第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析在系統(tǒng)的微分方程中包含有表示激勵和響應(yīng)的時間函數(shù)以及它門對于時間的線性連續(xù)時間系統(tǒng)的分析，歸結(jié)為建立并且求解線性微分方程各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。引言：奇異信號線性非時變系統(tǒng)的分析卷積及其性質(zhì)系統(tǒng)方程的算子表示法本章要點零輸入響應(yīng)的求法信號的分解FFFFFFFF響應(yīng)的分解形式零輸入響應(yīng)的求法奇異信號

即本身、其導(dǎo)數(shù)或其積分有不連續(xù)點的函數(shù)。單位階躍信號符號函數(shù)斜變信號單位沖激沖激偶信號§2.1奇異信號單位階躍信號1t0t01§2.1奇異信號可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函數(shù)。§2.1奇異信號

給函數(shù)的表示帶來方便tt§2.1奇異信號用階躍表示矩形脈沖G1(t)G(t)G1(t)t0§2.1奇異信號信號加窗或取單邊f(xié)(t)ttt0§2.1奇異信號試用函數(shù)與階躍函數(shù)表示圖形f(t)=(t/3+2/3)[ε(t+2)-ε(t-1)]-(t/2-1/2)[ε(t-1)-ε(t-3)]

§2.1奇異信號畫出函數(shù)w1(t)=ε(t-t0)-2ε(t2-t0)+ε(t3-t0)的圖形

§2.1奇異信號三、符號函數(shù)Sgn(t)

1.定義2.§2.1奇異信號四、單位斜變函數(shù)R(t)

1.定義§2.1奇異信號

斜變信號——斜坡信號

01tR(t)0t0

t0+1tR(t-t0)t>=0R(t)=tt<0R(t)=0t>=t0R(t-t0)=t-t0§2.1奇異信號t<t0R(t-t0)=0單位沖激信號連續(xù)時間單位沖激信號 持續(xù)時間無窮小，瞬間幅度無窮大，涵蓋面積恒為1的一種理想信號，記狄拉克定義t=0,§2.1奇異信號0tt≠0,§2.1奇異信號單位沖激平移沖激函數(shù)的性質(zhì)§2.1奇異信號(1)偶函數(shù)(2)積分(3)篩選篩選特性t0§2.1奇異信號沖激序列對連續(xù)信號抽樣§2.1奇異信號tX(t)nX(nT)例：應(yīng)用沖激信號的性質(zhì)，求下列表達(dá)式的值。

（2）

解：（1）

解：§2.1奇異信號例:求解：§2.1奇異信號1、定義§2.1奇異信號六、求導(dǎo)取極限取極限表示正負(fù)極性的一對脈沖§2.1奇異信號2、面積篩選與函數(shù)相乘例：求§2.2信號的分解直流分量和交流分量偶分量與奇分量脈沖分量實部分量與虛部分量直流分量：信號的平均值

1.直流分量與交流分量§2.2信號的分解即：注：的積分為零。交流分量：原始信號中除直流分量之外的所得信號2.偶分量與奇分量§2.2信號的分解偶分量定義t0奇分量定義0t3.分解成實部分量和虛部分量§2.2信號的分解4.分解成沖激脈沖分量之和§2.2信號的分解變量置換§2.2信號的分解矩形窄脈沖的極限即為一系列沖激信號的疊加2.3卷積的定義

設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，∞)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，將積分定義為f1(t)和f2(t)的卷積，簡記為

§

2.3卷積及其性質(zhì)如圖所示，求§2.3卷積及其性質(zhì)卷積的計算§2.3卷積及其性質(zhì)0.5§2.3卷積及其性質(zhì)0.5§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)例給定信號求y(t)=f1(t)*f2(t)。§2.3卷積及其性質(zhì)

當(dāng)t<0時，f2(t-τ)波形如圖所示，對任一τ，乘積f1(τ)f2(t-τ)恒為零，故y(t)=0?！?.3卷積及其性質(zhì)當(dāng)0<t<3時，f2(t-)波形如圖所示§2.3卷積及其性質(zhì)當(dāng)t>3時，f2(t-τ)波形如圖所示，僅在0<τ<3范圍內(nèi)，乘積f1(τ)f2(t-τ)不為零，故有§2.3卷積及其性質(zhì)卷積的結(jié)果§2.3卷積及其性質(zhì)練習(xí):給定如圖信號，求卷積§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)解：§2.3卷積及其性質(zhì)§2.3卷積及其性質(zhì)3.卷積的性質(zhì)

(2)分配律：

(3)結(jié)合律：

(1)交換律：§2.3卷積及其性質(zhì)4.卷積的微分性質(zhì)5.卷積的積分性質(zhì)6.由4.5兩性質(zhì)可得§2.3卷積及其性質(zhì)7.函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積8.函數(shù)延時后的卷積例計算常數(shù)K與信號f(t)的卷積積分。解常數(shù)K與任意信號f(t)的卷積值等于該信號波形凈面積值的K倍。如果應(yīng)用卷積運算的微積分性質(zhì)來求解，將導(dǎo)致§2.3卷積及其性質(zhì)例§2.3卷積及其性質(zhì)解：§2.3卷積及其性質(zhì)

一、線性時不變系統(tǒng)的分析方法第一步：建立數(shù)學(xué)模型§

2.4線性非時變系統(tǒng)的分析第二步：運用數(shù)學(xué)工具去處理

第三步：對所得的數(shù)學(xué)解給出物理解釋，賦予物理意義。二、系統(tǒng)模型

目的：建立系統(tǒng)模型，便于運用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行系統(tǒng)研究。

定義：是系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象，以數(shù)學(xué)表達(dá)式或具有理想特性的符號組合圖形來表示系統(tǒng)特性。

系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)模型的圖形符號表示i(t)LR+e(t)-例如日光燈電路§2.4線性非時變系統(tǒng)的分析例.對圖示電路，寫出激勵e(t)和響應(yīng)r(t)間的微分方程。解：由圖列方程

KCL:KVL:§2.4線性非時變系統(tǒng)的分析將（2）式兩邊微分，得將（3）代入（1）得§2.4線性非時變系統(tǒng)的分析結(jié)論：1.求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。2.對于電流i(t)或電壓U(t),齊次方程相同。說明同一系統(tǒng)的特征根相同，即自由頻率是唯一的。

二、描述連續(xù)時間系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型一般，對于一個線性系統(tǒng)，其輸入與輸出之間關(guān)系，總可以用下列形式的微分方程來描述：該式為n階常系數(shù)微分方程?！?.4線性非時變系統(tǒng)的分析系統(tǒng)分析：已知x(t)或X(n)，求y（t）或Y(n)已知x(t)、y(t)或X(n)

、Y(n)，求系統(tǒng)的特性給定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的情況下§2.4線性非時變系統(tǒng)的分析三、n階常系數(shù)微分方程的求解法全響應(yīng)=齊次方程通解+非齊次方程通解（自由響應(yīng)）（受迫響應(yīng)）全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

（解齊次方程）（疊加積分法）卷積時域分析法（經(jīng)典法）變換域法（第五章拉普拉斯變換法）微分方程求解§2.4線性非時變系統(tǒng)的分析一、定義為方便求解微分方程，引入以下算子符號:§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法p稱為微分算子，1/p稱為微分逆算子或積分算子二、性質(zhì)1、p的正冪多項式在形式上可以像代數(shù)多項式展開和因式分解。2設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項式，則§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法3、方程等號兩邊p的公因式不能隨便消去。例如，正確的結(jié)果應(yīng)寫為4、§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法三、LTI系統(tǒng)的微分算子方程對于LTIn階連續(xù)系統(tǒng)，其輸入輸出方程是線性、常系數(shù)

n階微分方程。則可表示為

§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法即

它代表了系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅淖饔?，稱H(p)為響應(yīng)y(t)

對激勵f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子。

§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法將微分算子方程改寫為：系統(tǒng)輸入輸出模型四、電路系統(tǒng)算子方程的建立1.電路元件的算子模型§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法(1)由電路模型轉(zhuǎn)為算子模型(2)建立算子方程(3)求解2.建立步驟求解轉(zhuǎn)移算子§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法例如圖(a)所示電路，電路輸入為f(t)，輸出為i2(t)，試建立該電路的輸入輸出算子方程?！?.5

系統(tǒng)方程的算子表示法§2.5

系統(tǒng)方程的算子表示法

解

畫出算子模型電路如圖(b)所示:該方程組對新設(shè)變量而言是一個微分方程組，可以用代數(shù)方法求解，得引例：已知電容起始電壓vc(0-)，求vc(t)(t>0)§2.6零輸入響應(yīng)的求法一、定義由KCL:零輸入零狀態(tài)只與起始狀態(tài)有關(guān)只與輸入有關(guān)，卷積形式§2.6零輸入響應(yīng)的求法零輸入響應(yīng)：沒有外加激勵信號作用，完全由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。即零狀態(tài)響應(yīng)：起始狀態(tài)為0，只由激勵產(chǎn)生的響應(yīng)?！?.6零輸入響應(yīng)的求法或用yx(t)表示。或用yf(t)表示?！?.6零輸入響應(yīng)的求法二、若特征根為n個單根，則其零輸入響應(yīng)

式中常數(shù)由初始條件確定。不同特征根所對應(yīng)的齊次解§2.6零輸入響應(yīng)的求法§2.6零輸入響應(yīng)的求法例2某系統(tǒng)輸入輸出微分算子方程為

已知系統(tǒng)的初始條件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。解由題意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以（1）§2.6零輸入響應(yīng)的求法其一階和二階導(dǎo)函數(shù)為(2)§2.6零輸入響應(yīng)的求法代入初始條件值并整理得令t=0-,聯(lián)立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。將各系數(shù)值代入式(1)，最后求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為§2.6零輸入響應(yīng)的求法例電路如圖(a)所示，激勵為is(t)，響應(yīng)為iL(t)。已知R1=1Ω，R2=5Ω，C=0.25F，L=2H，電容上初始電壓uC(0-)=6V，電感中初始電流iL(0-)=2A。試求t≥0時的零輸入響應(yīng)iLx(t)?！?.6零輸入響應(yīng)的求法解畫出給定電路的算子電路模型如圖(b)所示，列出電路的回路電流方程為確定式(2.4-19)中的待定常數(shù)，除應(yīng)用電感初始電流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，還需計算iLx’(0-)值。為此，畫出t=0-時的等效電路如圖2.4-1(c)所示，由KVL可得2.7.1基本信號δ(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)：一個初始狀態(tài)為零的LTI連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)輸入為單位沖激信號時所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)，§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法簡單系統(tǒng)1此時，響應(yīng)y(t)和輸入f(t)滿足的微分方程為當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，y(t)為零狀態(tài)響應(yīng)，上式可表示為根據(jù)h(t)的定義，若在上式中令f(t)=δ(t)，則yf(t)=h(t)，所以有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法

2.沖激響應(yīng)的計算這是關(guān)于h(t)的一階微分方程，容易求得于是式中，符號“→”表示“系統(tǒng)H(p)對應(yīng)的沖激響應(yīng)h(t)為…”?！?.7零狀態(tài)響應(yīng)求法§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法將這一結(jié)果推廣到特征方程A(p)=0在p=λ處有r重根的情況，有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法簡單系統(tǒng)3對于一般的傳輸算子H(p)，當(dāng)H(p)為p的真分式時，可將它展開成如下形式的部分分式之和，即綜上所述，計算系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的一般步驟是：

§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例描述系統(tǒng)的微分方程為求其沖激響應(yīng)h(t)。解由系統(tǒng)微分方程得到相應(yīng)的輸入輸出算子方程為§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法其H(p)可表示為3.一般信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法4.系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

一個LTI連續(xù)系統(tǒng)，在基本信號ε(t)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，通常記為g(t)。按照g(t)的定義，由式(2.5-16)知

再根據(jù)卷積運算的微積分性質(zhì)和δ(t)的有關(guān)性質(zhì)，有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法所以階躍響應(yīng)g(t)與沖激響應(yīng)h(t)之間的關(guān)系為或者§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法3.利用g(t)計算零狀態(tài)響應(yīng)§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法解：問：§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法2.7.2一般信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)圖2.7-4系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例已知某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為若系統(tǒng)的初始條件y(0-)=y′(0-)=1，輸入f(t)=e-tε(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)?！?.7零狀態(tài)響應(yīng)求法解§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法(2)零狀態(tài)響應(yīng)。將H(p)展開為(3)完全響應(yīng)?！?.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為解令其t=0+時有§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法寫出系統(tǒng)傳輸算子，并進(jìn)行部分分式展開，有

§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法本例中，A(p)=p2+3p+2。根據(jù)式(2.4-15)可得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法例已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=ε(t)-ε(t-1)，輸入f(t)=ε(t+2)-ε(t-2)。若以t=0為初始觀察時刻，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，并畫出波形。解以初始觀察時刻t=0為時間分界點，將輸入?yún)^(qū)分為歷史輸入f1(t)和當(dāng)前輸入f2(t)，即§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法所謂零輸入響應(yīng)，是指歷史輸入f１(t)作用于系統(tǒng)，在t≥0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)，即§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法畫出g(t)波形如圖2.5-7(a)所示。再畫出［g(t+2)-g(t)］波形如圖2.5-7(b)所示，其中t≥0部分代表yx(t)。于是§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法圖2.5-7例2.5-6圖§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法當(dāng)輸入f2(t)作用于系統(tǒng)，在t≥0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)，即§2.7零狀態(tài)響應(yīng)求法

描述LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)微分方程。上式縮寫為：§2.8響應(yīng)的分解形式令§2.8響應(yīng)的分解形式自由響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)的齊次解自由響應(yīng)式中零輸入響應(yīng)§2.8響應(yīng)的分解形式

也叫固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定的，和外加激勵形式無關(guān)。對應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵。對應(yīng)于特解。(1)自由響應(yīng)：強迫響應(yīng)：

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)。

(2)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：兩種分解方式的區(qū)別：1自由響應(yīng)與零