第五章 數(shù)值積分及數(shù)值微分2014

*1

數(shù)值積分與數(shù)值微分/share/2673166，驗證碼為9141作業(yè)上傳地址：

內(nèi)容提要5.1問題的提出5.2插值型求積公式5.3復(fù)合求積公式5.4龍貝格（Romberg)求積公式5.5高斯求積公式5.6數(shù)值微分5.1問題的提出在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式

來求定積分。牛頓―萊布尼茲公式雖然在理論上或在解決實際問題中都起了很大的作用,但它并不能完全解決定積分的計算問題。因為定積分的計算常常會碰到以下三種情況:(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡單的函數(shù),例如

等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。5.1問題的提出(2)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達式相當(dāng)復(fù)雜。例如定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)就比較復(fù)雜,從數(shù)值計算角度來看,計算量太大。5.1問題的提出積分中值定理x0ab將積分化為函數(shù)值,或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡單函數(shù)的積分的方法中矩公式x0aby梯形公式x0ab5.1問題的提出關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：1、函數(shù)有離散數(shù)據(jù)組成2、F(x)求不出3、F(x)非常復(fù)雜定義數(shù)值積分如下：是離散點上的函數(shù)值的線性組合稱為積分系數(shù)，與f(x)無關(guān)，與積分區(qū)間和積分點有關(guān)5.1問題的提出為數(shù)值積分，為積分，則稱數(shù)值積分有k階代數(shù)精度是指：兩個問題：1、系數(shù)ai如何選取，即選取原則2、若節(jié)點可以自由選取，取什么點好？代數(shù)精度

對任意次數(shù)不高于k次的多項式f(x)，數(shù)值積分沒有誤差5.1問題的提出左矩形公式右矩形公式5.1問題的提出梯形公式辛普森公式5.2插值型求積公式

建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個既簡單又有足夠精度的函數(shù)φ(x),用φ(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有

現(xiàn)用第4章介紹的插值多項式Pn(x)來代替被積函數(shù)f(x),即有f(x)x0ab5.2插值型求積公式

取基點為等距，即利用拉格朗日差值多項式5.2插值型求積公式

其中這里5.2插值型求積公式

5.2插值型求積公式

插值型積分公式/*interpolatoryquadrature*/由決定，與無關(guān)。節(jié)點

f(x)5.2插值型求積公式

令當(dāng)節(jié)點等距分布時：Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和k，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。5.2插值型求積公式

5.2插值型求積公式

稱為柯特斯求積系數(shù)很顯然，當(dāng)n=1時，可算得得到梯形公式5.2插值型求積公式

當(dāng)n=2時，可得得到辛普森公式5.2插值型求積公式

5.2插值型求積公式

當(dāng)n=3時，可得得到數(shù)值積分公式為5.2插值型求積公式類似地可分別求出n=4,5,…時的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果下表。nCk(n)

k=0,…,n111/22141/631331/8473212327/905197550507519/288641216275722721641/8407751357713232989298913233577751/1728089895888-92810496-454010496-9285888989/28350柯特斯系數(shù)表5.2插值型求積公式

從表中可以看出,當(dāng)n≤7時,柯特斯系數(shù)為正;從n≥8開始,柯特斯系數(shù)有正有負(fù)。因此,當(dāng)n≥8時,誤差有可能傳播擴大,牛頓―柯特斯求積公式不宜采用?？绿厮瓜禂?shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無關(guān),且滿足

事實上,牛頓―柯特斯求積公式對f(x)=1是準(zhǔn)確成立的5.2插值型求積公式

例1試分別用梯形公式和拋物線公式計算積分解利用梯形公式原積分的準(zhǔn)確值利用辛普生公式區(qū)間等分?jǐn)?shù)較大（即求積節(jié)點較多）的求積公式，計算的積分值較精確，但是高階的牛頓-柯特斯公式在計算中可能會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。例：nIn(f)25.490242.277663.328881.9411103.5956當(dāng)n時，In(f)不收斂于I(f)。即牛頓-柯特斯公式并不是對所有在求積區(qū)間上可積的函數(shù)都收斂。5.2插值型求積公式

誤差估計：牛頓―柯特斯求積公式的余項為易知,牛頓―柯特斯求積公式對任何不高于n次的多項式是準(zhǔn)確成立的。這是因為故5.2插值型求積公式

代數(shù)精度的概念是：假如（3.1）式的求積公式對f(x)=1，x，x2，…，xm恒精確成立，而當(dāng)f(x)=xm+1時就不精確成立，我們就稱公式（3.1）的代數(shù)精度為m。5.2插值型求積公式

牛頓―柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為n。通常在基點個數(shù)相等的情況下,代數(shù)精確度愈高,求積公式就愈精確。一點數(shù)值積分0階代數(shù)精度1階代數(shù)精度例：5.2插值型求積公式

定理1(梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形求積公式的誤差為證明：因梯形公式的余項為5.2插值型求積公式

首先，復(fù)習(xí)第二積分中值定理。若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間［a，b］上有界且可積，f(x)連續(xù)，g(x)在區(qū)間［a，b］內(nèi)不變號，則在區(qū)間［a，b］內(nèi)至少存在一個數(shù)ξ(a＜ξ＜b)，使得5.2插值型求積公式

由于ω1(x)=(x-a)(x-b)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號,f″(ξ)是x的函數(shù)且在［a,b］上連續(xù),故根據(jù)積分第二中值定理知,存在某一η∈(a,b)使5.2插值型求積公式

定理2(辛普生公式的誤差)：設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),則辛普生公式的誤差為證明：根據(jù)誤差公式知例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象Ln(x)f(x)分段低次插值5.3復(fù)合求積公式

5.3復(fù)合求積公式

高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

復(fù)合求積公式。5.3復(fù)合求積公式-梯形

在每一個子區(qū)間［xi，xi+1］上使用梯形公式,則復(fù)合梯形公式對于定積分

將積分區(qū)間［a,b］分成n個相等的子區(qū)間［xi，xi+1］,這里步長相加后得5.3復(fù)合求積公式-梯形

若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得5.3復(fù)合求積公式-梯形

于是得到復(fù)合梯形公式其余項為5.3復(fù)合求積公式-梯形

5.3復(fù)合求積公式-梯形

例2若用復(fù)合梯形公式計算積分

問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字解由余項公式5.3復(fù)合求積公式-梯形

由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字,只需取n滿足5.3復(fù)合求積公式-梯形

例3根據(jù)給出的函數(shù)的數(shù)據(jù)表,用復(fù)合梯形公式計算5.3復(fù)合求積公式-梯形

5.3復(fù)合求積公式

解:用復(fù)合梯形公式

=0.9456905

而I的準(zhǔn)確值為0.9460831…,可見復(fù)合梯形公式還不夠精確。44444=

Sn5.3復(fù)合求積公式-Simpson公式

5.3復(fù)合求積公式-柯特斯公式

誤差估計：~~~例：計算解：其中=3.138988494運算量基本相同=3.141592502其中Q:給定精度，如何取n?例如：要求，如何判斷n=？?上例中若要求，則即：取n=409通常采取將區(qū)間不斷對分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

時，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到區(qū)間再次對分時可用來判斷迭代是否停止。事后誤差估計法變步長梯形求積法變步長梯形求積法步驟：梯形求積法的遞推化5.4龍貝格(Romberg)積分方法

我們已經(jīng)知道,當(dāng)被積函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)時,要使得復(fù)合梯形公式比較精確地代替定積分

可將分點(即基點)加密,也就是將區(qū)間［a,b］細分,然后利用復(fù)合梯形公式求積。5.4龍貝格(Romberg)積分方法

函數(shù)變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差，我們需要加密格點。對于變化緩慢的部分，加密格點會造成計算的浪費。以此我們介紹一種算法，可以自動在變化劇烈的地方加密格點計算，而變化緩慢的地方，則取稀疏的格點。梯形法的遞推化

實際計算中，由于要事先給出一個合適的步長往往很困難，所以我們往往采用變步長的計算方案，即在步長逐步分半的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進行計算，直到所求得的積分值滿足精度要求為止。設(shè)表示復(fù)化梯形求得的積分值，其下標(biāo)是等分?jǐn)?shù)，由此則有遞推公式其中其中

梯形法的加速梯形法的算法簡單，但精度低，收斂的速度緩提高收斂速度以節(jié)省計算量呢？由復(fù)化梯形公式的截斷誤差公式可得，

n等分區(qū)間2n等分區(qū)間

梯形法的加速

由此可知，這樣導(dǎo)出的加速公式是辛普森公式：龍貝格算法我們可以在步長逐步分半過程中將粗糙的積分值逐步加工為精度較高的積分值:龍貝格算法或者說將收斂緩慢的梯形值序列加工成收斂迅速的積分值序列，這種加速方法稱為龍貝格算法。一般有：Romberg序列

Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T總結(jié)：龍貝格算法例題例4用Romberg公式計算積分解：按Romberg公式的求積步驟進行計算，結(jié)果如下：(1)這里

(2)計算龍貝格算法例題(續(xù)1）(1)計算然后由公式算出及

龍貝格算法例題(續(xù)2）并由公式(3.3)和逐次分半加速公式，算出龍貝格算法例題(續(xù)3）把區(qū)間再分半，重復(fù)步驟(4)，可算出結(jié)果：至此得，因為計算只用小數(shù)點后五位，故精確度只要求到0.00001因此積分5.5高斯求積公式

Newton-Cote’s積分公式，可以知道至少有有n階精度。是否有更高的代數(shù)精度呢？N個點的數(shù)值積分公式，最高可以到多少代數(shù)精度？本節(jié)會解決這個問題。例：對于[a,b]上1次插值，有考察其代數(shù)精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代數(shù)精度=1n=1:代數(shù)精度=1n=2:代數(shù)精度=3n=3:Simpson’s3/8-Rule,代數(shù)精度=3,n=4:CotesRule,代數(shù)精度=5,5.5高斯求積公式例：在兩點數(shù)值積分公式中，如果積分點也作為未知量，則有4個未知量，可以列出4個方程：（以f(x)在[-1,1]為例）可解出：具有3階代數(shù)精度，比梯形公式1階代數(shù)精度高5.5高斯求積公式設(shè)a=-1,b=1，考慮下列求積公式可以使上述求積公式具有2n-1次代數(shù)精度，這種高精度的求積公式稱為高斯（Gauss）公式，高斯公式的求積節(jié)點稱為高斯點。我們將會看到，適當(dāng)?shù)倪x取求積節(jié)點Xk(k=1,2,…,n)高斯點的基本特性

盡管高斯點的確定原則上可以化為代數(shù)問題，但是由于所歸結(jié)的方程組是非線性的，而它的求解存在實質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高斯點的基本特性著手解決高斯公式的構(gòu)造問題。定理節(jié)點是高斯點的充分必要條件是多項式與一切次數(shù)<=n-1的多項式P(x)正交，即成立

設(shè)是求積公式中的高斯點，令則有如下結(jié)論：勒讓德多項式以高斯點為零點的n次多項式稱為勒讓德(Legendre)多項式。一般的，勒讓德多項式可以依據(jù)來求得。高斯公式牛頓—柯特斯型求積公式是封閉型的（區(qū)間[a,b]的兩端點a,b均是求積節(jié)點）而且要求求積節(jié)點是等距的,受此限制，牛頓—柯特斯型求積公式的代數(shù)精確度只能是n(n為奇數(shù))或n+1(n為偶數(shù))。而如果對求積節(jié)點也適當(dāng)?shù)倪x取,即在求積公式中不僅Ak而且xk也加以選取,這就可以增加自由度，從而可提高求積公式的代數(shù)精確度。

求積公式含有個待定參數(shù)x適當(dāng)選擇這些參數(shù)使其具有2n+1次代數(shù)精度。這類求積公式稱為

高斯公式。是高斯點。其節(jié)點高斯點的充分必要條件是以這些點為零點的多項式高斯公式(續(xù)1）定理：插值型求積公式與任意次數(shù)不超過n的多項式P(x)均正交：高斯公式(續(xù)2)必要性證明：

設(shè)P(x)是次數(shù)不超過n的多項式P(x)w(x)則次數(shù)不超過2n＋1。若xk是高斯點，則有又因故有高斯公式(續(xù)3）由于Q(x)是不高于n次的多項式，又是插值型的，代數(shù)精度最少為n，故有由充分性證明：

是不高于2n+1的多項式，將高斯公式(續(xù)3）從而有于是又由知可見此求積公式對一切次數(shù)不超過2n+1的多項式均能準(zhǔn)確成立，因此xk為高斯點。高斯－勒讓德公式此為高斯－勒讓德公式，區(qū)間為[-1,1],勒讓德正交多項式Pn+1(x)的零點就是其高斯點。例：取其兩個零點為。求積公式為令它對f(x)=1,x成立，有高斯－勒讓德公式(續(xù)）驗證：分別令f(x)=x2,x3,x4則兩點高斯－勒讓德公式高斯－勒讓德公式(續(xù)）

區(qū)間[-1,1]上權(quán)函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Legendre求積公式,其Gauss點為Legendre多項式的零點.Gauss-Legendre求積公式公式的Gauss點和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到.由因此,[a,b]上權(quán)函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式為高斯－勒讓德公式(續(xù)）nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889例題運用高斯――勒讓德公式計算積分解：兩點公式兩點梯形公式例題（續(xù)）三點公式:三點辛普森公式:例題（續(xù)）例用二點高斯-勒讓德公式計算積分解作變量代換則記,因為節(jié)點得

所以,由二點高斯公式帶權(quán)的高斯公式對于任意次數(shù)不超過2n+1的多項式均能準(zhǔn)確成立稱其為帶權(quán)的高斯公式。其中ρ(x)為權(quán)函數(shù)稱為高斯－切比雪夫公式。高斯點為n+1次切比雪夫多項式的零點當(dāng)時，所建立的高斯公式高斯公式例題例：構(gòu)造下列形式的高斯公式解：令它對于f(x)=1,x,x2,x3準(zhǔn)確成立，得由于x0A0+x1A1=x0(A0+A1)+(x1-x0)A1利用第1式，可將2式化為同樣，利用2式化3式，利用3式化4式，分別得