第5章 桿扭轉桿件的強度與剛度計算 -

第5章扭轉桿件的強度和剛度計算5.1圓軸扭轉時的應力和變形計算5.2圓軸扭轉時的強度和剛度計算5.3非圓截面桿的自由扭轉簡介5.1圓軸扭轉時的應力和變形計算一、描述變形的指標三、薄壁圓筒的扭轉二、等直圓桿扭轉的應力返回*扭轉角（）：任意兩截面繞軸線轉動的相對角位移。*剪應變（）：直角的改變量一、描述變形的指標返回*

平面假設

橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉過一個角度。5.1.1等直圓桿扭轉的應力1、實驗觀察：橫截面仍為平面；軸向無伸縮；縱向線變形后仍為平行。返回2、橫截面上的應力：1）.變形幾何關系：距圓心為任一點處的與到圓心的距離成正比?！まD角沿長度方向變化率。剪切虎克定律：

2）.物理關系

剪切彈性模量G、彈性模量E和泊松比γ是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料：*重要關系Ttmaxtmax變形關系代入虎克定律：虎克定律：3）.靜力學關系令代入物理關系得：OdA*討論：1僅適用各向同性、線彈性材料，小變形的圓截面等直桿。2T—橫截面上的扭矩，由平衡方程求得。

—該點到圓心的距離Ip—極慣性矩，純幾何量3應力分布tmaxtmaxtmaxtmax（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，結構輕便，應用廣泛。4確定最大剪應力Wp—抗扭截面系數（抗扭截面模量）

mm3或m35.1.2Ip的計算單位：mm4，m4對于實心圓截面：DdO對于空心圓截面：dDOd對于實心圓截面：對于空心圓截面：薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）1、實驗：*實驗前：繪縱向線，圓周線5.1.3薄壁圓筒的扭轉返回*實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。*結論①各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動②各縱向線均傾斜了同一微小角度③所有矩形網格均歪斜成同樣的平行四邊形。acddxbdy′′

①無正應力②橫截面上各點，只產生垂直于半徑的均布的剪應力，沿周向大小不變*微小矩形單元體：2、薄壁圓筒剪應力：

A0：平均半徑所作圓的面積。3、剪應力互等定理acddxbdy′′tz純剪切應力狀態(tài)例5-15.2圓軸扭轉時的強度和剛度計算5.2.1圓軸扭轉時的強度計算5.2.2圓軸扭轉時的剛度計算5.2.3圓軸扭轉時斜截面上的應力返回5.2.1圓軸扭轉時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([]

：許用剪應力)*強度的三種計算：①校核強度：②設計截面：③求許可載荷：返回

功率為150kW，轉速為15.4轉/秒的電動機轉子軸，

[]=30MPa,試校核其強度。解：①作扭矩圖，確定危險截面②此軸滿足強度要求D3

=135D2=75D1=70ABCmmTmx（1）（2）強度相同（3）比較重量5.2.2圓軸扭轉時的剛度計算1、扭轉時的變形由公式長為l的兩截面間相對扭轉角

為（當T為常量時）返回2、單位長扭轉角3、剛度條件4、剛度的三種計算①校核剛度：②設計截面③求許可載荷：傳動軸，n=500r/min，輸入N1=500馬力，輸出N2=200馬力及N3=300馬力，G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2？②若全軸選同一直徑，應為多少？③主動輪與從動輪如何安排合理？解：作內力圖

500400N1N3N2ACB

Tx–7.024–4.21(kNm)500400N1N3N2ACBxMn–7.024–4.21(kNm)*由強度條件500400N1N3N2ACBT–7.024–4.21(kNm)*由剛度條件(2),全軸選同一直徑時Tx–4.21(kNm)2.814例5-4長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內外徑之比為a=0.8，外徑D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。5-3扭轉超靜定問題

例題兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉角。(a)

解:

1.有二個未知約束力偶矩MA,MB，但只有一個獨立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。(a)MAMB

2.以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個扭轉角的絕對值相等。另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3.根據位移相容條件利用物理關系得補充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為4.桿的AC段橫截面上的扭矩為從而有(a)

例題2由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經緊配合而成的組合桿，受扭轉力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。(a)

解:

1.銅桿和鋼管的橫截面上各有一個未知內力矩──扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個獨立的靜力平衡方程Ta+Tb=Me，故為一次超靜定問題。TaTb(b)2.位移相容條件為3.利用物理關系得補充方程為4.聯立求解補充方程和平衡方程得：TaTb(b)5.銅桿橫截面上任意點的切應力為鋼管橫截面上任意點的切應力為上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在r=a處切應力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應變應該相同是一致的。長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內外徑