第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析在系統(tǒng)的微分方程中包含有表示激勵(lì)和響應(yīng)的時(shí)間函數(shù)以及它門對(duì)于時(shí)間的線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析，歸結(jié)為建立并且求解線性微分方程各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。引言：奇異信號(hào)線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析卷積及其性質(zhì)系統(tǒng)方程的算子表示法本章要點(diǎn)零輸入響應(yīng)的求法信號(hào)的分解FFFFFFFF響應(yīng)的分解形式零輸入響應(yīng)的求法奇異信號(hào)

即本身、其導(dǎo)數(shù)或其積分有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)。單位階躍信號(hào)符號(hào)函數(shù)斜變信號(hào)單位沖激沖激偶信號(hào)§2.1奇異信號(hào)單位階躍信號(hào)1t0t01§2.1奇異信號(hào)可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函數(shù)。§2.1奇異信號(hào)

給函數(shù)的表示帶來(lái)方便tt§2.1奇異信號(hào)用階躍表示矩形脈沖G1(t)G(t)G1(t)t0§2.1奇異信號(hào)信號(hào)加窗或取單邊f(xié)(t)ttt0§2.1奇異信號(hào)試用函數(shù)與階躍函數(shù)表示圖形f(t)=(t/3+2/3)[ε(t+2)-ε(t-1)]-(t/2-1/2)[ε(t-1)-ε(t-3)]

§2.1奇異信號(hào)畫出函數(shù)w1(t)=ε(t-t0)-2ε(t2-t0)+ε(t3-t0)的圖形

§2.1奇異信號(hào)三、符號(hào)函數(shù)Sgn(t)

1.定義2.§2.1奇異信號(hào)四、單位斜變函數(shù)R(t)

1.定義§2.1奇異信號(hào)

斜變信號(hào)——斜坡信號(hào)

01tR(t)0t0

t0+1tR(t-t0)t>=0R(t)=tt<0R(t)=0t>=t0R(t-t0)=t-t0§2.1奇異信號(hào)t<t0R(t-t0)=0單位沖激信號(hào)連續(xù)時(shí)間單位沖激信號(hào) 持續(xù)時(shí)間無(wú)窮小，瞬間幅度無(wú)窮大，涵蓋面積恒為1的一種理想信號(hào)，記狄拉克定義t=0,§2.1奇異信號(hào)0tt≠0,§2.1奇異信號(hào)單位沖激平移沖激函數(shù)的性質(zhì)§2.1奇異信號(hào)(1)偶函數(shù)(2)積分(3)篩選篩選特性t0§2.1奇異信號(hào)沖激序列對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣§2.1奇異信號(hào)tX(t)nX(nT)例：應(yīng)用沖激信號(hào)的性質(zhì)，求下列表達(dá)式的值。

（2）

解：（1）

解：§2.1奇異信號(hào)例:求解：§2.1奇異信號(hào)1、定義§2.1奇異信號(hào)六、求導(dǎo)取極限取極限表示正負(fù)極性的一對(duì)脈沖§2.1奇異信號(hào)2、面積篩選與函數(shù)相乘例：求§2.2信號(hào)的分解直流分量和交流分量偶分量與奇分量脈沖分量實(shí)部分量與虛部分量直流分量：信號(hào)的平均值

1.直流分量與交流分量§2.2信號(hào)的分解即：注：的積分為零。交流分量：原始信號(hào)中除直流分量之外的所得信號(hào)2.偶分量與奇分量§2.2信號(hào)的分解偶分量定義t0奇分量定義0t3.分解成實(shí)部分量和虛部分量§2.2信號(hào)的分解4.分解成沖激脈沖分量之和§2.2信號(hào)的分解變量置換§2.2信號(hào)的分解矩形窄脈沖的極限即為一系列沖激信號(hào)的疊加2.3卷積的定義

設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，∞)區(qū)間上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，將積分定義為f1(t)和f2(t)的卷積，簡(jiǎn)記為

§

2.3卷積及其性質(zhì)如圖所示，求§2.3卷積及其性質(zhì)卷積的計(jì)算§2.3卷積及其性質(zhì)0.5§2.3卷積及其性質(zhì)0.5§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)例給定信號(hào)求y(t)=f1(t)*f2(t)?！?.3卷積及其性質(zhì)

當(dāng)t<0時(shí)，f2(t-τ)波形如圖所示，對(duì)任一τ，乘積f1(τ)f2(t-τ)恒為零，故y(t)=0。§2.3卷積及其性質(zhì)當(dāng)0<t<3時(shí)，f2(t-)波形如圖所示§2.3卷積及其性質(zhì)當(dāng)t>3時(shí)，f2(t-τ)波形如圖所示，僅在0<τ<3范圍內(nèi)，乘積f1(τ)f2(t-τ)不為零，故有§2.3卷積及其性質(zhì)卷積的結(jié)果§2.3卷積及其性質(zhì)練習(xí):給定如圖信號(hào)，求卷積§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)解：§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)3.卷積的性質(zhì)

(2)分配律：

(3)結(jié)合律：

(1)交換律：§2.3卷積及其性質(zhì)4.卷積的微分性質(zhì)5.卷積的積分性質(zhì)6.由4.5兩性質(zhì)可得§2.3卷積及其性質(zhì)7.函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積8.函數(shù)延時(shí)后的卷積例計(jì)算常數(shù)K與信號(hào)f(t)的卷積積分。解常數(shù)K與任意信號(hào)f(t)的卷積值等于該信號(hào)波形凈面積值的K倍。如果應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)來(lái)求解，將導(dǎo)致§2.3卷積及其性質(zhì)例§2.3卷積及其性質(zhì)解：§2.3卷積及其性質(zhì)

一、線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法第一步：建立數(shù)學(xué)模型§

2.4線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析第二步：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去處理

第三步：對(duì)所得的數(shù)學(xué)解給出物理解釋，賦予物理意義。二、系統(tǒng)模型

目的：建立系統(tǒng)模型，便于運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行系統(tǒng)研究。

定義：是系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象，以數(shù)學(xué)表達(dá)式或具有理想特性的符號(hào)組合圖形來(lái)表示系統(tǒng)特性。

系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)模型的圖形符號(hào)表示i(t)LR+e(t)-例如日光燈電路§2.4線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析例.對(duì)圖示電路，寫出激勵(lì)e(t)和響應(yīng)r(t)間的微分方程。解：由圖列方程

KCL:KVL:§2.4線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析將（2）式兩邊微分，得將（3）代入（1）得§2.4線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析結(jié)論：1.求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。2.對(duì)于電流i(t)或電壓U(t),齊次方程相同。說(shuō)明同一系統(tǒng)的特征根相同，即自由頻率是唯一的。

二、描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型一般，對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，其輸入與輸出之間關(guān)系，總可以用下列形式的微分方程來(lái)描述：該式為n階常系數(shù)微分方程。§2.4線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析系統(tǒng)分析：已知x(t)或X(n)，求y（t）或Y(n)已知x(t)、y(t)或X(n)

、Y(n)，求系統(tǒng)的特性給定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的情況下§2.4線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析三、n階常系數(shù)微分方程的求解法全響應(yīng)=齊次方程通解+非齊次方程通解（自由響應(yīng)）（受迫響應(yīng)）全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

（解齊次方程）（疊加積分法）卷積時(shí)域分析法（經(jīng)典法）變換域法（第五章拉普拉斯變換法）微分方程求解§2.4線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析一、定義為方便求解微分方程，引入以下算子符號(hào):§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法p稱為微分算子，1/p稱為微分逆算子或積分算子二、性質(zhì)1、p的正冪多項(xiàng)式在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式展開和因式分解。2設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式，則§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法3、方程等號(hào)兩邊p的公因式不能隨便消去。例如，正確的結(jié)果應(yīng)寫為4、§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法三、LTI系統(tǒng)的微分算子方程對(duì)于LTIn階連續(xù)系統(tǒng)，其輸入輸出方程是線性、常系數(shù)

n階微分方程。則可表示為

§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法即

它代表了系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅淖饔?，稱H(p)為響應(yīng)y(t)

對(duì)激勵(lì)f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子。

§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法將微分算子方程改寫為：系統(tǒng)輸入輸出模型四、電路系統(tǒng)算子方程的建立1.電路元件的算子模型§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法(1)由電路模型轉(zhuǎn)為算子模型(2)建立算子方程(3)求解2.建立步驟求解轉(zhuǎn)移算子§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法例如圖(a)所示電路，電路輸入為f(t)，輸出為i2(t)，試建立該電路的輸入輸出算子方程。§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法

解

畫出算子模型電路如圖(b)所示:該方程組對(duì)新設(shè)變量而言是一個(gè)微分方程組，可以用代數(shù)方法求解，得引例：已知電容起始電壓vc(0-)，求vc(t)(t>0)§2.6零輸入響應(yīng)的求法一、定義由KCL:零輸入零狀態(tài)只與起始狀態(tài)有關(guān)只與輸入有關(guān)，卷積形式§2.6零輸入響應(yīng)的求法零輸入響應(yīng)：沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)作用，完全由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。即零狀態(tài)響應(yīng)：起始狀態(tài)為0，只由激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)。§2.6零輸入響應(yīng)的求法或用yx(t)表示?；蛴脃f(t)表示?！?.6零輸入響應(yīng)的求法二、若特征根為n個(gè)單根，則其零輸入響應(yīng)

式中常數(shù)由初始條件確定。不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解§2.6零輸入響應(yīng)的求法§2.6零輸入響應(yīng)的求法例2某系統(tǒng)輸入輸出微分算子方程為

已知系統(tǒng)的初始條件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。解由題意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以（1）§2.6零輸入響應(yīng)的求法其一階和二階導(dǎo)函數(shù)為(2)§2.6零輸入響應(yīng)的求法代入初始條件值并整理得令t=0-,聯(lián)立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。將各系數(shù)值代入式(1)，最后求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為§2.6零輸入響應(yīng)的求法例電路如圖(a)所示，激勵(lì)為is(t)，響應(yīng)為iL(t)。已知R1=1Ω，R2=5Ω，C=0.25F，L=2H，電容上初始電壓uC(0-)=6V，電感中初始電流iL(0-)=2A。試求t≥0時(shí)的零輸入響應(yīng)iLx(t)。§2.6零輸入響應(yīng)的求法解畫出給定電路的算子電路模型如圖(b)所示，列出電路的回路電流方程為確定式(2.4-19)中的待定常數(shù)，除應(yīng)用電感初始電流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，還需計(jì)算iLx’(0-)值。為此，畫出t=0-時(shí)的等效電路如圖2.4-1(c)所示，由KVL可得2.7.1基本信號(hào)δ(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)：一個(gè)初始狀態(tài)為零的LTI連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)輸入為單位沖激信號(hào)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，記為h(t)，§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法簡(jiǎn)單系統(tǒng)1此時(shí)，響應(yīng)y(t)和輸入f(t)滿足的微分方程為當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，y(t)為零狀態(tài)響應(yīng)，上式可表示為根據(jù)h(t)的定義，若在上式中令f(t)=δ(t)，則yf(t)=h(t)，所以有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法

2.沖激響應(yīng)的計(jì)算這是關(guān)于h(t)的一階微分方程，容易求得于是式中，符號(hào)“→”表示“系統(tǒng)H(p)對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h(t)為…”。§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法將這一結(jié)果推廣到特征方程A(p)=0在p=λ處有r重根的情況，有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法簡(jiǎn)單系統(tǒng)3對(duì)于一般的傳輸算子H(p)，當(dāng)H(p)為p的真分式時(shí)，可將它展開成如下形式的部分分式之和，即綜上所述，計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的一般步驟是：

§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例描述系統(tǒng)的微分方程為求其沖激響應(yīng)h(t)。解由系統(tǒng)微分方程得到相應(yīng)的輸入輸出算子方程為§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法其H(p)可表示為3.一般信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法4.系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

一個(gè)LTI連續(xù)系統(tǒng)，在基本信號(hào)ε(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，通常記為g(t)。按照g(t)的定義，由式(2.5-16)知

再根據(jù)卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)和δ(t)的有關(guān)性質(zhì)，有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法所以階躍響應(yīng)g(t)與沖激響應(yīng)h(t)之間的關(guān)系為或者§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法3.利用g(t)計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法解：?jiǎn)枺骸?.7零狀態(tài)響應(yīng)求法2.7.2一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)圖2.7-4系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例已知某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為若系統(tǒng)的初始條件y(0-)=y′(0-)=1，輸入f(t)=e-tε(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)?！?.7零狀態(tài)響應(yīng)求法解§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法(2)零狀態(tài)響應(yīng)。將H(p)展開為(3)完全響應(yīng)。§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為解令其t=0+時(shí)有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法寫出系統(tǒng)傳輸算子，并進(jìn)行部分分式展開，有

§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法本例中，A(p)=p2+3p+2。根據(jù)式(2.4-15)可得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=ε(t)-ε(t-1)，輸入f(t)=ε(t+2)-ε(t-2)。若以t=0為初始觀察時(shí)刻，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，并畫出波形。解以初始觀察時(shí)刻t=0為時(shí)間分界點(diǎn)，將輸入?yún)^(qū)分為歷史輸入f1(t)和當(dāng)前輸入f2(t)，即§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法所謂零輸入響應(yīng)，是指歷史輸入f１(t)作用于系統(tǒng)，在t≥0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)，即§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法畫出g(t)波形如圖2.5-7(a)所示。再畫出［g(t+2)-g(t)］波形如圖2.5-7(b)所示，其中t≥0部分代表yx(t)。于是§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法圖2.5-7例2.5-6圖§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法當(dāng)輸入f2(t)作用于系統(tǒng)，在t≥0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)，即§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法

描述LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)微分方程。上式縮寫為：§2.8響應(yīng)的分解形式令§2.8響應(yīng)的分解形式自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)的齊次解自由響應(yīng)式中零輸入響應(yīng)§2.8響應(yīng)的分解形式

也叫固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定的，和外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。(1)自由響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：

沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

(2)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：兩種分解方式的區(qū)別：1自由響應(yīng)與零