清華大學張斌電動力學1

第一章經(jīng)典電動力學基礎

（電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律）1.1靜電場的方程式庫侖定律（Coulomb’slaw)Coulomb’slaw是描寫真空中兩個靜止的點電荷q’和q之間相互作用力的定律。其數(shù)學表達式為zxyoqq’疊加原理（principleofsuperposition)若空間存在n個電荷q1,q2···qn，這時任意一個電荷qj，受到其它所有電荷對它的作用力為電場強度（electricfield）電場強度被定義為電位電荷在場中所受的力。若電荷在場中某處受力，則該處的電場強度為庫侖定律告訴我們，一個點電荷周圍的電場分布為電場的疊加原理多個電荷同時產(chǎn)生的電場即一般地，引入電荷密度來描寫源的電量分布，它產(chǎn)生電場為zP(x,y,z)yox在源電荷為點狀分布時，電荷密度用函數(shù)表示靜電場所滿足的微分方程按高斯定理，有把單個電荷的電場公式代入右邊Gauss’theorem主要是討論電場強度的面積分，在點電荷場中，設s表示包圍著點電荷q的一個閉合面，為s上的定向面元，以外法線方向為正。a)如果點電荷q在s面內(nèi)θSqrθSqrb)如果點電荷q在S面外，把S面分成兩部分，照明部分S2和陰影部分S1SqS1由此可得到結(jié)論：根據(jù)疊加原理，在點電荷系場中，則存在著如下形式：設q1,q2,···qk在S內(nèi)，qk+1,qk+2,···qn在S外，則有這里q僅僅是封閉曲面S內(nèi)的總電荷對于連續(xù)分布的電荷體系來說，則有因此，得到因為，體積分是任意取的，所以兩邊被積函數(shù)必須相等作為偏微分方程，只有此式不構(gòu)成完備的方程組因此，我們計算電場強度的旋度。由斯托克斯定理知最后，我們根據(jù)以下兩個方程1.2靜磁場的方程式電流密度（Currentdensity)電流強度(Currentintensity)單位時間內(nèi)垂直穿過導線橫截面的電量稱為電流強度，用I表示，顯然I與j的關(guān)系為電荷守恒(ConservationofCharge)對于封閉系統(tǒng)，總電荷保持不變。實驗表明電荷是守恒的。即一處電荷增加了，另一處的電荷必然減少，而且增加和減少的量值相等。若在通有電流的導體內(nèi)部，任意找出一個小體積V，包圍這個體積的閉合曲面為S，并且假定電流從體積V的一面流入，從另一面流出。單位時間內(nèi)穿過S曲面流出去的電量為而流出去的電量應該等于封閉曲面S內(nèi)總電荷在單位時間內(nèi)的減少量，即根據(jù)Gauss’theorem，有由于曲面S是任意選取的，所以被積函數(shù)恒為零，即這就是電荷守恒定律的數(shù)學表達式,也稱連續(xù)性方程。在穩(wěn)定電流的情況下，由于，所以穩(wěn)定電流條件為磁場（magneticfield)穩(wěn)定電流周圍有靜磁場，同時磁場對電流有作用力。與靜磁場有關(guān)的規(guī)律有三點（1）處的電流元在處產(chǎn)生的磁場為（2）滿足疊加原理（3）磁場對電流的力密度為畢奧——薩伐爾定律（Biot-Savart’slaw)洛倫茲力公式磁場的散度和旋度式中是對場點微分，與源點無關(guān)，運用公式從而得到因為積分是對而言的，所以可以提到積分號外，故其中磁場的旋度這是磁感應強度滿足的一個微分方程先看右邊第一項運用公式得到因為對于穩(wěn)恒電流，故有由于電流應全部包含在積分區(qū)域內(nèi)，因而在邊界面上電流密度的法向分量應為零，即得到再看第二項利用最后得到至此，我們得到了靜磁場的兩個基本方程：1.3電磁感應定律變化磁場產(chǎn)生電場閉合線圈中的感應電動勢與通過該線圈內(nèi)部的磁通量變化率成正比又由于感應電場的存在，則所以即由于S曲面是任意的，要使上式成立，除非是1.4麥克斯韋方程已有的電磁場方程分別在一定的條件下成立同時有電荷守恒方程與上面第四式矛盾對第四式求散度一般情況下不成立為了與電荷守恒方程兼容，應該修改第四式（磁場還有其他來源），修改為位移電流（displacementcurrent)為了不和電荷守恒矛盾，應當有因此，麥克斯韋把位移電流定義為修改以后得到方程組電荷守恒方程洛倫茲力1.5電磁作用下的能量守恒定理在既有電荷和電流，又有電磁和磁場的空間內(nèi)取一個任意的封閉區(qū)域V。利用高斯定理后，可改成微分形式這是電磁作用下，能量守恒應該有的數(shù)學形式，下面我們證明此形式首先，有洛倫茲力公式導出電磁力的功率密度。磁力不做功由麥克斯韋第四方程得看右邊第一項，按代回上式電磁場的能量密度電磁場的能流密度1.6電磁作用下的動量守恒定理（略）1.7介質(zhì)的電磁性質(zhì)我們知道，無論什么介質(zhì)，從微觀上看都是由帶正負電的粒子組成的集合，介質(zhì)的存在相當于真空中存在著大量的帶電粒子，因此從這個角度看介質(zhì)的存在本質(zhì)上沒有什么特殊的地方。宏觀電動力學不是考察個別粒子產(chǎn)生的微觀電磁場，而是考察它們的宏觀平均值。由于介質(zhì)在宏觀電磁場的作用下，將導致極化和磁化，即出現(xiàn)宏觀的電荷和電流，這些附加的電荷和電流也要激發(fā)電磁場，使原來的宏觀電磁場有所改變。所以在介質(zhì)的極化和磁化過程中，電荷和電場、電流和磁場是互相制約的，介質(zhì)的內(nèi)部宏觀電磁現(xiàn)象就是這些電荷、電流分布和電磁場之間相互作用的結(jié)果。介質(zhì)的極化（polarizationofdielectric)介質(zhì)的極化說明介質(zhì)對電場的反映，在有電場的情況下，介質(zhì)中的正負電荷分別受到方向相反的作用力，因此正負電荷間的距離拉開了。另外，那些有極分子在電場作用下按一定方向有序排列，從宏觀上來看這兩種行為都相當于產(chǎn)生了一個電偶極矩。在電磁學中，曾引進了極化強度矢量：其中是第i個分子的電偶極矩，即,求和是對體積中所有分子進行的。極化強度P和電磁強度E的關(guān)系取決于介質(zhì)的組分和熱力學狀態(tài)，難以有普遍適用的規(guī)律。經(jīng)驗表明，在一般介質(zhì)中，它們滿足簡單的線性關(guān)系，即

叫極化率，是介質(zhì)中受極化影響后的場強介質(zhì)的磁化（magnetizationofdielectric)原子和分子的磁性來自它的磁矩，磁矩則來自組分粒子的軌道運動和自旋，我們等效看作微觀環(huán)形電流，這種環(huán)形電流相當于一個磁偶極子。在沒有外磁場時，這些磁矩取向是無規(guī)則的，不呈現(xiàn)宏觀電流效應，一旦在外磁場作用下，環(huán)形電流出現(xiàn)有規(guī)則取向，形成宏觀電流效應，這就是磁化現(xiàn)象。在電磁學中，引入了磁化強度矢量，其定義為單位體積內(nèi)的磁偶極子數(shù)，即在一般介質(zhì)中，滿足簡單的線性關(guān)系1.8介質(zhì)中的麥克斯韋方程電磁場可以極化和磁化介質(zhì)，極化和磁化的介質(zhì)也將影響電磁場。按照麥克斯韋方程，帶電系統(tǒng)對電磁場的影響是通過電荷和電流實現(xiàn)的。因此我們先分析極化和磁化引起的電荷分布和電流分布。若極化時正負電荷拉開的位移為，設介質(zhì)分子密度為n，則通過面跑出去的正電荷數(shù)目為從面跑出去的電荷,于是通過任一封閉曲面跑出去的總電荷為+ql+q+q-q-q-qa)極化電荷體密度與極化強度的關(guān)系由于介質(zhì)是電中性的，也等于V內(nèi)凈余的負電荷，即因為式中V是S所包圍的體積，所以即b)極化電流密度與極化強度的關(guān)系當電場隨時間改變時，極化過程中正負電荷的相對位移也將隨時間改變，由此產(chǎn)生的電流稱為極化電流。極化電流和極化電荷也滿足連續(xù)性方程：c)極化電荷面密度與極化強度的關(guān)系因為在非均勻介質(zhì)內(nèi)部，極化后一般出現(xiàn)極化電荷。在均勻介質(zhì)中，極化電荷只出現(xiàn)在介質(zhì)界面上。在介質(zhì)1和介質(zhì)2分界面上取一個面元為，在分界面兩側(cè)取一定厚度的薄層，使分界面包圍在薄層內(nèi)。介質(zhì)1介質(zhì)2通過薄層進入介質(zhì)2的正電荷為，由介質(zhì)1通過薄層下側(cè)面進入薄層的正電荷為因此薄層出現(xiàn)的凈余電荷為以為極化電荷面密度，則有得到a)磁化電流密度與磁化強度的關(guān)系由于磁化，引起介質(zhì)內(nèi)部環(huán)形電流有規(guī)則取向，呈現(xiàn)宏觀電流效應，這種由磁化引起的電流稱為磁化電流。設S為介質(zhì)內(nèi)部的一個曲面，其邊界線為L，環(huán)形電流通過S面有兩種情況:一種是在S面中間通過兩次的環(huán)形電流，為1、2、3，這種電流環(huán)對總電流沒有貢獻；而另一種是在S面中間通過一次的環(huán)流，如4、5、7，這種電流環(huán)對總電流有貢獻，但這種情形只能發(fā)生在邊界上。當然，在S面外的電流環(huán)8，對總電流同樣無貢獻。每一個環(huán)形電流貢獻為i或-i，在S面上一共有多少這種電流呢？LS87612345在邊界線L上取一線元，設環(huán)形電流圈的面積為，則由圖可見，若分子中心位于體積元的柱體內(nèi)，則該環(huán)形電流就被所穿過。因此，若單位體積內(nèi)分子數(shù)為n，則被邊界線L穿過的環(huán)形電流數(shù)目為此數(shù)目乘上每個環(huán)形電流i，即得從S背面流向前面的總磁化電流：以表示磁化電流密度，有所以故得b)磁化電流面密度與磁化強度的關(guān)系對于均勻介質(zhì)，磁化后介質(zhì)內(nèi)部的為一常矢量。可見，即介質(zhì)內(nèi)部。但表面上卻有電流分布。為此，要引入面電流密度的概念。面電流實際上是靠近表面的相當多分子層內(nèi)的平均宏觀效應，對于宏觀來說薄層的厚度趨于零，則通過電流的橫截面變?yōu)闄M截線。面電流密度（或叫線電流密度）的大小定義為垂直通過單位橫截面（現(xiàn)在為線）的電流,它們方向即為該點電流的方向?，F(xiàn)在來看兩介質(zhì)交界面上的磁化電流分布情況。如圖所示的回路中，有介質(zhì)2介質(zhì)1即根據(jù)矢量分析則得到即又因為故得到由上述討論可知，介質(zhì)存在時空間電荷包括自由電荷和極化電荷，即介質(zhì)中出現(xiàn)的電流有傳導電流、極化電流、磁化電流。即因此，在介質(zhì)存在的情況下，Maxwell’sequations應修改為：若令則得到1.9介質(zhì)界面上的電磁規(guī)律大家知道,由于在外場作用下，介質(zhì)分界面上一般出現(xiàn)一層束縛電荷和電流分布，這些電荷、電流的存在又使得界面兩側(cè)場量發(fā)生躍變，這種場量躍變是面電荷、面電流激發(fā)附加的電磁場產(chǎn)生的，描述在兩介質(zhì)分界面上，兩側(cè)場量與界面上電荷、電流的關(guān)系，是本節(jié)的主要討論內(nèi)容。然而，微分形式的Maxwell’sequations不能應用到兩介質(zhì)的界面上,這是因為Maxwell’sequations對場量而言,是連續(xù)、可微的。只有積分形式的Maxwell’sequations才能應用到兩介質(zhì)的分界面上，這是因為積分形式的Maxwell’sequations對任意不連續(xù)的場量適合。因此研究邊值關(guān)系的基礎是積分形式的Maxwell’sequations：1、法向分量的躍變（discontinuityofnormalcomponent)如圖所示，在分界面處作一個小扁平匣，匣的上下底面，分別位于界面的兩側(cè)，且，，三個面元平行，大小相等，ds為界面上被截出的面元，匣的高度h→0，用求矢量通過匣表面的通量。由于匣的高度h→0，所以通過側(cè)面的的通量也可以忽略不計，因此介質(zhì)1介質(zhì)2由于，即得或者其中是界面上的自由電荷面密度，及分別為0界面兩側(cè)的電位移矢量在面法線上的分量，的方向由介質(zhì)1指向介質(zhì)2。根據(jù)的關(guān)系，不難得到討論：a)對于兩種電介質(zhì)的分界面，則得b)只有導體與介質(zhì)交界面上，存在。這時、在法線上都不連續(xù)，有躍變。c)

對于磁場，把應用到邊界上的扁平匣區(qū)域上，