第二章 流體運(yùn)動(dòng)

第二章流體的運(yùn)動(dòng)流體：包括氣體、液體流體的基本特征：流動(dòng)性，無(wú)固定形狀？理想流體、穩(wěn)定流動(dòng)連續(xù)性方程、伯努利方程？？實(shí)際流體粘性、雷諾數(shù)、粘性流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律流體運(yùn)動(dòng)的學(xué)科稱為流體動(dòng)力學(xué)可壓縮，體積隨壓強(qiáng)不同而改變。液體的體積變化小，氣體的體積變化大。都有粘性，很多流體的粘性小，在小范圍流動(dòng)時(shí)，粘性造成的影響可以忽略。

理想流體：絕對(duì)不可壓縮、完全沒(méi)有粘滯性2-1理想流體穩(wěn)定流動(dòng)一、理想流體實(shí)際流體二、穩(wěn)定流動(dòng)研究流體運(yùn)動(dòng)的方法有兩種拉格朗日法：將流體分成許多無(wú)窮小的流體質(zhì)元，跟蹤并研究每一個(gè)流體質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)情況，求出它們各自的運(yùn)動(dòng)軌跡和流動(dòng)速度。這實(shí)際上是沿用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)討論流體的運(yùn)動(dòng)。

歐拉法：把注意力集中到各空間點(diǎn)，觀察流體質(zhì)元經(jīng)過(guò)每個(gè)空間點(diǎn)的流速、壓強(qiáng)、密度等物理量，尋求它的空間分布隨時(shí)間的演化規(guī)律。在流動(dòng)過(guò)程中的任一瞬時(shí)，流體在所占據(jù)的空間每一點(diǎn)都具有一定的流速v(x、y、z、t)，，這個(gè)空間稱為流體速度場(chǎng)，簡(jiǎn)稱流場(chǎng)。1、流線和流管流速方向：流線上的切線方向大?。号c流線疏密有關(guān)，如A、B、C流管：在流體中作一微小的閉合曲線，通過(guò)其上各點(diǎn)的流線所圍成的細(xì)管流線：（與電力線和磁力線相似，假想線）2、穩(wěn)定流動(dòng)流線上任一點(diǎn)速度大小、方向都不隨時(shí)間變化，即流線的形狀保持不變流線即流體質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡3、性質(zhì)（1）流線不能相交（2）在某一流管內(nèi)，外面流線不能流進(jìn)來(lái)，里面流線不能流出去2-2連續(xù)性方程伯努利方程一、理想流體的連續(xù)性方程在穩(wěn)定流動(dòng)中，假設(shè)一段細(xì)流管，且任一截面上的各物理量都可以看成均勻的，即（ρ1、S1、v1）和（ρ

2、S2、v2）經(jīng)過(guò)t時(shí)間，通過(guò)截面S1流入流管質(zhì)量為經(jīng)過(guò)t時(shí)間，通過(guò)截面S2流出流管質(zhì)量為根據(jù)質(zhì)量守恒原則及穩(wěn)定流動(dòng)的特點(diǎn)有m1=m2，即質(zhì)量流量守恒定律如果是不可壓縮的流體，即有體積流量守恒定律說(shuō)明：1、條件：（1）理想流體（2）穩(wěn)定流動(dòng)2、單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量流量：Q=ρ

Sv（單位：kg/s）3、單位時(shí)間內(nèi)體積流量：V=Sv（單位：m3/s）4、S與v成反比，S大v小，S小v大。5、流管有分支時(shí)：（S,v）（S1,

v1）（S2,v2）二、伯努力方程1、伯努力方程的推導(dǎo)利用功能原理來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)截取一段流體XY作研究對(duì)象各物理量見(jiàn)圖所示，經(jīng)過(guò)t時(shí)間變?yōu)閄'和Y'F1=P1S1F2=P2S2故當(dāng)流體從XY流到X'Y'時(shí)外力所作功為：故當(dāng)流體從XY流到X'Y'時(shí)的機(jī)械能增量為：由功能原理有：W=E最后整理得：伯努力方程（3）方程中三項(xiàng)都具有壓強(qiáng)的量綱，注意各物理量的單位（5）第一、二項(xiàng)是與速度無(wú)關(guān)稱為靜壓，第三項(xiàng)與速度有關(guān)稱為動(dòng)壓（6）水平管：當(dāng)h1=h2，有：

即流速小的地方壓強(qiáng)大，流速大的地方壓強(qiáng)小。2、說(shuō)明：（1）成立條件：理想流體在流管中作穩(wěn)定流動(dòng)（2）各項(xiàng)分別代表該點(diǎn)壓強(qiáng)、單位體積內(nèi)的重力勢(shì)能、動(dòng)能（4）伯努利方程也叫能量守恒方程例2-1設(shè)有流量為0.12m3s-1的水流過(guò)一管子，A點(diǎn)的壓強(qiáng)為2×105Pa，A點(diǎn)的截面積為100cm2，B點(diǎn)的截面積為60cm2，B點(diǎn)比A點(diǎn)高2m。假設(shè)水的內(nèi)摩察力可以忽略不計(jì)，求A、B點(diǎn)的流速和B點(diǎn)壓強(qiáng)。解：根據(jù)連續(xù)性方程有又根據(jù)伯努力方程有2-3伯努利方程的應(yīng)用一、壓強(qiáng)與流速的關(guān)系即流速小的地方壓強(qiáng)大，流速大的地方壓強(qiáng)小。水平管中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)1、空吸作用圖2-5空吸作用A處和C處的橫截面積遠(yuǎn)大于B處的橫截面積。在A處加一個(gè)外力使管中流體由A向B處流動(dòng)。B處的流速必遠(yuǎn)大于A處和C處的流速，B處的壓強(qiáng)小。若增加流管中流體的流速，可以使B處的流速增到很大，而使B處的壓強(qiáng)很小，于是D容器中的流體因受大氣壓強(qiáng)的作用被壓縮到B處，而被水平管中的流體帶走。這種作用叫空吸作用。

2、流速計(jì)（皮托管）分析：皮托管是粗細(xì)均勻的水平管，a是一根直管，b是一根直角彎管，直管下端的管口截面與流線平行（c處），彎管下端的管口截面與流線垂直（d處），在d處形成速度為零的滯流區(qū)。比較圖c、d兩處的壓強(qiáng)可得由上式求得的速度就是管中各點(diǎn)的流速，對(duì)于該裝置只求出c、d兩點(diǎn)的高度差，即可求得流速圖2-6流速計(jì)原理圖2-7是一種皮托管的簡(jiǎn)單裝置測(cè)量時(shí)放在待測(cè)流速的流體中，2處流速為零，形成滯流區(qū)，1孔的孔面平行于流線，流速不為零兩處的壓強(qiáng)差可從U形管中液面的高度差測(cè)得，即由上式可得圖2-7皮托管3、流量計(jì)圖2-8文特利管如圖所示，在變截面的水平管的下方，裝有U形管，內(nèi)裝水銀，測(cè)量水平管內(nèi)的流速時(shí)，可將流量計(jì)串聯(lián)于管道中，根據(jù)水銀面的高度差，即可求出流量或流速。

粗、細(xì)兩處各物理量見(jiàn)圖所示，根據(jù)伯努力方程有由連續(xù)性方程有由圖可知由以上3式，解得流量為二、流速和高度的關(guān)系（小孔流速）圖2-9小孔流速大容器下部有一小孔，小孔的面積比容器內(nèi)液體自由表面的小很多，液體可視為理想流體，根據(jù)連續(xù)性方程，小孔處流出液體時(shí)，容器自由表面高度h下降非常緩慢，可近似為自由表面的速度為零。實(shí)際上，隨著液面的下降，小孔處的流速也會(huì)逐漸下降，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，并不是穩(wěn)定流動(dòng)。但因小孔徑極小，若觀測(cè)時(shí)間很短，液面高度沒(méi)有明顯變化，仍然可以看作穩(wěn)定流動(dòng)對(duì)于任一流線，由伯努利方程得由上式得結(jié)果表明，小孔處流速和物體自高度h處自由下落得到的速度是相同的。這一關(guān)系是意大利物理學(xué)理學(xué)家、數(shù)學(xué)家托里斥利（(E.Torricelli)首先發(fā)現(xiàn)的，又稱為托里斥利定理。它反映了壓強(qiáng)不變時(shí)，理想流體穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程中，流體重力勢(shì)能與動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

實(shí)際上水柱自小孔流出時(shí)截面有所收縮，用有效截面S'代替S，則有例2-2一開(kāi)口水槽中的水深為H，如圖例2-2所示。在水面下h深處開(kāi)一小孔。問(wèn)：（1）射出的水流在地板上的射程S是多大?（2）在水槽的其他深度處，能否再開(kāi)一小孔，其射出的水流有相同的射程？（3）小孔開(kāi)在水面下的深度h多大時(shí)，射程最遠(yuǎn)？射程多長(zhǎng)？圖例2-2解：（1）P1=P2=P0，h1=H，h2=H-h

解得：從小孔射出來(lái)的水流作平拋運(yùn)動(dòng)，射到地面時(shí)間為其射程為

（2）假設(shè)在另一個(gè)開(kāi)一小孔，其離液面高度為h'，按上述計(jì)算方法可求得其射程為若有相同射程，即有s=s'解得h'=H-h（3）要使s最大，只要求s的極大值即可

最大射程為Ｈ

求得三、壓強(qiáng)與高度的關(guān)系（體位對(duì)血壓的影響）如果流體在等截面管中流動(dòng)，其流速不變，由伯努力方程可得高處壓強(qiáng)小，低處壓強(qiáng)大解釋體位對(duì)血壓的影響可見(jiàn)測(cè)血壓要注意體位2-4粘性流體的流動(dòng)一、粘性流體的運(yùn)動(dòng)1、層流和湍流層流：粘性液體的分層流動(dòng)，相鄰兩層之間只作相對(duì)滑動(dòng)，流層間沒(méi)有橫向滑動(dòng)，機(jī)械能不守恒，軸線上速度最大，管壁最小。湍流：當(dāng)液體在管中流速很大時(shí)，液體的流動(dòng)不再保持分層流動(dòng)狀態(tài)，而變成無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)流體的流動(dòng)有垂直管軸的分速度，而且還會(huì)出現(xiàn)渦流，整個(gè)流動(dòng)顯得雜亂而不穩(wěn)定

圖2-11粘性流體的流動(dòng)2、牛頓粘滯定律牛頓粘滯定律說(shuō)明：（1）dv/dx表示速度梯度，S表示層與層的接觸面積，η為流體的粘滯系數(shù)（2）粘滯系數(shù)的物理意義：速度梯度為1時(shí)，單位面積上的粘滯阻力（3）粘滯系數(shù)的單位：Pa.s（4）粘滯系數(shù)的大小由流體的性質(zhì)和溫度決定（5）牛頓流體和非牛頓流體：遵守牛頓粘滯定律的流體為牛頓流體，如水和血漿；不遵守牛頓粘滯定律的流體為非牛頓流體，如血液圖2-12粘性力速度梯度3、雷諾數(shù)雷諾數(shù)Re

（1）Re<1000時(shí)，流體作層流（2）Re>1500時(shí)，流體作湍流（3）1000<Re<1500時(shí)，流體流動(dòng)不穩(wěn)定例2-3主動(dòng)脈的內(nèi)半徑為0.01m，血液的流速、粘滯系數(shù)、密度分別為0.25m/s、0.003Pa.s、1050kg/m3，求雷諾數(shù)并判斷血液以何種形態(tài)流動(dòng)。(Re=875)結(jié)論：液體的粘滯系數(shù)愈小、密度愈大，愈容易發(fā)生湍流，細(xì)管不容易發(fā)生湍流；而彎曲的管子容易發(fā)生湍流。說(shuō)明：

二、粘性流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)論：要使粘性流體勻速流體，兩端必須有壓強(qiáng)差圖2-13粘性流體在水平管中的壓強(qiáng)分布幾條豎立直管的液面說(shuō)明，粘性流體在水平管作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，液體的壓強(qiáng)是逐漸減少的，在這里伯努力方程不再適用，因?yàn)榱鲃?dòng)過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)能都沒(méi)有改變，而壓強(qiáng)逐漸減少，這種現(xiàn)象只能用粘性流體在流動(dòng)過(guò)程中要克服粘滯阻力作功來(lái)解釋。1、泊肅葉公式式中R是管子的半徑，η是流體的粘度，L是管子的長(zhǎng)度。

粘性流體在等截面水平細(xì)管作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，如果雷諾數(shù)不大，則流動(dòng)的形態(tài)是層流。泊肅葉公式：說(shuō)明：圖2-14泊肅葉公式的推導(dǎo)泊肅葉公式又可寫(xiě)成如下形式值得注意的是，流阻與管半徑的四次方成反比，半徑的微小變化就會(huì)對(duì)流阻造成很大的影響。血管可以收縮和舒張，其半徑變化對(duì)血液流量的影響是很顯著的。式中其物理意義是：當(dāng)粘性流體流過(guò)一個(gè)水平均勻細(xì)管時(shí)，體積流量與管子兩端的壓強(qiáng)差成正比，而與流阻成反比。稱為流阻流阻的單位：流阻的串并聯(lián)例2-4成年人主動(dòng)脈的半徑為1.3cm。問(wèn)在一段0.2m距離內(nèi)的流阻和壓強(qiáng)降落是多少？設(shè)血流量為，解：可見(jiàn)與平均動(dòng)脈壓13.3kPa相比，主動(dòng)脈的血壓降落是微不足道的2、斯托克司定律分析：當(dāng)物體在粘性流體中作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體表面附著一層流體，此層流體隨物體一起運(yùn)動(dòng)，因而與周?chē)鲗又g存在內(nèi)摩擦力，所以物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中必須克服這一阻力。如果物體是球形的，且流體對(duì)于球體作層流運(yùn)動(dòng)，則球體所受的阻力為斯托克司定律說(shuō)明：R是球體的半徑，v是球體相對(duì)于流體的流速，η是流體的粘滯系數(shù)設(shè)在粘性流體內(nèi)一半徑為R的小球受重力作用而下沉，