第3章隨機過程

通信原理PrinciplesofCommunications課件整理：王懷興QQ：76944908Email：

76944908@TEL3章隨機過程通信過程中的信號與噪聲都有一定的隨機性，需要用隨機過程(rondomprocess)來描述。本章主要學習隨機過程的分布及數(shù)字特征，隨機過程的統(tǒng)計特性，隨機過程通過線性系統(tǒng)。本章內(nèi)容隨機過程的分布與數(shù)字特征平穩(wěn)、高斯、窄帶隨機過程的統(tǒng)計特性隨機過程通過線性系統(tǒng)正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性高斯白噪聲和帶限白噪聲3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程1隨機過程的定義(Definition)例：n臺示波器同時觀測并記錄噪聲源的輸出噪聲波形，每一臺輸出記為i(t)。(t)={1(t),2(t),…,n(t)}稱為隨機過程。1

(t)

2

(t)

3

(t)

4

(t)

5

(t)

6

(t)

隨機過程是所有樣本函數(shù)i(t)的集合；i(t)是隨機過程的一次實現(xiàn)，是確定的時間函數(shù);隨機過程任意時刻的值是一個是隨機變量；是時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程2隨機過程的分布函數(shù)(Distributionfunction)一維分布函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：二維分布函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：n維分布函數(shù)：n維概率密度函數(shù)：3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※均值(Average)或者數(shù)學期望(Mathematicexpectation)

(t)的均值是時間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。上式中，由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x。a(t)3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※方差(Variance)常記為2(t)，此處把任意時刻t1直接寫成了t。

所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※相關函數(shù)(correlationfunction)

(t1)和

(t2)分別是t1和t2時刻觀測到的隨機變量。可見，R(t1,t2)是兩個變量t1和t2的確定函數(shù)。※協(xié)方差函數(shù)(covariancefunction)a(t1)和a(t2)分別是在t1和t2時刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)為

(t)的二維概率密度函數(shù)。3.1隨機過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機過程3隨機過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※相關函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的關系※互相關函數(shù)(t)和(t)為兩個隨機過程，R(t1,t2)也稱自相關函數(shù)。3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程1平穩(wěn)隨機過程的定義若隨機過程(t)的統(tǒng)計特性與時間起點無關，則稱該隨機過程是嚴平穩(wěn)隨機過程。若(t)平穩(wěn)則有：一維分布函數(shù)與時間t無關二維分布函數(shù)只與時間間隔=t2–t1有關(1)其均值與t無關，為常數(shù)a(2)自相關函數(shù)只與有關滿足(1)和(2)為廣義平穩(wěn)在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。因此，研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程2各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)隨機過程(t)的數(shù)字特征(均值與相關函數(shù))是對(t)所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但實際很難獲得。各態(tài)歷經(jīng)含義：各態(tài)歷經(jīng)性隨機過程任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程所有可能狀態(tài)，其數(shù)字特征完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。各態(tài)歷經(jīng)隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定。平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均等于它任一次實現(xiàn)的時間平均，則為隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程2各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)【例3-1】隨機相位正弦波，A和c為常數(shù)，在(0,2π)均勻分布，(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性？解：(1)先求(t)的統(tǒng)計平均值：※數(shù)學期望※自相關函數(shù)3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程2各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)【例3-1】隨機相位正弦波，A和c為常數(shù)，在(0,2π)均勻分布，(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性？可見，(t)的數(shù)學期望為常數(shù)，自相關函數(shù)只與時間差有關，所以為廣義平穩(wěn)隨機過程。(2)求(t)的時間平均值因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)(self-correlationfunction)平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的性質—(t)的平均功率—的偶函數(shù)—R()的上界是R(0)—(t)的直流功率2是方差，表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。--當均值為0時，有R(0)=2

3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩(wěn)過程的功率譜密度(

power

spectral

density)對任意確定功率信號f(t)的功率譜密度定義為FT(f)是f(t)的截短函數(shù)fT

(t)的頻譜函數(shù)，如圖：把f(t)當作是(t)的一個樣本，過程的功率譜密度應看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，即：3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩(wěn)過程的功率譜密度(

power

spectral

density)※功率譜密度的計算平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換，稱為維納-辛欽關系(Wiener-Khinchine)。(1)過程平均功率(2)各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。(3)功率譜密度P(f)具有非負性和實偶性，即3.2平穩(wěn)隨機過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機過程3平穩(wěn)過程的功率譜密度(

power

spectral

density)※功率譜密度的計算[例3-2]

求隨機相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關函數(shù)和功率譜密度。解：[例3-1]已求出(t)為平穩(wěn)過程，相關函數(shù)為相關函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程1定義如果隨機過程(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：|B|jk

：行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子

bjk：為歸一化協(xié)方差函數(shù)3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程2重要性質(

crucialproperties)高斯過程n維分布只依賴各隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差，只需研究它的數(shù)字特征；廣義平穩(wěn)高斯過程的均值與時間無關，協(xié)方差只與時間間隔有關，其n維分布與時間起點無關，故它也是嚴平穩(wěn)的。如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程3高斯隨機變量(Gaussianrandomvariable)高斯過程在任一時刻的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量(高斯隨機變量)，其一維概率密度函數(shù)為a－均值，2－方差f(x+a)=f(x-a)關于直線x=a對稱a:分布中心，:標準偏差，隨減小而變高和變窄。當a=0和

=1時為標準化正態(tài)分布

3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程3高斯隨機變量(Gaussianrandomvariable)正態(tài)分布函數(shù)此積分無法用閉合形式計算，通常用查表法求式中稱為誤差函數(shù)，可查表求3.3高斯隨機過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機過程3高斯隨機變量(Gaussianrandomvariable)用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關系Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關系3.4平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程設線性時不變系統(tǒng)單位沖激響應為h(t)，輸入為vi(t)，輸出為vo(t)，則設輸入i(t)是平穩(wěn)的隨機過程，a為均值，Ri()為自相關函數(shù)，Pi()為功率譜密度。1輸出o(t)的均值H(0)是線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應。3.4平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程2輸出o(t)的自相關函數(shù)輸出的自相關函數(shù)僅是時間間隔的函數(shù)。若線性系統(tǒng)的輸入平穩(wěn)，則輸出也平穩(wěn)。3.4平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程3輸出o(t)的功率譜密度令

=+-，代入上式，得到※結論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應模值的平方。3.4平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機過程4輸出o(t)的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。設i(t)是高斯型，上式右端每一項都是一個高斯隨機變量，則輸出o(t)在任一時刻上得到的隨機變量是無限個高斯變量之和，則輸出為高斯過程。與輸入過程相比，輸出的數(shù)字特征已經(jīng)改變。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程若隨機過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f內(nèi)，即滿足f<<fc的條件，且fc遠離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機過程。窄帶隨機過程的譜密度窄帶隨機過程的樣本函數(shù)可以看作是包絡線緩慢變化的正弦波3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程窄帶隨機過程的表示式a(t)－隨機包絡，

(t)－隨機相位，c－中心頻率a(t)和

(t)相對于載波cosct的變化要緩慢得多。(t)的統(tǒng)計特性由a(t)和

(t)或c(t)和s(t)確定。若(t)統(tǒng)計特性已知，則a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性通常設(t)平穩(wěn)且均值為零，故E[(t)]=0

，所以※(t)的數(shù)學期望※(t)的自相關函數(shù)3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性因為(t)是平穩(wěn)的，故有Rξ(t,t+τ)=Rξ(τ)，這就要求上式的右端與時間t無關，而僅與有關。因此，若令t=0，上式仍應成立，它變?yōu)橐蚺c時間t無關，以下二式自然成立3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性即令t=0時同理再令t=π/2c時※

E[c(t)]=E[s(t)]=0，Rc(τ)與Rs(τ)只和τ有關。即若窄帶過程(t)平穩(wěn)，則c(t)和s(t)也必然平穩(wěn)。根據(jù)互相關函數(shù)的性質，應有與上式相比較有即(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關，故由式因為(t)是高斯過程，則c(t1)，s(t2)一定是高斯隨機變量，從而c(t)

、s(t)也是高斯過程。即一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其c(t)、s(t)也是高斯過程，且均值為零，方差相同；同一個時刻上得到的c(t)和s(t)是統(tǒng)計獨立的。3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程2a(t)和(t)的統(tǒng)計特性※聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,)3.5窄帶隨機過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機過程2a(t)和(t)的統(tǒng)計特性※聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,)式中：a0,=(0~2π)※a的一維概率密度函數(shù)可見，a服從瑞利(Rayleigh)分布?？梢?，服從均勻分布。a

與統(tǒng)計獨立。3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程1正弦波加窄帶高斯噪聲的表示n(t)－窄帶高斯噪聲；－正弦波的隨機相位，均勻分布在0～2間；A和c－確知振幅和角頻率3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統(tǒng)計特性利用上一節(jié)的結果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨立的高斯隨機變量，且有※zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)(相位一定)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統(tǒng)計特性※包絡的概率密度函數(shù)f(z)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統(tǒng)計特性可見，f(,z)與無關稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯(Rice)分布。式中I0(x)－第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。x≥0時，I0(x)是單調上升函數(shù)，且I0(0)=03.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統(tǒng)計特性當信號很小(A0)時，Az/n2→0，I0(Az/n2)1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。當(Az/n2)很大時，有上式近似為高斯分布包絡的概率密度函數(shù)曲線f(z)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統(tǒng)計特性3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡的統(tǒng)計特性相位的概率密度函數(shù)曲線f()3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章隨機過程1白噪聲n(t)(whitenoise)噪聲功率譜密度在所有頻率上均為一常數(shù)，即雙邊功率譜密度單邊功率譜密度※白噪聲的自相關函數(shù)：對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關函數(shù)：τ=0時才相關3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章隨機過程由于白噪聲帶寬無限，其平均功率為無窮大，即因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構造的一種理想化的噪聲形式。實際中，只要噪聲功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，就可視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，