第九講 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程互功率譜密度

2.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)過(guò)程及其性質(zhì)。2/3/20231兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程中樣本函數(shù)的互功率譜密度考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)，它們的樣本函數(shù)分別為和，定義兩個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)、為：因?yàn)闃颖竞瘮?shù)滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。利用帕斯瓦爾等式，以及實(shí)隨機(jī)過(guò)程，可得即2/3/20232取極限以及交換運(yùn)算次序，可以得出樣本函數(shù)和的(時(shí)間)互平均功率：樣本函數(shù)互功率譜密度2/3/20233兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互功率譜密度隨機(jī)過(guò)程互功率譜密度推廣到隨機(jī)過(guò)程中，并取集合平均（數(shù)學(xué)期望），可以得出兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，Y(t)的互平均功率：2/3/20234

互功率譜密度（互譜密度或互功率譜）：則同理則如果X(t)和Y(t)均是實(shí)隨機(jī)過(guò)程，則2/3/20235二互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)功率譜密度

互相關(guān)函數(shù)互功率譜密度

對(duì)于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)，其互譜密度與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為：

即2/3/20236若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即同理即2/3/20237結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過(guò)程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。若若X(t)為通過(guò)一負(fù)載的電流，Y(t)為加在該負(fù)荷兩端的電壓，則此式等于消耗在該負(fù)載上的平均功率。2/3/20238三互譜密度的性質(zhì)互功率譜密度和功率譜密度是不同的，它不具有頻率的非負(fù)、實(shí)的偶函數(shù)，但它具有自己相應(yīng)的性質(zhì)。2/3/20239性質(zhì)1證明

（令）共軛性

2/3/202310

（令）

性質(zhì)2

證明

同理可證偶函數(shù)

2/3/202311性質(zhì)4

若平穩(wěn)過(guò)程X(t)與Y(t)正交，則有

證明若X(t)與Y(t)正交，則所以性質(zhì)3

奇函數(shù)2/3/202312性質(zhì)5

若X(t)與Y(t)不相關(guān)的平穩(wěn)過(guò)程，X(t)和Y(t)分別具有常數(shù)均值和，有

證明

因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）則

2/3/202313性質(zhì)6

性質(zhì)7

互譜不等式

2/3/202314例設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為:

求互譜密度，。2/3/202315解2/3/202316實(shí)際中，考慮多個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程之和的頻率特性時(shí)，就要應(yīng)用互譜密度。設(shè)Z(t)=X(t)+