第4章 理想流體動力學

理想流體動力學

本章主要內(nèi)容

1、歐拉運動微分方程

2、拉格朗日積分式

3、伯努利積分式

4、伯努利方程的幾何意義和能量意義

5、動量定理和動量矩定理

歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程式即理想流體動力學基本方程，歐拉于1775年根據(jù)牛頓第二定律F=ma列出理想流體的歐拉運動微分方程：

推導(dǎo)過程：某瞬間在理想流體中棱邊為dx,dy,dz的平行六面體，頂點A(x,y,z)處的速度V（x，y，z)壓力ｐ(x，y，z)

yxzdydzdxA(x,y,z)由牛頓第二定律：

Fi＝ｍａi(ｉ=x，y，z）以ｘ方向為例：（1）表面力沿ｘ向的合力：

（理想流體，各面上無切應(yīng)力）（2）質(zhì)量力在ｘ軸上的投影：ρXdxdydz（3）加速度在ｘ方向的投影：yxzdydzdxA(x,y,z)將以上各式代入（4-1）式中，并?。椋剑萌缦碌谝皇?。同理可得其余的兩式：連續(xù)性方程：以上四個方程式組成的方程組剛好可用來求解四個未知函數(shù)

、

、

和p。拉格朗日積分式拉格朗日積分是歐拉方程在非定常無旋運動條件下的積分。其做了三個假設(shè)：（1）理想不可壓縮流體，ρ=const；（2）質(zhì)量力具有勢函數(shù)。（3）運動是無旋的，存在速度勢函數(shù)φ，滿足：由（1）有由（2）有由（3）有將上述關(guān)系式代入歐拉方程，經(jīng)過整理就會得到拉格朗日積分式。非定常無旋運動的拉格朗日積分式（流體的質(zhì)量力只有重力的作用）定常無旋運動的拉格朗日積分式：

C為通用常數(shù)。上式在整個流場建立了速度與壓力之間的關(guān)系。如果我們用理論或?qū)嶒灥姆椒ㄇ蟪隽肆鲌龅乃俣确植?，就可以?yīng)用拉格朗日積分式求出流場的壓力分布，再將壓力分布沿固體表面積分，就可以計算出流體與固體之間的相互作用力。應(yīng)用拉格朗日積分式，可解釋許多重要的物理現(xiàn)象：如機翼產(chǎn)生升力的原因；兩艘并排行駛而又靠得很近的船舶為什么會產(chǎn)生互相吸引的“船吸現(xiàn)象”；以及在淺水航道行駛的船舶為什么會產(chǎn)生“吸底現(xiàn)象”等等。伯努利積分式拉格朗日積分式只能用于理想流體的無旋運動，對于有旋運動問題，我們有必要推到新的積分式，即伯努利積分式。其既可用于有旋運動，又可用于無旋運動。其也做了三個假設(shè)：（1）理想不可壓縮流體，質(zhì)量力有勢；（2）定常運動；（3）沿流線積分。由（1）和（2）有對于定常運動，流線與軌跡線重合，而在軌跡線上質(zhì)點的位移等于速度乘以時間。將以上各式帶入歐拉方程會得到將此三式相加，考慮到ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2，有因此，在流線上有于是得到在重力場中Ｕ＝－ｇｚ因此，歐拉方程的定常運動條件沿流線積分得到的伯努利積分式，即伯努利方程式。拉氏積分和伯氏積分的不同點：（1）應(yīng)用條件不同。拉氏積分只能用于無旋運動，伯氏積分沒有這種限制。（2）常數(shù)C的性質(zhì)不同。拉氏積分中的常熟在整個流場取同一值，稱之為普遍常數(shù)，伯氏積分的常數(shù)

只能在同一根流線上有意義，不同流線取不同值，稱之為流線常數(shù)。為了工程上的應(yīng)用，現(xiàn)將伯氏方程推廣到有限大的流束。漸變流動:流線近似平行，而且流線的曲率很小的流動，否則稱為急變流動。漸變流動特點：項在整個過水（過流）斷面上為常數(shù)。為簡單計，約定取過水斷面形心處的數(shù)值。流線上任意一點的速度ｖ近似地用過流斷面上的平均流速U來代替即用近似代替。于是有其中1、2是總流的任意兩個“漸變的”過水斷面。方程適用條件：（１）理想流體，定常流動；（２）只有重力的作用；（３）流體是不可壓縮的；（4）１、２截面處流動須是漸變流。但1、2兩斷面間不必要求為漸變流動。伯努利方程的幾何意義和能量意義幾何意義：具有長度量綱，單位為m，表示流體質(zhì)點或空間點在基準面以上的集合高度，又稱位置水頭。：也具有長度量綱，單位為m，表示流體在壓力p（相對壓力）的作用下測壓管中液面上升的高度，稱為壓力高度或壓力水頭，記為

。：這一項也具有長度量綱，單位為m，稱為流速高度或速度水頭，記為

。因此，伯努利方程即對于理想流體的定常運動，沿著流線的幾何高度、壓力高度和流速高度之和為一常數(shù)。也就是說三個高度加起來的總水頭H的端點的連線是一條水平線。能量意義：：代表單位質(zhì)量流體的位能，記為。即

：單位質(zhì)量流體的壓力能，記為

。：單位質(zhì)量流體的動能，記為

。即因此，伯努利方程

對于理想、不可壓縮流體，定常運動，只有重力作用時，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和在流線上為一常數(shù)。因為在定常運動中流線與軌跡重合，所以同一流體微團在運動過程中單位重量的位能、壓力能和動能之和保持不變。因此伯努利方程式能量守恒定律在流體力學中的體現(xiàn)。動量定理及動量矩定理工程中常常需要求流體和物體之間的相互作用力的合力或合力矩。這時應(yīng)用動量定理較為合適與方便。理論力學中，動量定理是按拉格朗日觀點對質(zhì)點系導(dǎo)出的，即質(zhì)系動量的變化率等于作用在該質(zhì)系上的合外力，即為應(yīng)用方便，需將動量定理轉(zhuǎn)換成適合于控制體的形式（歐拉法）?？刂企w：相對于所選坐標系，在流場中形狀、大小任意，固定不動的空間。控制面：控制體的邊界（可以是流體，固體）。流體經(jīng)過控制面流入、流出。通過控制面一般有流體質(zhì)量、動量、能量交換，控制體內(nèi)與控制體外的流體或固體存在作用力與反作用力。適合于控制體形式動量方程推導(dǎo)如下：流場中任取控制體體積為τ，控制面積σ，t時刻：流體在σ內(nèi),t+dt時刻：流體移到σ′內(nèi),總動量變化率：定常運動時，流體質(zhì)點離開空間區(qū)域Ⅱ,該位置將被同樣速度的另一質(zhì)點所占據(jù),即公共區(qū)域Ⅱ內(nèi)動量不變，即σ1的外法線與速度矢量相差180o，故取負號所以有兩項積分可合并成在σ＝σ1＋σ2上的積分

由動量定理，控制面σ內(nèi)流體的動量變化率應(yīng)等于作用于σ內(nèi)流體上外力的總和，即并可推導(dǎo)出式中包括：（１）質(zhì)量力，尤其是重力；（２）作用于σ上的合壓力為：（３）流體中的物體施加于流體上的作用力，這一項正是要求出的力。若略去重力，有于是動量定理可以寫成：為控制面