北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課件第一章數(shù)列

數(shù)列第一章北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課件1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）.2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的增減性.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)新知講解:

數(shù)新知學(xué)習(xí)

二數(shù)列的函數(shù)特性

名師點(diǎn)撥

×√×即時鞏固×典例剖析

一數(shù)列的概念及分類

反思感悟判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn)．對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項(xiàng)的個數(shù)有限還是無限．①②③④⑤⑥①⑤③⑥②④

二數(shù)列的通項(xiàng)公式

反思感悟(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想．(2)觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)是最重要的，觀察出項(xiàng)與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負(fù)符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．

反思感悟用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性關(guān)鍵是判斷符號，為此，一般要對差式進(jìn)行通分，因式分解等變形；若用作商法則要特別注意分母的符號．三數(shù)列的單調(diào)性

隨堂小測

A

BC

3.數(shù)列1,2，，，，…中的第26項(xiàng)為________．

課堂小結(jié)

§1.2數(shù)列的函數(shù)特性1.同學(xué)們觀察數(shù)列中的項(xiàng)與序號之間的關(guān)系,你能從中得到什么啟示?你能否寫出它的第n項(xiàng)?項(xiàng):序號:思考

數(shù)列中的項(xiàng)與序號之間的關(guān)系1234…，92.你能把上述數(shù)列按照（n,an)點(diǎn)坐標(biāo)的形式畫在下面的坐標(biāo)系中嗎?O1234567

248163264nan圖象是一些離散的點(diǎn)1.理解數(shù)列可視作定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)概念，會畫數(shù)列的圖象.2.理解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念，并會判斷數(shù)列的增減性.課標(biāo)要求1.理解數(shù)列可視作定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)概念，會畫數(shù)列的圖象.（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模）2.理解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念，并會判斷數(shù)列的增減性.（數(shù)學(xué)抽象）素養(yǎng)要求探究點(diǎn)1數(shù)列的圖像

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列的項(xiàng)an是序號n的函數(shù).

即數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N+（或其子集{1,2，…，n}）為定義域的函數(shù).當(dāng)自變量n按照從小到大的順序依次取值時,所對應(yīng)的一列函數(shù)值.

反過來，對于函數(shù)y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…

把一個數(shù)列視作定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)，因此可以用圖象（平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一串點(diǎn)）來表示數(shù)列，圖象中每個點(diǎn)的坐標(biāo)為（k,ak），k=1,2,3,…這個圖象也稱為數(shù)列的圖象.1.數(shù)列的圖象【即時練習(xí)】

解析

①在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)：(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7),(6,8),(7,9)

解析

③在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)：(1,5300),(2,5300),┅,(3,5300)

從圖中可以看出，數(shù)列的圖象是由一些點(diǎn)組成的，數(shù)列①對應(yīng)的函數(shù)圖象是上升的，數(shù)列④對應(yīng)的函數(shù)圖象是下降的，數(shù)列⑤對應(yīng)的函數(shù)圖象，這些點(diǎn)在與x軸平行的一條直線上.探究點(diǎn)2數(shù)列的增減性2.遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列一般地，一個數(shù)列{an},如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，即an+1>an，那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列.如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，即an+1＜an,那么這個數(shù)列叫作遞減數(shù)列.如果數(shù)列{an}的各項(xiàng)都相等，那么這個數(shù)列叫作常數(shù)列.觀察下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列？（1）全體自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列0,1,2,3,….（2）2008～2014年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構(gòu)成的數(shù)列82,93,105,119,129,130,132.（3）無窮多個3構(gòu)成的數(shù)列3,3,3,3,….【即時練習(xí)】（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成的數(shù)列（單位：元）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.解：遞增數(shù)列有：（1）、（2）、（5)中的不足近似值構(gòu)成的數(shù)列;遞減數(shù)列有：（4）、（5)中的過剩近似值構(gòu)成的數(shù)列;常數(shù)列有：（3）;思考:上面數(shù)列中哪些是無窮數(shù)列,哪些是有窮數(shù)列?有窮數(shù)列有：（2）、（4）；無窮數(shù)列有：（1）、（3）、（5）.提示:3.例題講解

解（1）an=3-n可以作為這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，那么,an+1=3-（n+1）=2-n，an+1-an=（2-n）-（3-n）=-1＜0,所以,an+1＜an,因此數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.

解圖1-7是這個數(shù)列的圖象，數(shù)列各項(xiàng)的值負(fù)正相間，表示數(shù)列的各點(diǎn)相對于橫軸上下擺動.因此，它既不是遞增的,也不是遞減的.例5一輛郵車每天從A地往B地運(yùn)送郵件，沿途（包括A,B）共有8站.從A地岀發(fā)時,裝上發(fā)往后面7站的郵件各1件，到達(dá)后面各站后卸下前面各站發(fā)往該站的郵件，同時裝上該站發(fā)往后面各站的郵件各1件.試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件數(shù)所成的數(shù)列，畫出該數(shù)列的圖象，并判斷該數(shù)列的增減性.解將A,B之間所有站按1,2,3,4,5,6,7,8依次編號，通過計(jì)算，上面各站剩余郵件數(shù)依次排成數(shù)列：7,12,15,16,15,12,7,0.根據(jù)題意，列表，如表1-2.根據(jù)題意，列表，如表1-2.該數(shù)列的圖象如圖1-8.在該數(shù)列中，從a1到a4遞增，從a4到a8遞減.因此，它既不是遞增的，也不是遞減的.CCC本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有：1.數(shù)列圖像的畫法；2.數(shù)列的增減性；3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系；4.數(shù)列的分類數(shù)列的分類從單調(diào)性的角度從項(xiàng)數(shù)的角度遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列擺動數(shù)列有窮數(shù)列無窮數(shù)列

從第2項(xiàng)起項(xiàng)與項(xiàng)的大小關(guān)系不確定項(xiàng)數(shù)有限項(xiàng)數(shù)無限§2等差數(shù)列第一章2.1等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用，掌握等差數(shù)列的判定方法.3.能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì)，能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.4.能用等差數(shù)列的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)新知引入

新知學(xué)習(xí)新知講解

在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類似地，你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？

思考

你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？

二等差數(shù)列的函數(shù)特性

三等差中項(xiàng)

判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)如果一個數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．()(3)在等差數(shù)列中，除第1項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是它前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．()(4)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān)．(

)(5)若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．()√即時鞏固××√√典例剖析

一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解反思感悟求通項(xiàng)公式的方法(1)通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫出通項(xiàng)公式，這是求解這類問題的基本方法．(2)已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)，可直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d寫出通項(xiàng)公式．(3)抓住等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過an是關(guān)于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．跟蹤訓(xùn)練(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項(xiàng)a1與公差d.(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.

二等差中項(xiàng)的應(yīng)用

跟蹤訓(xùn)練在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．

三等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

反思感悟等差數(shù)列在實(shí)際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用.將實(shí)際問題抽象為等差數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)列的問題，再把問題的解回歸到實(shí)際問題中去，是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一般過程.跟蹤訓(xùn)練孟子故里鄒城市是我們的家鄉(xiāng)，它曾多次入選中國經(jīng)濟(jì)百強(qiáng)縣.經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶動了市民對住房的需求.假設(shè)該市2019年新建住房400萬平方米，預(yù)計(jì)在以后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米.那么該市在第（）年新建住房的面積開始大于820萬平方米？2026B.2027C.2028D.2029

C

分析（1）

{an}是一個確定的數(shù)列，只要把a(bǔ)1，a2表示為{bn}中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè){an}中的第n項(xiàng)是{bn}中的第cn項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與cn的關(guān)系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項(xiàng).四等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

隨堂小測1.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－3n，則此數(shù)列(

)A．是公差為－3的等差數(shù)列 B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列 D．是公差為n的等差數(shù)列A

C解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．對比an＝－3n＋5.故公差為－3.故選A.

3.若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

4.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(

)A．20

B．30C．40 D．50

5.某市出租車的計(jì)價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費(fèi)________元．解析

根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi)．令a1＝11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d＝1.2，那么當(dāng)出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費(fèi)a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．C23.26.在首項(xiàng)為31，公差為－4的等差數(shù)列中，絕對值最小的項(xiàng)是________.

7.已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù).

課堂小結(jié)1.知識清單：(1)等差數(shù)列的相關(guān)概念.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng).(3)等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.2.

方法總結(jié)：等差數(shù)列的判定方法：定義法，等差中項(xiàng)法.

§2等差數(shù)列第一章

新知引入

新知學(xué)習(xí)高斯（Gauss，1777－1855），德國數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過杰出貢獻(xiàn).新知講解

已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)

選用公式

功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1

和an中任意3個，求第4個.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．(

)(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大．(

)(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝(2n－1)an.(

)√即時鞏固√√典例剖析

反思感悟等差數(shù)列中的基本計(jì)算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結(jié)合使用．跟蹤訓(xùn)練在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.解

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.(1)解法一:由已知得解得

∴S10=10a1+

d=10×3+

×4=210.解法二:由已知得∴a1+a10=42,∴S10==5×42=210.(2)∵S7=

=7a4=42,∴a4=6.∴Sn===

=510,∴n=20.例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=32n-n2,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和S'n.解∵an=Sn-Sn-1=33-2n(n≥2),且a1=S1=31,代入上式符合,∴an=33-2n(n∈N*).由an>0得n≤16,∴此數(shù)列的前16項(xiàng)均為正數(shù),從第17項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),則對于數(shù)列{|an|}:當(dāng)1≤n≤16時,S'n=Sn=32n-n2;當(dāng)n≥17時,S'n=|a1|+…+|a16|+|a17|+…+|an|=(a1+a2+…+a16)-(a17+a18+…+an)=S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=2×(32×16-162)-(32n-n2)=n2-32n+512.∴S'n=

例3已知等差數(shù)列{an}的前12項(xiàng)的和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32∶27,求該數(shù)列的公差d.

跟蹤訓(xùn)練

已知{an}為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N*,求Sm+n.

反思感悟求等差數(shù)列(公差d≠0)的前n項(xiàng)和Sn的最大(小)值的常用方法如下:(1)用配方法轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的最大(小)值問題,解題時要注意n∈N*;(2)鄰項(xiàng)異號法:可利用

或

來尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn).一般地,在等差數(shù)列{an}中,當(dāng)a1>0,且Sp=Sq(p≠q)時,若p+q為偶數(shù),則當(dāng)n=

時,Sn最大;若p+q為奇數(shù),則當(dāng)n=時,Sn最大.跟蹤訓(xùn)練在等差數(shù)列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.

四與等差數(shù)列有關(guān)的求和問題

隨堂小測1.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(

)A．20

B．30C．40D．50A2.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(

)A．5 B．7C．9 D．11C

3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝－n2，則(

)A．a(chǎn)n＝2n＋1 B．a(chǎn)n＝－2n＋1C．a(chǎn)n＝－2n－1 D．a(chǎn)n＝2n－1B4.在一個等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.1905.某抗洪指揮部接到預(yù)報，24小時后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？

6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.

課堂小結(jié)

§3等比數(shù)列第一章3.1等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念．2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)問題.3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識解決簡單的實(shí)際問題．4.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)新知引入

新知學(xué)習(xí)

新知講解類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

一等比數(shù)列的概念思考請你回憶一下，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項(xiàng)公式？

二等比數(shù)列的函數(shù)特性

單調(diào)遞減單調(diào)遞增

單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變單調(diào)遞增單調(diào)遞減不變?nèi)缺戎许?xiàng)

即時鞏固

D2.方程x2－5x＋4＝0的兩根的等比中項(xiàng)是(

)A． B．±2C．±

D．2B典例剖析

一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解

反思感悟1．在一個等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．2．等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示.

跟蹤訓(xùn)練有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù).

二等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

反思感悟一般地，涉及產(chǎn)值增長率、銀行利息、細(xì)胞繁殖等實(shí)際問題時，往往與等比數(shù)列有關(guān)，可建立等比數(shù)列模型進(jìn)行求解．

分析根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對數(shù)的知識進(jìn)行證明．三等比數(shù)列與其他知識的綜合應(yīng)用

隨堂小測

A2.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a3＝3a1＋2a2，則公比q＝(

)A．1 B．2C．3 D．4C3.（2021·江蘇南通市高二期末）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)

是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假定某種傳染病的基本傳染數(shù)

，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數(shù)為（

）注：初始感染者傳染

個人為第一輪傳染，這

個人再傳染

個人為第二輪感染.A．5 B．6 C．7 D．8

B

5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．解:

(1)因?yàn)镾n＝2an＋n－4，所以當(dāng)n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)證明：因?yàn)镾n＝2an＋n－4，所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．C

課堂小結(jié)1.知識清單：(1)等比數(shù)列的相關(guān)概念.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng).(3)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.2.

易錯提示：等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)時，求某一項(xiàng)注意正負(fù)的取舍.§3等比數(shù)列第一章

1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用．2．會用錯位相減法求數(shù)列的和．3．能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的實(shí)際問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)新知引入國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請?jiān)谄灞P的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質(zhì)量為40克，據(jù)查，2016--2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.新知學(xué)習(xí)問題1：每個格子里放的麥粒數(shù)可以構(gòu)成一個數(shù)列,請判斷分析這個數(shù)列是否是等比數(shù)列?并寫出這個等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

問題2：請將發(fā)明者的要求表述成數(shù)學(xué)問題.

我們不妨把各項(xiàng)都用首項(xiàng)和公比來表示.

觀察①式，相鄰兩項(xiàng)有什么特征？怎樣把某一項(xiàng)變成它的后一項(xiàng)？

新知講解

典例剖析

反思感悟在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．

例3去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.分析由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進(jìn)行計(jì)算．

隨堂小測1.等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，當(dāng)Sn＝127時，n＝(

)A．8 B．7C．6 D．5B2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋S3＝0，則公比q＝(

)A．－1 B．1C．－2 D．2A3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝3，S3＝9，則S4＝(

)A．12 B．－15C．12或－15 D．12或15C

5.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.C-636.等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；(2)若S6＝315，q＝2，求a1.

課堂小結(jié)

公式的推導(dǎo)：乘公比錯位相減法解決實(shí)際問題時：（1）掌握用等比數(shù)列知識解決增長率等問題的數(shù)學(xué)模型，尤其要注意公比與項(xiàng)數(shù)的選??；（2）根據(jù)實(shí)際問題，先分清等比數(shù)列與等差數(shù)列,再建立不同的數(shù)學(xué)模型；（3）通過實(shí)際問題，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與等比數(shù)列的不同特點(diǎn).§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1．掌握單利、復(fù)利的概念．(重點(diǎn))2．掌握零存整取、定期自動轉(zhuǎn)存、分期付款等三種模型及應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))課標(biāo)要求1．通過對單利、復(fù)利、零存整取、定期自動轉(zhuǎn)存、分期付款等概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助數(shù)列的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．素養(yǎng)要求探究點(diǎn)1

單利與復(fù)利探究點(diǎn)2

三種常見模型1.等差數(shù)列模型

零存整取例1銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù),即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利率分別為1.35%,1.55%,1.55%）.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利.（1） 若每月存入金額為x元,月利率r保持不變，存期為n個月，試推導(dǎo)出到期整取時本利和的公式；（2） 若每月初存入500元，到第3年整取時的本利和是多少？(精確到0.01元）（3） 若每月初存入一定金額,希望到1年后整取時取得本利和2000元，則每月初應(yīng)存入的金額是多少？（精確到0.01元）

【變式練習(xí)】【總結(jié)提升】2.等比數(shù)列模型

定期自動轉(zhuǎn)存例2

銀行有另一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.例如，儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后，如果儲戶不取出本利和，則銀行按存款到期時的1年期定期存款利率自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(wù)，假定無利率變化調(diào)整因素①,我們來討論以下問題:(1)如果儲戶存入定期為1年的P元存款，定期年利率為r，連存n年后，再取出本利和.試求岀儲戶n年后所得本利和的公式；(2)如果存入1萬元定期存款，存期1年，年利率為1.75%,那么5年后共得本利和多少元？(精確到0.01元)解(1)記n年后得到的本利和為an.根據(jù)題意知：第1年存入的本金P元,1年后到期利息為Pr元,1年后本利和為a1=

P+Pr

=P(1+r)(元)；2年后到期利息為P(1+r)r元,2年后本利和為a2=P(l+r)+P(l+r)r

=P(l+r)2(元)；不難看出，各年的本利和是一個首項(xiàng)a1=P(l+r)、公比q=l+r的等比數(shù)列{an}，故n年后到期的本利和為an=a1qn-1=P(l+r)(l+r)n-1=P(l+r)n(元).(2)由(1)可知,5年后本利和為a5=10000×(1+0.0175)5≈10906.17（元）.因此,5年后得本利和約為10906.17元.3.分期付款模型例3

小華準(zhǔn)備購買一臺售價為5000元的電腦，釆用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個月的月末第1次付款，再過2個月第2次付款……購買后第12個月末第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.6%,每月利息按復(fù)利計(jì)算.求小華每期應(yīng)付的金額是多少？（精確到0.01元）解

假定小華每期還款x元，第k個月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,則A2=5000×(1+0.006)2-x；A4=A2（l+0.006）2-x=5000×1.0064—1.0062x-x；A6=A4（l+0.006）2-x=5000×1.0066-1.0064x—1.0062x-x；……

【變式練習(xí)】BBC§5數(shù)學(xué)歸納法第一章1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)新知引入我們從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。新知學(xué)習(xí)問題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.問題2：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言來描述它？可以看出，條件（2）給出一個遞推根據(jù)（關(guān)系），當(dāng)?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。

新知講解數(shù)學(xué)歸納法

典例剖析

反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時,應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項(xiàng)的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);(3)證明n=k+1時結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.

二用數(shù)學(xué)歸納法證明探索性問題

反思感悟(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.跟蹤訓(xùn)練數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明.

隨堂小測

C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)

C

課堂小結(jié)

第一章

章末知識梳理與能力提升內(nèi)容索引知識網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)突破真題體驗(yàn)1知識網(wǎng)絡(luò)PARTONE2考點(diǎn)突破PARTTWO一、等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算1.數(shù)列的基本運(yùn)算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，求數(shù)列中的項(xiàng)、公差、公比及前n項(xiàng)和等，一般試題難度較小.2.通過等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).例1

在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.解由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和反思感悟在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d或q，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會更好，這樣可以化繁為簡，減少運(yùn)算量，同時還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.解因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；解得a1＝－1或a1＝2.解因?yàn)閍1＞0，所以a1＝2，(2)在(1)的條件下，若a1＞0，求Sn.二、等差、等比數(shù)列的判定1.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，對給定條件進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵所在，經(jīng)常利用此類方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列.2.通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).(1)求b1，b2，b3；將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；解{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.反思感悟判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(2)中項(xiàng)公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是公比不為1的等比數(shù)列.(2)試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請說明理由.解得t＝11∈N*，所以a1a2是數(shù)列{an}中的第11項(xiàng).三、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)，利用性質(zhì)求數(shù)列中某一項(xiàng)等.試題充分體現(xiàn)“小”“巧”“活”的特點(diǎn)，題型多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔.2.借助等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).例3

(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn取得最大值的n是A.21 B.20 C.19 D.18解析由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35.同理可得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.√∴使Sn取得最大值的n是20.(2)記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝

.又由am－1am＋1－2am＝0(am≠0)，從而am＝2.4則22m－1＝128，故m＝4.反思感悟等差數(shù)列等比數(shù)列若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝am，am＋k，am＋2k，…仍是等差數(shù)列，公差為kdam，am＋k，am＋2k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk若{an}，{bn}是兩個項(xiàng)數(shù)相同的等差數(shù)列，則{pan＋qbn}仍是等差數(shù)列若{an}，{bn}是兩個項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{pan·qbn}仍是等比數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比數(shù)列(q≠－1或q＝－1且m為奇數(shù))√解析設(shè)S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，則有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，(2)在等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列的前13項(xiàng)和為A.13 B.26

C.52

D.156√解析3(a3＋a5)