第二章 學(xué)案5 用樣本頻率分布估計總體分布

學(xué)案5

用樣本的頻率分布估計總體分布學(xué)點1學(xué)點2學(xué)點3

1.將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的

，叫做該組的

，每組頻數(shù)除以

的個數(shù)即得該組的

.

2.當(dāng)總體很大或不便于獲得時,可以用

估計總體的頻率分布,反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表.

3.以橫軸表示

,縱軸表示

的比值,以每個組距為底,以各頻率除以組距的商為高,分別畫成矩形,這樣就得到了頻率分布直方圖.

4.把頻率分布直方圖中各個長方形上端的

順次連接起來,就得到頻率分布折線圖.返回個數(shù)頻數(shù)全體數(shù)據(jù)頻率樣本的頻率分布樣本分組中點

5.頻率分布折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢,如果將樣本容量取得足夠大,分組的組距取得足夠小,則相應(yīng)的頻率分布折線圖將越來越接近于一條

,統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

6.當(dāng)樣本的數(shù)據(jù)較少,且最大數(shù)是兩位有效數(shù)字時,用中間的數(shù)字表示

,即第一個有效數(shù)字,兩邊的數(shù)字表示

,即第二個有效數(shù)字,它的中間部分像植物的莖,兩邊部分像植物莖上長出的葉子,因此,通常把這種圖叫做莖葉圖.返回光滑曲線y=f(x)十位數(shù)個位數(shù)返回學(xué)點1列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖返回

本題考查頻率分布直方圖的畫法.對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查,情況如下:(1)列出頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖及折線圖;(3)估計電子元件壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率.

(1)頻率分布表如下:用樣本的頻率分布估計總體的分布時,要使樣本能夠很好地反映總體的特性,必須隨機抽取樣本.由于樣本的隨機性,可以想到,如果隨機抽取另外一個樣本,所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同.但是,它們都可以近似地看作總體的分布.(2)頻率分布直方圖及折線圖如圖2-5-1.圖2-5-1(3)由頻率分布表可知,壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+

0.15=0.35.返回下面列出43位美國歷屆總統(tǒng)(從1789年的華盛頓到2001年的小布什)的就任年齡:57

61

57

57

58

57

61

54

68

51

4964

50

48

65

52

56

46

54

49

51

4755

55

54

42

51

56

55

51

54

51

6062

43

55

56

61

52

69

64

46

54(1)分別以5和4為組距畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖,并用自己

的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任年齡的分布情況;(2)兩次所作的頻率分布直方圖及折線圖相同嗎?試分別估計就任年齡在55歲以

下的頻率,并與實際頻率作比較.返回

(1)以5為組距,如下表:返回頻率分布直方圖如圖所示,折線圖略.以4為組距,列表如下:返回頻率分布直方圖如圖所示，折線圖略.可見歷屆總統(tǒng)的就任年齡90%集中在45~65歲之間.（2）不相同.以5為組距的分析方案，就任年齡在55歲以下的頻率為0.4883.以4為組距的分析方案,就任年齡在55歲以下的頻率為0.5115.實際就任年齡在55歲以下的頻率為

≈0.4419.學(xué)點2頻率分布直方圖的應(yīng)用為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖2-5-2所示),圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.圖2-5-2(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo),試估計該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多

少?返回（1）頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到題意中看不清楚的信息和數(shù)據(jù)模式.(2)頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性,由抽樣的代表性,利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率,可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的可能性.

本題考查頻率分布直方圖.

(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為

.又因為頻率=

,所以樣本容量=

=150.(2)由圖可估計該校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為

×100%=88%.故第二小組的頻率是0.08,樣本容量是150，高一學(xué)生達(dá)標(biāo)率是88%.返回在學(xué)校開展的綜合實踐活動中,某班進(jìn)行了小制作評比,作品上交時間為5月1日至30日,評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計,繪制了頻率分布直方圖(如圖2-5-3所示).已知從左到右各長方形的高的比為2：3：4：6：4：1,第三組的頻數(shù)為12,請解答下列問題:(1)本次活動共有多少件作品參加評比?(2)哪組上交的作品數(shù)最多?有多少件?(3)經(jīng)過評比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎,問這兩組哪組獲獎率較高?

圖2-5-3返回返回莖葉圖在數(shù)據(jù)較少,較為集中時比較適用,由于較好地保留了原始數(shù)據(jù),所以可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布,還可以用來分析樣本數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征.學(xué)點3莖葉圖的應(yīng)用

本題考查莖葉圖.返回某中學(xué)高一(1)班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來每次數(shù)學(xué)考試成績情況如下:甲的得分:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,97,102作出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對兩人成績進(jìn)行比較.

由已知數(shù)據(jù)可得:選擇6,7,8,9,10,11作為莖,個位數(shù)字為葉,則甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖2-5-4.

從莖葉圖中可以看出乙同學(xué)得分情況大致對稱,中位數(shù)是98,較集中在90多分.甲同學(xué)得分也大致對稱,中位數(shù)是88,較集中在80多分,因此乙同學(xué)成績較好,發(fā)揮比較穩(wěn)定.圖2-5-4某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分情況如下:甲的得分:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.乙的得分:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.（1）畫出甲、乙兩名運動員得分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖；（2）根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩運動員的水平.返回

按照作莖葉圖的方法首先畫出莖葉圖,然后分析.

(1)作出莖葉圖如下:

(2)由上面的莖葉圖可以看出,甲運動員的得分情況是大致對稱的,中位數(shù)是36;乙運動員的得分情況除一個特殊得分外,也大致對稱,中位數(shù)是26.

因此，甲運動員的發(fā)揮比較穩(wěn)定,總體得分情況比乙運動員好.返回如何理解用樣本的頻率分布估計總體分布?用樣本的頻率分布估計總體的分布時,要使樣本能夠很好地反映總體的特征,必須隨機抽取樣本.由于抽樣的隨機性,當(dāng)抽取的樣本變化時,所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同.但是,它們都可以近似地看作總體的分布.返回1.畫頻率分布直方圖時(1)決定組距與組數(shù),將數(shù)據(jù)分組時,組數(shù)應(yīng)力求合適,以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來.這時應(yīng)注意:①一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多;②為方便起見,組距的選擇應(yīng)力求“取整”;③當(dāng)樣本容量不超過100時,按照數(shù)據(jù)的多少,通常分成5~12組.2.在頻率分布直方圖中,縱軸表示

，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積的總和等于1.C返回1.一個容量為100的樣本,其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下:則樣本數(shù)據(jù)落在（10，40］上的頻率為（）

A.0.13

B.0.39

C.0.52

D.0.64

落在(10,40］的樣本頻數(shù)為13+24+15=52,所以其頻率為

=0.52.故應(yīng)選C.返回D

由題意知樣本在(-∞,50］上的頻數(shù)為14.∴頻率為

.故應(yīng)選D.2.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：(10,20］,2;(20,30］,

3;(30,40］,4;(40,50］,5;(50,60］,4;(60,70］,2，則樣本在區(qū)間（－∞,50］上的頻率是（）返回D3.觀察新生嬰兒的體重,其頻率分布直方圖如圖2-5-5所示,則新生嬰兒體重在

(2700,3000)的頻率為（）圖2-5-5

A.0.001

B.0.1

C.0.2

D.0.3

由圖可知

=0.001,∴頻率=0.001×300=0.3.故應(yīng)選D.4.一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.375，則該組樣本的頻數(shù)為（）

A.4

B.8

C.12

D.16返回C

頻數(shù)=頻率×容量=0.375×32=12.故應(yīng)選C.返回5.圖2-5-6是某單位職工年