第5章 桿扭轉(zhuǎn)桿件的強(qiáng)度與剛度計(jì)算 -

第5章扭轉(zhuǎn)桿件的強(qiáng)度和剛度計(jì)算5.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形計(jì)算5.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度和剛度計(jì)算5.3非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)簡介5.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形計(jì)算一、描述變形的指標(biāo)三、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力返回*扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動的相對角位移。*剪應(yīng)變（）：直角的改變量一、描述變形的指標(biāo)返回*

平面假設(shè)

橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)過一個角度。5.1.1等直圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力1、實(shí)驗(yàn)觀察：橫截面仍為平面；軸向無伸縮；縱向線變形后仍為平行。返回2、橫截面上的應(yīng)力：1）.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。剪切虎克定律：

2）.物理關(guān)系

剪切彈性模量G、彈性模量E和泊松比γ是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料：*重要關(guān)系Ttmaxtmax變形關(guān)系代入虎克定律：虎克定律：3）.靜力學(xué)關(guān)系令代入物理關(guān)系得：OdA*討論：1僅適用各向同性、線彈性材料，小變形的圓截面等直桿。2T—橫截面上的扭矩，由平衡方程求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離Ip—極慣性矩，純幾何量3應(yīng)力分布tmaxtmaxtmaxtmax（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。4確定最大剪應(yīng)力Wp—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）

mm3或m35.1.2Ip的計(jì)算單位：mm4，m4對于實(shí)心圓截面：DdO對于空心圓截面：dDOd對于實(shí)心圓截面：對于空心圓截面：薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）1、實(shí)驗(yàn)：*實(shí)驗(yàn)前：繪縱向線，圓周線5.1.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)返回*實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。*結(jié)論①各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動②各縱向線均傾斜了同一微小角度③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣的平行四邊形。acddxbdy′′

①無正應(yīng)力②橫截面上各點(diǎn)，只產(chǎn)生垂直于半徑的均布的剪應(yīng)力，沿周向大小不變*微小矩形單元體：2、薄壁圓筒剪應(yīng)力：

A0：平均半徑所作圓的面積。3、剪應(yīng)力互等定理acddxbdy′′tz純剪切應(yīng)力狀態(tài)例5-15.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度和剛度計(jì)算5.2.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算5.2.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計(jì)算5.2.3圓軸扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力返回5.2.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：對于等截面圓軸：([]

：許用剪應(yīng)力)*強(qiáng)度的三種計(jì)算：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面：③求許可載荷：返回

功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸，

[]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。解：①作扭矩圖，確定危險截面②此軸滿足強(qiáng)度要求D3

=135D2=75D1=70ABCmmTmx（1）（2）強(qiáng)度相同（3）比較重量5.2.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計(jì)算1、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式長為l的兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為（當(dāng)T為常量時）返回2、單位長扭轉(zhuǎn)角3、剛度條件4、剛度的三種計(jì)算①校核剛度：②設(shè)計(jì)截面③求許可載荷：傳動軸，n=500r/min，輸入N1=500馬力，輸出N2=200馬力及N3=300馬力，G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？③主動輪與從動輪如何安排合理？解：作內(nèi)力圖

500400N1N3N2ACB

Tx–7.024–4.21(kNm)500400N1N3N2ACBxMn–7.024–4.21(kNm)*由強(qiáng)度條件500400N1N3N2ACBT–7.024–4.21(kNm)*由剛度條件(2),全軸選同一直徑時Tx–4.21(kNm)2.814例5-4長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為a=0.8，外徑D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。5-3扭轉(zhuǎn)超靜定問題

例題兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a)

解:

1.有二個未知約束力偶矩MA,MB，但只有一個獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。(a)MAMB

2.以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個扭轉(zhuǎn)角的絕對值相等。另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3.根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為4.桿的AC段橫截面上的扭矩為從而有(a)

例題2由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。(a)

解:

1.銅桿和鋼管的橫截面上各有一個未知內(nèi)力矩──扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個獨(dú)立的靜力平衡方程Ta+Tb=Me，故為一次超靜定問題。TaTb(b)2.位移相容條件為3.利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程為4.聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程得：TaTb(b)5.銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為鋼管橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在r=a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應(yīng)變應(yīng)該相同是一致的。長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑