第3章 諧振荷載反應(yīng)-修正1

第三章高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)諧振荷載反應(yīng)無阻尼體系粘滯阻尼體系共振反應(yīng)加速度計與位移計隔振粘滯阻尼比的計算第三章諧振荷載反應(yīng)無阻尼體系在諧振荷載下的運動方程：(3-2)此微分的解可寫為：v(t)=vc(t)+vp(t)(3-8)1.無阻尼體系1.無阻尼體系單自由度體系的運動方程(2-3)

綜上

1.無阻尼體系上式中，β定義為荷載頻率與固有自由振動頻率比，即(3-10)在這種情況下，式（3-8）的反應(yīng)為1.無阻尼體系——靜力荷載p0作用下的位移；——簡諧荷載放大系數(shù)（MF）；——簡諧荷載引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量；與荷載相關(guān)并以干擾的頻率進行振動——初始條件控制的自由振動瞬態(tài)響應(yīng)分量；受到初始條件控制，并以固有頻率的頻率進行振動,稱為瞬態(tài)反應(yīng)，由于阻尼的作用會逐漸消失，但無阻尼時，不會，此時稱為伴隨自由振動；總反應(yīng)的兩個分量，會出現(xiàn)“拍”的現(xiàn)象；總反應(yīng)在0時刻斜率為0，表示初速度互相抵消，滿足指定的條件。反應(yīng)比：動力的與靜止的荷載作用反應(yīng)比值圖3-1從靜止初始條件開始正弦波激勵所引起的反應(yīng)比（a）穩(wěn)態(tài)；（b）瞬態(tài)；（c）總反應(yīng)R(t)MF

tttRp(t)+Rs(t)=R(t)

β×MF

(a)(b)(c)1.無阻尼體系(3-13)阻尼體系運動方程(3-19)粘滯阻尼的概念微分方程解的意義穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)反應(yīng)的意義2.粘滯阻尼體系2.粘滯阻尼體系參考方程（3-2）的求解過程，可得式（3-13）的解為：穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)——通常所關(guān)心的是式（3-19）第二項給出的穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)(3-20)

(3-21)2.粘滯阻尼體系圖3-2穩(wěn)態(tài)位移反應(yīng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)振幅(3-22)2.粘滯阻尼體系反應(yīng)滯后于荷載的相位角θ為(3-23)動力放大系數(shù)D：合成反應(yīng)位移與荷載p0所引起的靜位移比值(3-24)圖3-4相位角隨阻尼和頻率的變化圖3-3動力放大系數(shù)隨阻尼和頻率的變化2.粘滯阻尼體系再一次使用解的指數(shù)形式對求解穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)是有意義的?？紤]用指數(shù)形式描述諧振荷載的一般情況為

這里，是諧振荷載函數(shù)中的一個任意相位角。在涉及一般的諧振荷載時，尤其是可利用一系列諧振分量表示的周期荷載，對每一個諧振項必須說明其相位角。因此，采用復(fù)數(shù)比用幅值和相位角要方便。本章所研究的只有一個諧振項，因此相位角可以任意取，為了簡單可取為零。這樣，在荷載表達式中就不需要包含此項。(3-25)2.粘滯阻尼體系方程（3-25）的特解及它對時間的一階、二階導(dǎo)數(shù)為：

(3-26)

(3-27)2.粘滯阻尼體系將其帶入式（3-26）的第一式，并在復(fù)平面中繪出表示結(jié)果的兩個向量，如圖3-5所示。圖3-5采用粘滯阻尼的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)2.粘滯阻尼體系

(3-28)振幅ρ由式（3-22）給出?？紤]在穩(wěn)態(tài)諧振條件下作用在質(zhì)量上的力的平衡是有意義的。2.粘滯阻尼體系力的平衡要求慣性力、阻尼力、彈簧力之和等于所作用的荷載利用式（3-28），這些力為

(3-29)

(3-30)2.粘滯阻尼體系一個例題2.粘滯阻尼體系共振：作用荷載的頻率等于無阻尼自由振動固有振動頻率。

共振時β＝1(3-34)此時方程為(3-35)正弦項對反應(yīng)振幅影響很小！(3-36)3.共振反應(yīng)3.共振反應(yīng)

因此，式（3-34）成為

(3-37)(3-38)當阻尼趨近于零時，即ξ→0時，可獲得無阻尼體系的共振反應(yīng)比為3.共振反應(yīng)R(t)t

R(t)tπ無阻尼體系阻尼體系反應(yīng)比R（t）圖3-7靜止初始條件下共振荷載(β=1)反應(yīng)3.共振反應(yīng)圖3-9典型地震儀的示意圖3-3*動力放大系數(shù)隨阻尼和頻率的變化4.加速度計與位移計4.加速度計與位移計kmcvt(t)

輸出與相對位移v(t)成正比vt(t)=vg(t)+v(t)當有地面加速度(3-39)D值由圖3-3可查，當ξ=0.7時，在頻率范圍內(nèi)0≤β

≤0.6時，D為常數(shù)加速度計圖3-9所示體系——有地面干擾的質(zhì)量塊運動方程4.加速度計與位移計運動v(t)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)幅值可由式3-22得到，即：有地面位移條件有效荷載(3-40)位移計4.加速度計與位移計圖中ξ=0.5，β≥1時，

β2D為常數(shù)圖3-11對于諧振基底位移地震儀的反應(yīng)01230123頻率比β反應(yīng)振幅ρ=β2Dβ2D4.加速度計與位移計總結(jié)：一個相對柔軟的體系可以用作位移計，通過降低剛度或增加質(zhì)量的辦法可以擴大其使用范圍；一個相對剛硬的體系可以用作加速度計，通過增加剛度或減小質(zhì)量的辦法可以擴大其使用范圍。4.加速度計與位移計有隔振必要的兩種典型情況：阻止振動的輸出：例如：大型動力機器振動向地基中的傳播；地鐵車輛振動傳播。阻止振動的輸入：

例如：安置在明顯振動結(jié)構(gòu)上的精密儀器的隔振問題。5.隔振5.隔振情形1——豎直方向的振蕩力作用在基礎(chǔ)的振蕩力圖3-11單自由度隔振體系（作用荷載）m

v(t)ck/2k/2f=fs+fD位移反應(yīng)彈簧傳給基底的力(3-42)5.隔振作用在基底上的阻尼力阻尼力的相位角超前彈簧里90度，作用于基底的力幅值f為(3-43)傳導(dǎo)比（TR）——最大的基底力與作用力幅值的比(3-44)5.隔振基礎(chǔ)的運動穩(wěn)態(tài)相對位移圖3-12單自由度隔振體系（支座擾動）ck/2k/2m

vt(t)vt(t)=vg(t)+v(t)情形2——支座的擾動總的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)傳導(dǎo)比——質(zhì)量運動振幅與基底運動振幅的比5.隔振兩種情形具有相同形式的傳導(dǎo)比（TR）圖3-13振動傳導(dǎo)比（作用荷載或支座擾動）5.隔振

5.隔振隔振效率IE——隔振系統(tǒng)應(yīng)高于臨界頻率比下運行

5.隔振在小阻尼下，有：已知干擾頻率，要求的隔振效率，可由下圖得到應(yīng)有的靜位移。5.隔振隔振計算圖5.隔振小例題！P40圖E3-1在不平的橋面上行駛的車輛示意圖5.隔振P46兩種計算方法：運算與圖解小例題！5.隔振自由振動衰減法共振放大法半功率（帶寬）法每周的能量損失（共振試驗）滯變阻尼法6.粘滯阻尼比的計算結(jié)構(gòu)的能量損失機理十分復(fù)雜，阻尼很難確定！6.粘滯阻尼比的計算物理量的確定方法量測的量量測的設(shè)備需要確定量的計算方法6.粘滯阻尼比的計算自由振動衰減法——測量相隔m周的位移幅值之比(3-53)是振幅相關(guān)的,隨著振幅的減小,阻尼比也小。6.粘滯阻尼比的計算共振放大法基于相對位移反應(yīng)的穩(wěn)態(tài)振幅測量。激振頻率為包括體系固有頻率而跨越較寬范圍的離散值，從而獲得對應(yīng)激振的振幅，做出典型頻率----反應(yīng)振幅曲線。圖3-15中等阻尼體系的頻率反應(yīng)曲線6.粘滯阻尼比的計算阻尼比計算時用(4-43)(3-54)6.粘滯阻尼比的計算半功率（帶寬）法

半功率頻率的值可用下法求得：令方程（3-22）的反應(yīng)幅值為方程（3-54）求出的共振振幅的，即：在這種方法中，阻尼比由反應(yīng)減小到時的頻率來確定，在此頻率下輸入功率為共振功率的一半。6.粘滯阻尼比的計算解此方程得出頻率比為：將方程兩邊平方，則得：6.粘滯阻尼比的計算由此（忽略在根號內(nèi)的ζ2）可得兩個半功率頻率：因此，阻尼比等于這兩個半功率頻率差值的一半，即：一個小例題P49

（3-58）6.粘滯阻尼比的計算每周共振能量損失法如果儀器可以用來測量輸入力和所引起的位移之間的相位關(guān)系，則只需在共振時進行試驗就可以求出阻尼，則不需要做頻率反應(yīng)曲線。根據(jù)這種方法可以畫出阻尼力-位移圖，如圖3-16所示。如果結(jié)構(gòu)具有線性粘滯阻尼，則曲線為一橢圓，如圖3-16中虛線所示。阻尼系數(shù)可直接由最大阻尼力與最大速度的比來確定：圖3-16每周實際的和等效的阻尼能6.粘滯阻尼比的計算（4-45*）如果阻尼不是線性粘滯阻尼，則力-位移圖的形狀就不是橢圓，例如可以獲得如圖3-16中實線所示的曲線。等效作用力幅值可以由下式給出：式中:ωD為實際力-位移圖的面積，也即每周的能量損失。6.粘滯阻尼比的計算把上式代入方程（4-45*）即可得到一個每周能量損失表示的等效粘滯阻尼系數(shù)的表達式：（4-46*）在大多數(shù)的情況下，用臨界阻尼比來表示阻尼要比阻尼系數(shù)更要方便：（4-47*）圖3-17彈性剛度與應(yīng)變能vmax=ρkρ=fsmaxvfsk1面積=Es6.粘滯阻尼比的計算如果結(jié)構(gòu)是線性彈性的，則用這種方法所獲得的靜力-位移圖如圖3-17所示，而剛度即等于直線的斜率。另一方面，剛度也可以用力-位移圖的面積ωs表達如下：于是應(yīng)用方程（4-46*）至方程（4-48*）可得到阻尼比：（4-48*）（4-49*）下式粘滯阻尼系數(shù)將與頻率成反比，