高中數(shù)學北師大版3第二章概率第2章3

第二章§3一、選擇題1．壇中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與eq\x\to(A)2是()A．相互獨立事件 B．不相互獨立事件C．互斥事件 D．對立事件解析：∵A1與A2相互獨立，∴A1與eq\x\to(A)2也是相互獨立事件．答案：A2．一個口袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，則先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：由條件概率知P＝eq\f(\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)),\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)))＝eq\f(2,5).答案：C3．設(shè)某動物由出生算起活動20歲的概率為，活到25歲的概率為，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，則它活到25歲的概率是()A． B．C． D．解析：設(shè)動物活到20歲的事件為A，活到25歲的事件為B，則P(A)＝，P(B)＝，由于AB＝B，所以P(AB)＝P(B)，所以活到20歲的動物活到25歲的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f,＝.答案：B4．甲射手擊中靶心的概率為eq\f(1,3)，乙射手擊中靶心的概率為eq\f(1,2)，甲、乙兩人各射擊一次，那么eq\f(5,6)等于()A．甲、乙都擊中靶心的概率B．甲、乙恰好有一人擊中靶心的概率C．甲、乙至少有一人擊中靶心的概率D．甲、乙不全擊中靶心的概率解析：甲、乙兩人同時擊中靶心的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).所以當概率為eq\f(5,6)時，表示甲、乙不全擊中靶心的概率．故選D．答案：D二、填空題5．設(shè)A、B為兩個事件，若事件A和B同時發(fā)生的概率為eq\f(3,10)，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則事件A發(fā)生的概率為____________.解析：由題意知：P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(PAB,PB|A)＝eq\f(\f(3,10),\f(1,2))＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．已知A、B是相互獨立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，則P(Aeq\x\to(B))＝____________；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝____________.解析：A、B是相互獨立事件，∴A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也是相互獨立事件．又∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，故P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)eq\f(1,6)三、解答題7．在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．解析：設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因為n(AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).方法二：因為n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).8．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局中比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．解析：記“第i局甲獲勝”為事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙獲勝”為事件Bj(j＝3,4,5)．(1)設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件A，則A＝A3·A4＋B3·B4，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝×＋×＝.(2)記“甲獲得這次比賽勝利”為事件B，因前兩局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(B)＝P(A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝×＋××＋××＝.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論A與B的獨立性：(1)家庭中有兩個小孩；(2)家庭中有三個小孩．解析：(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個基本事件，由等可能性知概率各為eq\f(1,4).這時A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A、B不相互獨立．(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知這8個基本