第3章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)1

1第3章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第3章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第一節(jié)描述流體的兩種方法第二節(jié)流動(dòng)的分類第三節(jié)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念第四節(jié)連續(xù)性方程第五節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法3.1.1流場(chǎng)通常，將充滿著運(yùn)動(dòng)流體的空間稱為流場(chǎng)，將表示流體運(yùn)動(dòng)特征的物理量稱為流動(dòng)參數(shù)，如速度、密度、壓強(qiáng)等。所以流場(chǎng)又是上述物理量的場(chǎng)。流體運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究流場(chǎng)中各個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，以及這些運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系等問題。3.1.2研究流體運(yùn)動(dòng)的方法拉格朗日法歐拉法§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法51.拉格朗日法（質(zhì)點(diǎn)法）

把流體質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象，跟蹤每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，描述其運(yùn)動(dòng)過程中流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化，綜合流場(chǎng)中所有流體質(zhì)點(diǎn)，來(lái)獲得整個(gè)流場(chǎng)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這種方法叫做拉格朗日法。實(shí)質(zhì)是一種質(zhì)點(diǎn)系法。§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法61.拉格朗日法（質(zhì)點(diǎn)法）取某一起始時(shí)刻t0質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置（a,b,c）作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。圖拉格朗日法zxyOaxbyzct0tMt時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到空間位置（x,y,z）可表示為：式中，（a，b，c，t）=拉格朗日變數(shù)（a，b，c）對(duì)應(yīng)流體質(zhì)點(diǎn)§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法71.拉格朗日法（質(zhì)點(diǎn)法）不同（a，b，c），t不變，表示在選定時(shí)刻流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布。給定（a，b，c），t變化時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程確定；流體質(zhì)點(diǎn)的速度為§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法8流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法9問題1每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點(diǎn)2數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難3實(shí)用上，不需要知道每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況因此，除個(gè)別情況（如研究波浪運(yùn)動(dòng)、臺(tái)風(fēng)路徑等）外，該方法在工程上很少采用。而用另一種方法——?dú)W拉法?！?.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法102.歐拉法（空間點(diǎn)法）不研究各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，而著眼于流場(chǎng)（充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間）中的空間點(diǎn)，即通過觀察質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)（x,y,z）上的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間t變化的規(guī)律，把足夠多的空間點(diǎn)綜合起來(lái)而得出整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這種方法叫做歐拉法（流場(chǎng)法）。該方法不能表示個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)從起始到終了的全部運(yùn)動(dòng)過程，因?yàn)橥粋€(gè)空間點(diǎn)在不同時(shí)刻由不同的流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。所謂某點(diǎn)的速度或壓強(qiáng)是指流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過該空間點(diǎn)時(shí)所具有的速度或壓強(qiáng)?！?.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法112.歐拉法（空間點(diǎn)法）采用歐拉法，可將流場(chǎng)中任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)要素表示為空間坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t

的單值連續(xù)函數(shù)。式中，(x,y,z,t)稱為歐拉變數(shù)。對(duì)速度場(chǎng)，表示為：壓強(qiáng)場(chǎng)：密度場(chǎng)：溫度場(chǎng)：§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法12令(x,y,z)為常數(shù)，t為變數(shù)令(x,y,z)為變數(shù)，t為常數(shù)表示在某一固定空間點(diǎn)上，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。表示在同一時(shí)刻，流場(chǎng)中流動(dòng)參數(shù)的分布規(guī)律。即在空間的分布狀況。例如：瞬時(shí)速度場(chǎng)、瞬時(shí)壓力場(chǎng)?！?.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法13§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

研究速度和加速度的分布可以用歐拉法，但是從速度求加速度卻必須用拉格朗日法，即必須用“質(zhì)點(diǎn)的觀點(diǎn)”研究問題，因?yàn)榧铀俣仁悄骋毁|(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的速度變化，為了求這一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速度，就必須跟蹤這個(gè)質(zhì)點(diǎn)觀察它的速度的變化情況。所選空間點(diǎn)不是任意的空間點(diǎn)，而是流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)過程中先后經(jīng)過的位置，是同一軌跡上的空間點(diǎn)，即流體質(zhì)點(diǎn)在流場(chǎng)中空間位置（x,y,z），都應(yīng)該與運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)間變量有關(guān)，不同時(shí)刻，每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)應(yīng)該有不同的空間坐標(biāo)。加速度:14液體質(zhì)點(diǎn)通過任意空間坐標(biāo)時(shí)的加速度：式中，(ax,ay,az)為通過空間點(diǎn)的加速度分量?！?.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法15對(duì)某一流體質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，歐拉變數(shù)（x,y,z）和時(shí)間t都變，而且（x,y,z）是時(shí)間t

的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，則寫為矢量形式§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法16時(shí)變加速度分量（三項(xiàng)）位變加速度分量（九項(xiàng)）§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法17用歐拉法表達(dá)加速度從歐拉法來(lái)看，不同空間位置上的液體流速可以不同；在同一空間點(diǎn)上，因時(shí)間先后不同，流速也可不同。因此，加速度分為：遷移加速度（位變加速度）：同一時(shí)刻，不同空間點(diǎn)上流速不同，而產(chǎn)生的加速度。當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r(shí)變加速度）：同一空間點(diǎn)，不同時(shí)刻上因流速不同，而產(chǎn)生的加速度。§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法18質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)物理參數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率。密度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)：物理參數(shù)的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)=當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)+遷移導(dǎo)數(shù)§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法BAr△r19(a,b,c):質(zhì)點(diǎn)起始坐標(biāo)

t:任意時(shí)刻(x,y,z):質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置坐標(biāo)(a,b,c,t):拉格朗日變數(shù)(x,y,z):空間固定點(diǎn)（不動(dòng)）

t:任意時(shí)刻(x,y,z,t):歐拉變數(shù)拉格朗日法歐拉法§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法20牛頓流體和非牛頓流體的流動(dòng)；理想流體和實(shí)際流體的流動(dòng)，可壓縮流體和不可壓縮流體的流動(dòng)；單相流體和多相流體的流動(dòng)等。按照流動(dòng)介質(zhì):§3.2流動(dòng)的分類穩(wěn)定流動(dòng)和不穩(wěn)定流動(dòng)；層流流動(dòng)和湍流流動(dòng)；有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)；亞聲速流動(dòng)和超聲速流動(dòng)等。按照流動(dòng)狀態(tài):一元流動(dòng)、二元流動(dòng)、三元流動(dòng)。按照描述流動(dòng)所需的空間坐標(biāo)數(shù)目:213.2.1穩(wěn)定流動(dòng)和不穩(wěn)定流動(dòng)§3.2流動(dòng)的分類22若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)要素都不隨時(shí)間變化，這種流動(dòng)稱為穩(wěn)定流動(dòng)，或稱為定常流動(dòng)或恒定流動(dòng)。即穩(wěn)定流動(dòng):§3.2流動(dòng)的分類23若流場(chǎng)中如果流場(chǎng)中每一空間點(diǎn)上的部分或所有運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化，則稱為不穩(wěn)定流動(dòng)，也稱為非恒定流動(dòng)或非定常流動(dòng)。即不穩(wěn)定流動(dòng):§3.2流動(dòng)的分類24§3.2流動(dòng)的分類穩(wěn)定流動(dòng)非穩(wěn)定流動(dòng)253.2.2一元、二元和三元流動(dòng)“維/元”是指空間自變量的個(gè)數(shù)。一維流動(dòng)：流場(chǎng)中流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。二維流動(dòng)：流場(chǎng)中流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。流場(chǎng)中流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)依賴于三個(gè)坐標(biāo)時(shí)的流動(dòng)。三維流動(dòng)：§3.2流動(dòng)的分類26實(shí)際上，任何實(shí)際液體流動(dòng)都是三維流，需考慮運(yùn)動(dòng)要素在三個(gè)空間坐標(biāo)方向的變化。由于實(shí)際問題通常非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)上求解三維問題的困難，所以流體力學(xué)中，在滿足精度要求的前提下，常用簡(jiǎn)化方法，盡量減少運(yùn)動(dòng)要素的“維”數(shù)?！?.2流動(dòng)的分類27例如，下圖所示的帶錐度的圓管內(nèi)黏性流體的流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如速度，即是半徑r的函數(shù)，又是沿軸線距離的函數(shù)，即：穩(wěn)定流動(dòng)u=u(r，x)，非穩(wěn)定流動(dòng)u=u(r，x，t)。顯然這是二元流動(dòng)問題。Ouxyx圖錐形圓管內(nèi)的流動(dòng)§3.2流動(dòng)的分類28工程上在討論其速度分布時(shí)，常采用其每個(gè)截面的平均值u。就將流動(dòng)參數(shù)如速度，簡(jiǎn)化為僅與一個(gè)坐標(biāo)有關(guān)的流動(dòng)問題，這種流動(dòng)就叫一維流動(dòng)，即：穩(wěn)定流動(dòng)u=u(x)，非穩(wěn)定流動(dòng)u=u(x，t)。§3.2流動(dòng)的分類Ouxyx圖錐形圓管內(nèi)的流動(dòng)29如圖所示的繞無(wú)限翼展的流動(dòng)就是二維流動(dòng)，二維流動(dòng)的參數(shù)以速度為例，可寫成：Oyx§3.2流動(dòng)的分類§3.2流動(dòng)的分類例：已知平面流場(chǎng)的速度分布為，求流場(chǎng)中加速度表達(dá)式。解：

∴31§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念3.3.1跡線和流線流體質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻流經(jīng)的空間點(diǎn)所連成的線，即流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡線。由拉格朗日法引出的概念。跡線:質(zhì)點(diǎn)的位置矢量：32§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念3.3.1跡線和流線從該方程的積分結(jié)果中消去時(shí)間t，便可求得跡線方程式。給定速度場(chǎng)，流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過時(shí)間移動(dòng)了距離，該質(zhì)點(diǎn)的跡線微分方程為：333.3.1跡線和流線某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線。由歐拉法引出。

流線:§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念34§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念3.3.1跡線和流線任一時(shí)刻t，曲線上每一點(diǎn)處的切向量都與該點(diǎn)的速度向量相切。則：流線微分方程：t是方程的參數(shù)。35§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念圖流經(jīng)彎道的流線圖繞過機(jī)翼剖面的流線36§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念流線的基本特性1.流線和跡線相重合。在定常流動(dòng)時(shí)，因?yàn)榱鲌?chǎng)中速度場(chǎng)不隨時(shí)間變化，所以通過同一點(diǎn)的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。2.流線不能相交和分支。通過某一空間點(diǎn)在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)將同時(shí)有幾個(gè)不同的流動(dòng)方向。3.流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。4.流線密集的地方，表示流場(chǎng)中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。37§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念流線的特例駐點(diǎn)：速度為0的點(diǎn)；奇點(diǎn)：速度為無(wú)窮大的點(diǎn)（源和匯）。在駐點(diǎn)和奇點(diǎn)處，由于不存在不同流動(dòng)方向，流線可以彼此相交。圖源圖匯駐點(diǎn)奇點(diǎn)38§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念3.3.2流管、流束和總流在流場(chǎng)中任取一不是流線的封閉曲線C，過曲線上的每一點(diǎn)作流線，這些流線所組成的管狀表面稱為流管。流管：C39§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念流管內(nèi)部的全部流體稱為流束。流管與流線只是流場(chǎng)中的一個(gè)幾何面和幾何線，而流束不論大小，都是由流體組成的。因?yàn)榱鞴苁怯闪骶€構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交)。流束：微小截面積的流束。如果封閉曲線取在管道內(nèi)部周線上，則流束就是充滿管道內(nèi)部的全部流體，這種情況通常稱為總流?？偭鳎何⑿×魇鹤⒁?0§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念3.3.3有效斷面、流量和平均流速處處與流線相垂直的截面稱為有效斷面。有效斷面有效斷面可能是曲面，或平面。在直管中，流線為平行線，有效截面為平面；

在有錐度的管道中，流線收斂或發(fā)散，有效截面為曲面。圖有效斷面為平面圖有效斷面為平面§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念3.3.3有效斷面、流量和平均流速單位時(shí)間內(nèi)流過有效斷面的流體量，稱為流量。流體量有三種表示方法：流量體積流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過有效斷面的流體體積。用“Q”表示，單位：m3/s，L/s，m3/h重量流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過有效斷面的流體重量。用”G”表示，單位：N/s，kgf/s，噸/時(shí)質(zhì)量流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過有效斷面的流體質(zhì)量。用“”表示，單位：kg/s§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念5.有效截面、流量和平均流速常把通過某一有效斷面的流量Q與該有效斷面面積A相除，得到一個(gè)均勻分布的速度v。

平均流速u(y)yqvv圖有效截面為平均流速§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念平均流速是一個(gè)假想的流速，即假定在有效截面上各點(diǎn)都以相同的平均流速流過，這時(shí)通過該有效截面上的體積流量仍與各點(diǎn)以真實(shí)流速流動(dòng)時(shí)所得到的體積流量相同。使流體運(yùn)動(dòng)得到簡(jiǎn)化（使三維流動(dòng)變成了一維流動(dòng)）。在實(shí)際工程中，平均流速是非常重要的。引入平均流速的意義§3.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念例：給定二元流動(dòng)的速度場(chǎng)，解：

求（1）t=1時(shí)過（1,1）點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的跡線；

（2）過（1,1）點(diǎn)的流線方程?！?.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念例：給定二元流動(dòng)的速度場(chǎng)，解：

求（1）t=1時(shí)過（1,1）點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的跡線；

（2）過（1,1）點(diǎn)的流線方程。練習(xí)1.歐拉法研究_____的變化情況(A)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度(B)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的軌跡(C)流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)的流速(D)流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)軌跡2.什么叫時(shí)變（當(dāng)?shù)兀┘铀俣龋裁唇形蛔儯ㄟw移）加速度？答：通過空間固定點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化率稱為當(dāng)?shù)丶铀俣?；流體質(zhì)點(diǎn)所在的空間位置的變化而引起的速度變化率稱為遷移加速度。C練習(xí)4.用解析法分析液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本方法有哪兩種？我們常采用哪種方法？為什么？答：有拉格朗日法和歐拉法兩種基本方法。我們常采用歐拉法，因?yàn)橛美窭嗜辗ㄐ枰私飧髁黧w質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的歷史況，這在數(shù)學(xué)上會(huì)遇到很多困難，而且分析流體運(yùn)動(dòng)往往只需要了解流動(dòng)空間中各運(yùn)動(dòng)要素之間的關(guān)系，沒有必要弄清楚逐個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，故常用歐拉法。練習(xí)5.定常流動(dòng)中，_______A.加速度為零B.流動(dòng)參數(shù)不