)列的增減性.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理學習目標新知講解:

數(shù)新知學習

二數(shù)列的函數(shù)特性

名師點撥

×√×即時鞏固×典例剖析

一數(shù)列的概念及分類

反思感悟判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點．對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)有限還是無限．①②③④⑤⑥①⑤③⑥②④

二數(shù)列的通項公式

反思感悟(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想．(2)觀察、分析數(shù)列中各項的特點是最重要的，觀察出項與序號之間的關系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整．

反思感悟用作差法判斷數(shù)列的單調性關鍵是判斷符號，為此，一般要對差式進行通分，因式分解等變形；若用作商法則要特別注意分母的符號．三數(shù)列的單調性

隨堂小測

A

BC

3.數(shù)列1,2，，，，…中的第26項為________．

課堂小結

§1.2數(shù)列的函數(shù)特性1.同學們觀察數(shù)列中的項與序號之間的關系,你能從中得到什么啟示?你能否寫出它的第n項?項:序號:思考

數(shù)列中的項與序號之間的關系1234…，92.你能把上述數(shù)列按照（n,an)點坐標的形式畫在下面的坐標系中嗎?O1234567

248163264nan圖象是一些離散的點1.理解數(shù)列可視作定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)概念，會畫數(shù)列的圖象.2.理解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念，并會判斷數(shù)列的增減性.課標要求1.理解數(shù)列可視作定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)概念，會畫數(shù)列的圖象.（數(shù)學抽象、數(shù)學建模）2.理解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念，并會判斷數(shù)列的增減性.（數(shù)學抽象）素養(yǎng)要求探究點1數(shù)列的圖像

從函數(shù)的觀點看，數(shù)列的項an是序號n的函數(shù).

即數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N+（或其子集{1,2，…，n}）為定義域的函數(shù).當自變量n按照從小到大的順序依次取值時,所對應的一列函數(shù)值.

反過來，對于函數(shù)y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…

把一個數(shù)列視作定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)，因此可以用圖象（平面直角坐標系內的一串點）來表示數(shù)列，圖象中每個點的坐標為（k,ak），k=1,2,3,…這個圖象也稱為數(shù)列的圖象.1.數(shù)列的圖象【即時練習】

解析

①在平面直角坐標系中描出各點：(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7),(6,8),(7,9)

解析

③在平面直角坐標系中描出各點：(1,5300),(2,5300),┅,(3,5300)

從圖中可以看出，數(shù)列的圖象是由一些點組成的，數(shù)列①對應的函數(shù)圖象是上升的，數(shù)列④對應的函數(shù)圖象是下降的，數(shù)列⑤對應的函數(shù)圖象，這些點在與x軸平行的一條直線上.探究點2數(shù)列的增減性2.遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列一般地，一個數(shù)列{an},如果從第2項起，每一項都大于它的前一項，即an+1>an，那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列.如果從第2項起，每一項都小于它的前一項，即an+1＜an,那么這個數(shù)列叫作遞減數(shù)列.如果數(shù)列{an}的各項都相等，那么這個數(shù)列叫作常數(shù)列.觀察下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列？（1）全體自然數(shù)構成的數(shù)列0,1,2,3,….（2）2008～2014年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構成的數(shù)列82,93,105,119,129,130,132.（3）無窮多個3構成的數(shù)列3,3,3,3,….【即時練習】（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構成的數(shù)列（單位：元）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.解：遞增數(shù)列有：（1）、（2）、（5)中的不足近似值構成的數(shù)列;遞減數(shù)列有：（4）、（5)中的過剩近似值構成的數(shù)列;常數(shù)列有：（3）;思考:上面數(shù)列中哪些是無窮數(shù)列,哪些是有窮數(shù)列?有窮數(shù)列有：（2）、（4）；無窮數(shù)列有：（1）、（3）、（5）.提示:3.例題講解

解（1）an=3-n可以作為這個數(shù)列的一個通項公式，那么,an+1=3-（n+1）=2-n，an+1-an=（2-n）-（3-n）=-1＜0,所以,an+1＜an,因此數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.

解圖1-7是這個數(shù)列的圖象，數(shù)列各項的值負正相間，表示數(shù)列的各點相對于橫軸上下擺動.因此，它既不是遞增的,也不是遞減的.例5一輛郵車每天從A地往B地運送郵件，沿途（包括A,B）共有8站.從A地岀發(fā)時,裝上發(fā)往后面7站的郵件各1件，到達后面各站后卸下前面各站發(fā)往該站的郵件，同時裝上該站發(fā)往后面各站的郵件各1件.試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件數(shù)所成的數(shù)列，畫出該數(shù)列的圖象，并判斷該數(shù)列的增減性.解將A,B之間所有站按1,2,3,4,5,6,7,8依次編號，通過計算，上面各站剩余郵件數(shù)依次排成數(shù)列：7,12,15,16,15,12,7,0.根據(jù)題意，列表，如表1-2.根據(jù)題意，列表，如表1-2.該數(shù)列的圖象如圖1-8.在該數(shù)列中，從a1到a4遞增，從a4到a8遞減.因此，它既不是遞增的，也不是遞減的.CCC本節(jié)課學習的主要內容有：1.數(shù)列圖像的畫法；2.數(shù)列的增減性；3.數(shù)列與函數(shù)的關系；4.數(shù)列的分類數(shù)列的分類從單調性的角度從項數(shù)的角度遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列擺動數(shù)列有窮數(shù)列無窮數(shù)列

從第2項起項與項的大小關系不確定項數(shù)有限項數(shù)無限§2等差數(shù)列第一章2.1等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式及應用，掌握等差數(shù)列的判定方法.3.能用等差數(shù)列的定義推導等差數(shù)列的性質，能用等差數(shù)列的性質解決一些相關問題.4.能用等差數(shù)列的知識解決一些簡單的應用問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理學習目標新知引入

新知學習新知講解

在代數(shù)的學習中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學習中，我們通過運算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類似地，你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？

思考

你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？

二等差數(shù)列的函數(shù)特性

三等差中項

判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)如果一個數(shù)列的每一項與它的前一項的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．()(3)在等差數(shù)列中，除第1項和最后一項外，其余各項都是它前一項和后一項的等差中項．()(4)等差數(shù)列{an}的單調性與公差d有關．(

)(5)若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．()√即時鞏固××√√典例剖析

一等差數(shù)列通項公式的求解反思感悟求通項公式的方法(1)通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫出通項公式，這是求解這類問題的基本方法．(2)已知等差數(shù)列中的兩項，可直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d寫出通項公式．(3)抓住等差數(shù)列的通項公式的結構特點，通過an是關于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．跟蹤訓練(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項a1與公差d.(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.

二等差中項的應用

跟蹤訓練在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．

三等差數(shù)列的實際應用

反思感悟等差數(shù)列在實際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用.將實際問題抽象為等差數(shù)列問題，用數(shù)學方法解決數(shù)列的問題，再把問題的解回歸到實際問題中去，是用數(shù)學方法解決實際問題的一般過程.跟蹤訓練孟子故里鄒城市是我們的家鄉(xiāng)，它曾多次入選中國經(jīng)濟百強縣.經(jīng)濟的發(fā)展帶動了市民對住房的需求.假設該市2019年新建住房400萬平方米，預計在以后的若干年內，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米.那么該市在第（）年新建住房的面積開始大于820萬平方米？2026B.2027C.2028D.2029

C

分析（1）

{an}是一個確定的數(shù)列，只要把a1，a2表示為{bn}中的項，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項公式；（2）設{an}中的第n項是{bn}中的第cn項，根據(jù)條件可以求出n與cn的關系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項.四等差數(shù)列性質的應用

隨堂小測1.數(shù)列{an}的通項公式為an＝5－3n，則此數(shù)列(

)A．是公差為－3的等差數(shù)列 B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項為5的等差數(shù)列 D．是公差為n的等差數(shù)列A

C解析：等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．對比an＝－3n＋5.故公差為－3.故選A.

3.若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項公式．

4.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(

)A．20

B．30C．40 D．50

5.某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費________元．解析

根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費．令a1＝11.2，表示4km處的車費，公差d＝1.2，那么當出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．C23.26.在首項為31，公差為－4的等差數(shù)列中，絕對值最小的項是________.

7.已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù).

課堂小結1.知識清單：(1)等差數(shù)列的相關概念.(2)等差數(shù)列的通項公式和等差中項.(3)等差數(shù)列的性質及應用.2.

方法總結：等差數(shù)列的判定方法：定義法，等差中項法.

§2等差數(shù)列第一章

新知引入

新知學習高斯（Gauss，1777－1855），德國數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一.他在天文學、大地測量學、磁學、光學等領域都做出過杰出貢獻.新知講解

已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)

選用公式

功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1

和an中任意3個，求第4個.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．(

)(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項之和最大．(

)(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項和，則有S2n－1＝(2n－1)an.(

)√即時鞏固√√典例剖析

反思感悟等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．(2)結合等差數(shù)列的性質解題：等差數(shù)列的常用性質：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結合使用．跟蹤訓練在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.解

設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.(1)解法一:由已知得解得

∴S10=10a1+

d=10×3+

×4=210.解法二:由已知得∴a1+a10=42,∴S10==5×42=210.(2)∵S7=

=7a4=42,∴a4=6.∴Sn===

=510,∴n=20.例2已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=32n-n2,求數(shù)列{|an|}的前n項和S'n.解∵an=Sn-Sn-1=33-2n(n≥2),且a1=S1=31,代入上式符合,∴an=33-2n(n∈N*).由an>0得n≤16,∴此數(shù)列的前16項均為正數(shù),從第17項起以后各項均為負數(shù),則對于數(shù)列{|an|}:當1≤n≤16時,S'n=Sn=32n-n2;當n≥17時,S'n=|a1|+…+|a16|+|a17|+…+|an|=(a1+a2+…+a16)-(a17+a18+…+an)=S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=2×(32×16-162)-(32n-n2)=n2-32n+512.∴S'n=

例3已知等差數(shù)列{an}的前12項的和為354,前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27,求該數(shù)列的公差d.

跟蹤訓練

已知{an}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,若Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N*,求Sm+n.

反思感悟求等差數(shù)列(公差d≠0)的前n項和Sn的最大(小)值的常用方法如下:(1)用配方法轉化為求解二次函數(shù)的最大(小)值問題,解題時要注意n∈N*;(2)鄰項異號法:可利用

或

來尋找正、負項的分界點.一般地,在等差數(shù)列{an}中,當a1>0,且Sp=Sq(p≠q)時,若p+q為偶數(shù),則當n=

時,Sn最大;若p+q為奇數(shù),則當n=時,Sn最大.跟蹤訓練在等差數(shù)列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.

四與等差數(shù)列有關的求和問題

隨堂小測1.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(

)A．20

B．30C．40D．50A2.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(

)A．5 B．7C．9 D．11C

3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝－n2，則(

)A．a(chǎn)n＝2n＋1 B．a(chǎn)n＝－2n＋1C．a(chǎn)n＝－2n－1 D．a(chǎn)n＝2n－1B4.在一個等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.1905.某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？

6.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.

課堂小結

§3等比數(shù)列第一章3.1等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列及等比中項的概念．2.掌握等比數(shù)列的通項公式，能運用公式解決相關問題.3.能夠運用等比數(shù)列的知識解決簡單的實際問題．4.能夠運用等比數(shù)列的性質解決有關問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理學習目標新知引入

新知學習

新知講解類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

一等比數(shù)列的概念思考請你回憶一下，等差數(shù)列通項公式的推導過程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導通項公式？

二等比數(shù)列的函數(shù)特性

單調遞減單調遞增

單調遞減單調遞增不變單調遞減單調遞增不變單調遞增單調遞減不變三等比中項

即時鞏固

D2.方程x2－5x＋4＝0的兩根的等比中項是(

)A． B．±2C．±

D．2B典例剖析

一等比數(shù)列通項公式的求解

反思感悟1．在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項．2．等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.

跟蹤訓練有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù).

二等比數(shù)列的實際應用

反思感悟一般地，涉及產(chǎn)值增長率、銀行利息、細胞繁殖等實際問題時，往往與等比數(shù)列有關，可建立等比數(shù)列模型進行求解．

分析根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對數(shù)的知識進行證明．三等比數(shù)列與其他知識的綜合應用

隨堂小測

A2.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a3＝3a1＋2a2，則公比q＝(

)A．1 B．2C．3 D．4C3.（2021·江蘇南通市高二期末）在流行病學中，基本傳染數(shù)

是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假定某種傳染病的基本傳染數(shù)

，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數(shù)為（

）注：初始感染者傳染

個人為第一輪傳染，這

個人再傳染

個人為第二輪感染.A．5 B．6 C．7 D．8

B

5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．解:

(1)因為Sn＝2an＋n－4，所以當n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)證明：因為Sn＝2an＋n－4，所以當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列．C

課堂小結1.知識清單：(1)等比數(shù)列的相關概念.(2)等比數(shù)列的通項公式和等比中項.(3)等比數(shù)列的性質及應用.2.

易錯提示：等比數(shù)列的公比為負數(shù)時，求某一項注意正負的取舍.§3等比數(shù)列第一章

1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其應用．2．會用錯位相減法求數(shù)列的和．3．能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理學習目標新知引入國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質量為40克，據(jù)查，2016--2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.新知學習問題1：每個格子里放的麥粒數(shù)可以構成一個數(shù)列,請判斷分析這個數(shù)列是否是等比數(shù)列?并寫出這個等比數(shù)列的通項公式.

問題2：請將發(fā)明者的要求表述成數(shù)學問題.

我們不妨把各項都用首項和公比來表示.

觀察①式，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變成它的后一項？

新知講解

典例剖析

反思感悟在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當條件與結論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應用．

例3去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預算，請你測算一下從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.分析由題意可知，每年生活垃圾的總量構成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構成等差數(shù)列.因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算．

隨堂小測1.等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，當Sn＝127時，n＝(

)A．8 B．7C．6 D．5B2.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋S3＝0，則公比q＝(

)A．－1 B．1C．－2 D．2A3.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝3，S3＝9，則S4＝(

)A．12 B．－15C．12或－15 D．12或15C

5.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.C-636.等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項和為Sn.(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；(2)若S6＝315，q＝2，求a1.

課堂小結

公式的推導：乘公比錯位相減法解決實際問題時：（1）掌握用等比數(shù)列知識解決增長率等問題的數(shù)學模型，尤其要注意公比與項數(shù)的選??；（2）根據(jù)實際問題，先分清等比數(shù)列與等差數(shù)列,再建立不同的數(shù)學模型；（3）通過實際問題，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與等比數(shù)列的不同特點.§4數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用1．掌握單利、復利的概念．(重點)2．掌握零存整取、定期自動轉存、分期付款等三種模型及應用．(重點、難點)課標要求1．通過對單利、復利、零存整取、定期自動轉存、分期付款等概念的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助數(shù)列的應用，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)．素養(yǎng)要求探究點1

單利與復利探究點2

三種常見模型1.等差數(shù)列模型

零存整取例1銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務,即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利率分別為1.35%,1.55%,1.55%）.規(guī)定每次存入的錢不計復利.（1） 若每月存入金額為x元,月利率r保持不變，存期為n個月，試推導出到期整取時本利和的公式；（2） 若每月初存入500元，到第3年整取時的本利和是多少？(精確到0.01元）（3） 若每月初存入一定金額,希望到1年后整取時取得本利和2000元，則每月初應存入的金額是多少？（精確到0.01元）

【變式練習】【總結提升】2.等比數(shù)列模型

定期自動轉存例2

銀行有另一種儲蓄業(yè)務為定期存款自動轉存.例如，儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后，如果儲戶不取出本利和，則銀行按存款到期時的1年期定期存款利率自動辦理轉存業(yè)務，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自動轉存的儲蓄業(yè)務，假定無利率變化調整因素①,我們來討論以下問題:(1)如果儲戶存入定期為1年的P元存款，定期年利率為r，連存n年后，再取出本利和.試求岀儲戶n年后所得本利和的公式；(2)如果存入1萬元定期存款，存期1年，年利率為1.75%,那么5年后共得本利和多少元？(精確到0.01元)解(1)記n年后得到的本利和為an.根據(jù)題意知：第1年存入的本金P元,1年后到期利息為Pr元,1年后本利和為a1=

P+Pr

=P(1+r)(元)；2年后到期利息為P(1+r)r元,2年后本利和為a2=P(l+r)+P(l+r)r

=P(l+r)2(元)；不難看出，各年的本利和是一個首項a1=P(l+r)、公比q=l+r的等比數(shù)列{an}，故n年后到期的本利和為an=a1qn-1=P(l+r)(l+r)n-1=P(l+r)n(元).(2)由(1)可知,5年后本利和為a5=10000×(1+0.0175)5≈10906.17（元）.因此,5年后得本利和約為10906.17元.3.分期付款模型例3

小華準備購買一臺售價為5000元的電腦，釆用分期付款方式，并在一年內將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個月的月末第1次付款，再過2個月第2次付款……購買后第12個月末第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.6%,每月利息按復利計算.求小華每期應付的金額是多少？（精確到0.01元）解

假定小華每期還款x元，第k個月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,則A2=5000×(1+0.006)2-x；A4=A2（l+0.006）2-x=5000×1.0064—1.0062x-x；A6=A4（l+0.006）2-x=5000×1.0066-1.0064x—1.0062x-x；……

【變式練習】BBC§5數(shù)學歸納法第一章1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理學習目標新知引入我們從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。新知學習問題1：多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.問題2：你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學語言來描述它？可以看出，條件（2）給出一個遞推根據(jù)（關系），當?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。

新知講解數(shù)學歸納法

典例剖析

反思感悟用數(shù)學歸納法證明恒等式時,應關注以下三點:(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;(3)證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.

二用數(shù)學歸納法證明探索性問題

反思感悟(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項或前n項和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.跟蹤訓練數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項和),先計算數(shù)列的前4項,再猜想an,并證明.

隨堂小測

C2.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)

C

課堂小結

第一章

章末知識梳理與能力提升內容索引知識網(wǎng)絡考點突破真題體驗1知識網(wǎng)絡PARTONE2考點突破PARTTWO一、等差(比)數(shù)列的基本運算1.數(shù)列的基本運算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項公式及求和公式，求數(shù)列中的項、公差、公比及前n項和等，一般試題難度較小.2.通過等差、等比數(shù)列的基本運算，培養(yǎng)數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).例1

在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設數(shù)列{an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.解由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.所以數(shù)列{bn}的前n項和反思感悟在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式an與前n項和公式Sn中，共涉及五個量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1，d或q，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當然在求解中若能運用等差(比)數(shù)列的性質會更好，這樣可以化繁為簡，減少運算量，同時還要注意整體代入思想方法的運用.解因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，跟蹤訓練1已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；解得a1＝－1或a1＝2.解因為a1＞0，所以a1＝2，(2)在(1)的條件下，若a1＞0，求Sn.二、等差、等比數(shù)列的判定1.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點內容，經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，對給定條件進行變形是解題的關鍵所在，經(jīng)常利用此類方法構造等差或等比數(shù)列.2.通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).(1)求b1，b2，b3；將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；解{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.(3)求數(shù)列{an}的通項公式.反思感悟判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(2)中項公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是公比不為1的等比數(shù)列.(2)試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.解得t＝11∈N*，所以a1a2是數(shù)列{an}中的第11項.三、等差、等比數(shù)列的性質及應用1.等差、等比數(shù)列的性質主要涉及數(shù)列的單調性、最值及其前n項和的性質，利用性質求數(shù)列中某一項等.試題充分體現(xiàn)“小”“巧”“活”的特點，題型多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔.2.借助等差、等比數(shù)列的性質及應用，提升邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).例3

(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn取得最大值的n是A.21 B.20 C.19 D.18解析由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35.同理可得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.√∴使Sn取得最大值的n是20.(2)記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝

.又由am－1am＋1－2am＝0(am≠0)，從而am＝2.4則22m－1＝128，故m＝4.反思感悟等差數(shù)列等比數(shù)列若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝am，am＋k，am＋2k，…仍是等差數(shù)列，公差為kdam，am＋k，am＋2k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk若{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等差數(shù)列，則{pan＋qbn}仍是等差數(shù)列若{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則{pan·qbn}仍是等比數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比數(shù)列(q≠－1或q＝－1且m為奇數(shù))√解析設S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，則有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，(2)在等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列的前13項和為A.13 B.26

C.52

D.156√解析3(a3＋a5)