高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 市一等獎(jiǎng)

3．復(fù)數(shù)的幾何意義eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．復(fù)平面．(1)定義：建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面．(2)實(shí)軸：x軸叫做實(shí)軸．(3)虛軸：y軸(除去原點(diǎn))叫做虛軸．2．復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(1)實(shí)軸?實(shí)數(shù)．(2)虛軸(除原點(diǎn))?純虛數(shù)．(3)各象限的點(diǎn)?非純虛數(shù)．3．復(fù)數(shù)的兩種幾何形式(點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b)．(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)?點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)?向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．4．復(fù)數(shù)的模．向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|＝eq\r(a2＋b2)．若b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模等于|a|．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(自)eq\x(測(cè))1．復(fù)數(shù)2－3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(C)A．y＝x上B．y＝－x上C．3x＋2y＝0上D．2x＋3y＝0上解析：2－3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2，－3)，滿足方程3x＋2y＝0.故選C.2．若eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(0，－3)，則eq\o(OZ,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(C)A．等于0B．－3C．在虛軸上D．既不在實(shí)軸上，也不在虛軸上解析：eq\o(OZ,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3i，在虛軸上．故選C.3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1－i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是eq\r(2)．解析：1－i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(1，－1)，|OZ|＝eq\r(2).eq\a\vs4\al(（一）復(fù)平面)(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)唯一確定．因?yàn)橛行驅(qū)崝?shù)對(duì)(a，b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．(2)基本概念．①復(fù)平面：建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面．②實(shí)軸：坐標(biāo)系中的x軸叫實(shí)軸．在它上面的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．③虛軸：坐標(biāo)系中的y軸叫虛軸．除去原點(diǎn)外，在它上面的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．注：(1)習(xí)慣上，用大寫字母Z表示點(diǎn)，小寫字母z表示復(fù)數(shù)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)表示，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a，b)，而非(a，bi)．例如，復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(－2，3)表示復(fù)數(shù)－2＋3i；反之，復(fù)數(shù)－2＋3i對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2，3)．eq\a\vs4\al(（二）復(fù)數(shù)的幾何意義)(1)復(fù)數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)．因此，復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)與向量的應(yīng)用．在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))是由點(diǎn)Z唯一確定的；反過來，點(diǎn)Z也可以由向量eq\o(OZ,\s\up6(→))唯一確定．因此，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).注：(1)復(fù)數(shù)與向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提是向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)，若起點(diǎn)不是原點(diǎn)，則復(fù)數(shù)與向量就不能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(2)常把復(fù)數(shù)z＝a＋bi說成點(diǎn)Z(a，b)或說成向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).(3)規(guī)定：相等向量表示同一復(fù)數(shù)．eq\a\vs4\al(（三）復(fù)數(shù)的模)(1)定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或者|a＋bi|.(2)求法：|z|＝|eq\o(OZ,\s\up6(→))|＝eq\r(a2＋b2).(3)模的幾何意義：模的幾何意義就是復(fù)數(shù)z＝a＋bi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)(0，0)的距離．注：(1)實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)，故復(fù)數(shù)0的模為0.(2)模相等的兩個(gè)復(fù)數(shù)未必相等．例如，|i|＝1＝|－i|，但顯然i≠－i.1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)與點(diǎn)Z(a，b)及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示．2．由復(fù)平面內(nèi)適合某種條件的點(diǎn)的集合求其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，通常是由對(duì)應(yīng)關(guān)系列出方程(組)或不等式(組)，求得復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部的取值(范圍)來確定所求的復(fù)數(shù)．3．復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2)，從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z(a，b)和原點(diǎn)間的距離，類比向量的模可進(jìn)一步引申：|z1－z2|表示復(fù)數(shù)z1和z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1和Z2之間的距離．4．復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，然后再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．由于復(fù)數(shù)的模是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的?？梢员容^大?。?．復(fù)數(shù)z＝eq\f(3－4i,5)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(D)A第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．復(fù)數(shù)z＝eq\r(2)－i2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的(B)A．第一象限內(nèi)B．實(shí)軸上C．虛軸上D．第四象限上3．(2023·重慶卷)已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝eq\r(5)．4．a(chǎn)取何值時(shí)，z＝(a2－2a－8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－2,a＋1)))i(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z：(1)在復(fù)平面的x軸的下方？(2)在直線x＋y＋8＝0上？解析：(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的x軸的下方，則eq\f(a2－a－2,a＋1)＜0?a＜2，且a≠1.∴a＜2，且a≠－1時(shí)，點(diǎn)Z在復(fù)平面的x軸的下方．(2)點(diǎn)Z在直線x＋y＋8＝0上，則a2－2a－8＋eq\f(a2－a－2,a＋1)＋8＝0?a3－3a－2＝0?a2－a－2＝0(a≠－1)?a＝2.∴a＝2時(shí)，點(diǎn)Z在直線x＋y＋8＝0上．1．復(fù)平面中下列哪個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)(D)A．(1，2)B．(－3，0)C．(0，0)D．(0，－2)2．已知復(fù)數(shù)z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，則實(shí)數(shù)m的值為(A)A．1或3B．1C．3D．23．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的右側(cè)，則(D)A．a(chǎn)＞，b＞0B．a(chǎn)＞0，b＜0C．b＞0，a∈RD．a(chǎn)＞0，b∈R4．兩個(gè)不相等的復(fù)數(shù)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則a，b，c，d之間的關(guān)系為(A)A．a(chǎn)＝－c，b＝dB．a(chǎn)＝－c，b＝－dC．a(chǎn)＝c，b＝－dD．a(chǎn)≠c，b≠d解析：設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(a，b)，z2＝c＋di(c，d∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q(c，d)．∵P與Q關(guān)于y軸對(duì)稱，∴a＝－c，b＝d.5．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項(xiàng)中正確的是(D)A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|解析：|z1|＝|5＋3i|＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41)，∵eq\r(34)＜eq\r(41)，∴|z1|＜|z2|.6．已知0＜a＜2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是(C)A．(1，5)B．(1，3)C．(1，eq\r(5))D．(1，eq\r(3))解析：|z|＝eq\r(a2＋1)，∵0<a<2，∴1<a2＋1<5，∴1<|z|<eq\r(5).故選C.7．若復(fù)數(shù)z＝1－i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝eq\r(2)．8．若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，則復(fù)數(shù)z＝________．解析：依題意可設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)得eq\r(a3＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i答案：1＋2i或－1－2i9．已知復(fù)數(shù)z＝x－2＋yi的模為2eq\r(2)，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程為________．解析：依題意得eq\r(（x－2）2＋y2)＝2eq\r(2)，∴(x－2)2＋y2＝8.答案：(x－2)2＋y2＝810．設(shè)復(fù)數(shù)z＝2m＋(4－m2)i，當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：(1)位于虛軸上？(2)位于一、三象限上？(3)位于以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓上？解析：(1)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＝0，,4－m2≠0))?m＝0.∴m＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上．(2)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一、三象限，則2m·(4－m2)＞0?m(m－2)(m＋2)＜0?m＜－2或0＜m＜2.∴m＜－2或0＜m＜2時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一、三象限．(3)|z|＝eq\r(（2m）2＋（4－m2）2)＝4?m＝0或m＝±2.∴m＝0或m＝±2時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓上．?品味高考1．(2023·重慶高考)實(shí)部為－2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的(B)A．第一