高中數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí) 5

1.【2023湖南湘潭鳳凰中學(xué)月考】下列命題正確的是（）A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺(tái)【答案】B【解析】底面是等邊三角形，且各側(cè)面全等才是正三棱錐，Ａ錯(cuò)；選項(xiàng)還要保證各側(cè)面的公共邊互相平行，Ｃ錯(cuò)；截面要平行底面，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺(tái)，Ｄ錯(cuò)．2.【2023成都市第一次診斷性檢測(cè)】若一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的正方形，則這個(gè)幾何體的俯視圖不可能是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由題意可得，A是正方體，B是三棱柱，C是半個(gè)圓柱，D是圓柱，C不能滿足正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的正方形，故選C.3.【2023遼寧省大連市期末】若一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（）A.B.C. D．【答案】Ｃ【解析】可得直觀圖中等腰梯形的下底為，據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則，可知原平面圖形為直角梯形，上底為１，下底為，高為２，所以其面積為4.【2023四川宜賓市第一次診斷測(cè)試】一個(gè)三棱柱的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則三棱柱的表面積是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由正視圖知：幾何體是以底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為3的正三棱柱，所以底面積為2××22=4，側(cè)面積為3×（2+2+2）=，所以其表面積為．5.【2023浙江省嘉興市第一中學(xué)等五校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】如圖為一個(gè)幾何體的側(cè)視圖和俯視圖，若該幾何體的體積為，則它的正視圖為()【答案】B【解析】由幾何體的側(cè)視圖和俯視圖，可知幾何體為組合體，上方為棱錐，下方為正方體，由俯視圖可得，棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影為正方形一邊上的中點(diǎn)，頂點(diǎn)到正方體上底面的距離為1，所以選B.6.【2023江西省九校聯(lián)考】半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體一底面的中心即球的球心，設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長(zhǎng)為a，則有，得，所以半球的體積與正方體的體積之比.7.【2023一中高三上期半期考試】若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是()cm44322正視圖側(cè)視圖俯視圖A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖可知此幾何體是：底面半徑為2，高為3得圓錐的一半，所以其體積為，故選B.8.[2023河北省衡水中學(xué)四調(diào)考試]在棱長(zhǎng)為1的正方體中，著點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】若點(diǎn)P在棱AD上，設(shè)AP=x，則，所以，解得，同理點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn)，顯然點(diǎn)P不能在另外六條棱上，故選B.9.【2023山西大學(xué)附中月考】在三棱錐中，側(cè)棱兩兩垂直，，則三棱錐的外接球的表面積為【答案】14π【解析】三棱錐P-ABC的外接球即為以P-ABC為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體的外接球，所求球的直徑為，則球的表面積為.10.【2023四川石室中學(xué)“一診”模擬考試】正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，為六邊形；=4\*GB3④當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則?！敬鸢浮竣冖堋窘馕觥慨?dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以②正確；當(dāng)時(shí)，截面如圖，所以③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴④正確；綜上可知正確的序號(hào)應(yīng)為②④..11.【2023福建省南安第一中學(xué)期末】已知是兩條異面直線，，那么與的位置關(guān)系（）A．一定是異面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能相交【答案】C【解析】若c與b平行，而，據(jù)公理4則a與b平行，這與是兩條異面直線矛盾，所以選C.12．【2023福建南平質(zhì)檢】已知命題：，為異面直線，命題：直線，不相交，則是的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，為異面直線，則，不相交；反之，若，不相交，則，可能是異面直線，也可能是平行直線.故選A.13.【2023遼寧大連市第二十高級(jí)中學(xué)期末】在空間內(nèi),可以確定一個(gè)平面的條件是（A）三條直線,它們兩兩相交,但不交于同一點(diǎn)（B）三條直線,其中的一條與另外兩條直線分別相交（C）三個(gè)點(diǎn) （D）兩兩相交的三條直線【答案】A【解析】對(duì)于A，交于不在一直線的三點(diǎn)，這三線可確定一個(gè)平面，正確；若兩異面直線與第三線相交，則不能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；若三點(diǎn)在一直線上不能確定一平面，C錯(cuò)；若兩兩相交的直線交于一點(diǎn)，這三線也不一定能確定一平面，錯(cuò).14．【2023鄭州模擬】設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，給出以下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】對(duì)于①，可能還有；對(duì)于②，同樣可能還有；③是正確的；對(duì)于④，直線與平面的關(guān)系：，，，與相交都有可能.因此只有命題③正確.故選A.15.【2023遼師附中期中考試】設(shè)m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是()．A．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥nC．m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βD．m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β【答案】B【解析】對(duì)于A，若m∥α，n∥β且α∥β，說(shuō)明m、n是分別在平行平面內(nèi)的直線，它們的位置關(guān)系應(yīng)該是平行或異面，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n一定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β矛盾，通過(guò)平移使得m與n相交，且設(shè)m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，因?yàn)棣痢挺?，所以m與n所成的角為90°，故命題B正確．對(duì)于C，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可知m⊥α，n?β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正確；

對(duì)于D，若“m?α，n?α，m∥β，n∥β”，則“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故選B．16.【2023河北省唐山一中高三上學(xué)期12月調(diào)研考試】對(duì)于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是()A．若則B．若,則C．若則D．若,則【答案】A【解析】根據(jù)線面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必須是相交直線，所以A錯(cuò)誤．

B．根據(jù)直線和平面平行的判定定理可知，a必須在平面α外，所以B錯(cuò)誤．

C．根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則交線平行，所以C正確．D．根據(jù)面面平行的判定定理可知，直線a，b必須是相交直線，才能得到面面平行．所以D錯(cuò)誤．17．【2023黑龍江佳木斯市一中第三次調(diào)研】如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐的棱、的中點(diǎn)，，，，則異面直線與所成的角為()A.B.C.D.【答案】C【解析】取中點(diǎn)，連接，，則，，且或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，因?yàn)?，所以，故其補(bǔ)角為異面直線與所成的角且等于，故選C.18.【2023上海市六校聯(lián)考】如圖所示，在直三棱柱中，，，分別為的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①平面；②；③平面平面，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如圖所示，由于為直三棱柱，，，分別為的中點(diǎn)，得，所以平面，①正確，又因?yàn)?，且平面，所以可證得，所以②正確，由得平面平面，所以③正確，正確命題共有3個(gè)，故選D.19.【2023河南、河北、山西三省高考考前質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）】【答案】C【解析】因?yàn)锳B、DE都垂直平面ACD，所以DE∥AB，所以DE平行平面ABF，①正確；當(dāng)F為CE的中點(diǎn)時(shí)，取CD的中點(diǎn)G，連AG，F(xiàn)G，于是FG∥DE，則AB∥DE，且，所以ABFG為平行四邊形，則AG∥BF，又AC=AD，所以AG垂直CD，又DE垂直平面ACD，所以AG垂直DE，所以AG垂直平面CDE，則BF垂直平面CDE,②正確；因?yàn)锳C與平面CBE交于C，而B(niǎo)F在平面CBE內(nèi)，所以直線BF與AC不可能平行，所以③錯(cuò)；當(dāng)F為CE中點(diǎn)時(shí)，由②知BF垂直平面CDE，則DF垂直BF，而CD=DE，所以DF垂直CE，于是DF垂直平面CBE，則DF垂直BC,④正確.選C.20.【2023江西臨川二中與考】設(shè)，，是三個(gè)平面，，是兩條不同直線，有下列三個(gè)條件：①，；②，；③，.如果命題“，，且________，則”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________（把所有正確的題號(hào)填上）．【答案】①或③【解析】由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)，時(shí)，和在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．故應(yīng)填入的條件為①或③.21.【2023江西新余四中月考】如圖，在正方體中，給出以下四個(gè)結(jié)論：①直線平面②直線與平面相交③直線平面④平面平面上面結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.【答案】①④.【解析】因?yàn)槊嫫叫忻?所以①對(duì)；直線在平面內(nèi)，②錯(cuò)；顯然AD不垂直BD,所以AD不會(huì)垂直平面，③錯(cuò)；因?yàn)锽C平面，所以平面平面,④對(duì).22．【2023甘肅嘉峪關(guān)一中期末】若直線不平行于平面，且，則（）（A）內(nèi)的所有直線與異面（B）內(nèi)不存在與平行的直線（C）與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)（D）內(nèi)的直線與都相交【答案】B【解析】據(jù)直線與平面的三種位置關(guān)系，因?yàn)椋灾本€平行平面，或直線與平面相交，又直線不平行于平面，所以直線只能與平面相交，于是直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以C錯(cuò).又如圖，平面內(nèi)的直線分別與直線相交和異面，所以A,D也錯(cuò)，于是選B.23．【2023云南昆明一模】如果△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，那么△ABC的()A、三邊均與平行B、三邊中至少有一邊與平行C、三邊中至多有一邊與平行D、三邊中至多有兩邊與平行【答案】B【解析】若三角形所在平面平行于平面，即三邊均與平行，三頂點(diǎn)到平面的距離相等；若三角形的兩頂點(diǎn)在平面一側(cè)，另一頂點(diǎn)在平面另一側(cè)，也可以滿足三頂點(diǎn)到平面的距離相等，此時(shí)三角形存在一邊平行平面，所以選B.24.【2023江西新余一中第三次段考】【答案】D25.【2023浙江省嘉興市第一中學(xué)等五校第一次聯(lián)考】已知直線，平面滿足，則“”是“”的（）（A）充要條件（B）充分不必要條件（C）必要不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，若，兩面α、β可能平行可能相交，所以充分性不滿足，若，則l⊥β,由線面垂直的性質(zhì)可得，所以必要性滿足，綜上知選C.26.【2023四川省綿陽(yáng)中學(xué)高三第五次月考】設(shè)為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線．給出下列四個(gè)命題：①若則；②若則；③若，，則；④若則．其中真命題個(gè)數(shù)是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】若，則可以垂直也可以平行.故①錯(cuò)；若，則可以相交也可以平行，只有直線相交才有故②錯(cuò)；若，，則；故③正確；若則，故③正確.所以正確命題有兩個(gè)，故選擇B．27.【2023遼寧省五校協(xié)作體高三期中考試】設(shè)l為直線,,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則【答案】D【解析】若,，則,可能平行、可能相交，故A不正確；若,,則與相交都有可能,故B不正確；若,,則，故C不正確；只有D正確.所以選D.28.【2023綿陽(yáng)市高中第二次診斷性考試】已知是兩個(gè)不同點(diǎn)平面，下列條件中可以推出的是（A）存在一條直線a，；（B）存在一個(gè)平面；（C）存在兩條平行直線a，b,;（D）存在兩條異面直線a，b,【答案】D【解析】由a∥α，a⊥β，得到α⊥β，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由γ⊥α，γ⊥β可得α∥β或α與β相交，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由a?α，b?β，a∥β，b∥α可得α∥β或α與β相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，如圖，

a?α，b?β，a∥β，b∥α，在β內(nèi)過(guò)b上一點(diǎn)作c∥a，則c∥α，

則β內(nèi)有兩相交直線平行于α，則有α∥β．

選項(xiàng)D正確，

故選：D．29．【2023惠州市第三次調(diào)研考試】下列命題正確的是（）A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)；兩平面相交時(shí)也可以有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，故B錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確.30.【2023銀川一中期末】如圖，正方體ABCD－中，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn)，在平面內(nèi)且與平面平行的直線()A．不存在B．有1條C．有2條D．有無(wú)數(shù)條【答案】D【解析】在上取一點(diǎn)G，使得，連EG，DG，可證得，所以共面，于是在平面內(nèi)，平行的直線均平行平面，這樣的直線有無(wú)數(shù)條.31.【2023江蘇省揚(yáng)州中學(xué)第一學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】已知為直線，為平面，給出下列命題：①；②；③④其中正確的命題是（填寫(xiě)所有正確的命題的序號(hào)）【答案】②③【解析】命題①或，故不正確；命題②，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確；命題③，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確；命題④或m、n異面，所以不正確．故答案為②③．32.【2023武漢一模】如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________．【答案】eq\f(2\r(2),3)a【解析】如圖所示，連接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵M(jìn)N∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.33．【2023廣州模擬】如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件________時(shí)，有MN∥平面B1BDD1【答案】M∈線段FH【解析】連接FH，HN，F(xiàn)N，由平面HNF∥平面B1BDD1知當(dāng)M點(diǎn)滿足在線段FH上時(shí)，有MN∥面B1BDD1.34.【2023梅州一?！吭O(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】?jī)蓷l平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.故選B.35.【2023廣東揭陽(yáng)一中期末】設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β【答案】B【解析】對(duì)于A，還可以相交，錯(cuò)；對(duì)于C，有或，錯(cuò)；對(duì)于D，與的關(guān)系是不確定的，可任意，錯(cuò).選B.36.【2023海南省文昌中學(xué)月考】下列命題中錯(cuò)誤的是()A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β【答案】D【解析】對(duì)于命題A，在平面α內(nèi)存在直線l平行于平面α與平面β的交線，則l平行于平面β，故命題A正確．對(duì)于命題B，若平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，則平面α與平面β垂直，故命題B正確．對(duì)于命題C，設(shè)α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ內(nèi)取一點(diǎn)P不在l上，過(guò)P作直線a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，則a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a?γ，b?γ，∴l(xiāng)⊥γ.故命題C正確．對(duì)于命題D，設(shè)α∩β＝l，則l?α，但l?β.故在α內(nèi)存在直線不垂直于平面β，即命題D錯(cuò)誤，故選D.37．【2023山東濰坊第一直中學(xué)月考】PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列垂直關(guān)系正確的是()①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】A【解析】易證BC⊥平面PAB，則平面PAB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，則平面PAD⊥平面PAB，因此選A.38.【2023廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段考試（一）】已知直線平面，直線平面，則“”是“”的A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】直線平面，，則，又直線平面，所以；反之，若，與還可以異面，或與相交（即平面）.所以選C.39.【2023福建泉州五校高中畢業(yè)班摸底】若m,n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下面命題中的真命題是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，則【答案】C【解析】A中，只有當(dāng)m垂直于的交線時(shí)，才有，A錯(cuò)；B中，可能相交，如三棱柱的三個(gè)側(cè)面，故B錯(cuò)；C中，根據(jù)直線與平面垂直的定義可知C正確；D中，可能平行，也可能相交.40.【2023遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試試題】已知平面,則下列命題中正確的是() A．B．C．D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)中b可能跟斜交，B選項(xiàng)中可能與垂直，C選項(xiàng)中a可能與b不垂直，故D選項(xiàng)正確，故選D.41.【2023廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)期末】下列四個(gè)說(shuō)法：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．正確的是（）Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．③和④Ｄ．②和④【答案】D【解析】據(jù)面面垂直的判定定理知②正確，對(duì)于④，若此線垂直另一平面則一定垂直交線，顯然矛盾，所以④正確.42.【2023河南省周口中英文學(xué)校第三次月考】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】過(guò)A作AE垂直BD于E，因?yàn)槠矫鍭BD垂直平面BCD，所以AE垂直平面BCD，即AE垂直CD，又BD垂直CD，所以CD垂直平面ABD，所以CD垂直AB，又AB垂直AD，所以AB垂直平面ADC，從而平面ADC垂直平面ABC43.【2023河北故城高級(jí)中學(xué)月考】如圖，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_________時(shí)，有A1B⊥B1D1．(【答案】對(duì)角線AC與BD互相垂直【解析】當(dāng)對(duì)角線AC與BD互相垂直，且,所以，易得，所以.44.【2023合肥一模】如圖，在直角梯形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，將三角形沿折起.下列說(shuō)法正確的是．（填上所有正確的序號(hào)）①不論折至何位置（不在平面內(nèi)）都有平面；②不論折至何位置都有；③不論折至何位置（不在平面內(nèi)）都有；④在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使.【答案】①②④【解析】如圖，Q，P分別為CE，DE中點(diǎn)，可證是矩形，所以①②正確；當(dāng)平面平面時(shí)，有，④正確.故填①②④.45.【2023成都市一診】【答案】B【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則H(4，0，3)，P(x,4,z)，F(xiàn)(1，4，3)，又P到平面CDD1C1的距離等于PF的長(zhǎng)，所以有，得，所以，當(dāng)x=3時(shí)，最小為22.46.【2023遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試試題】已知點(diǎn)分別是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段與上的點(diǎn)，則與平面垂直的直線有條。（）A．0B．1C．2【答案】B【解析】設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），=（2，2，-1），設(shè)，則M（2-λ，2λ，2-2λ），

設(shè)，則N（2t，2t，2-t），

∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），

∵直線MN與平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=，

∵方程組只有唯一的一組解，∴與平面ABCD垂直的直線MN有1條．故選：B．47.【2023黑龍江雙鴨山一中高三數(shù)學(xué)期末試題】如圖：四棱錐中，（1）證明：平面（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面成角正弦值等于，若存在，指出點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1）證明：取線段BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE．因?yàn)锳D＝，∠PDA=30°，所以PA=1．因?yàn)锳D∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．

又因?yàn)锳B=AC，所以AE⊥BC，而B(niǎo)C＝2，所以AC＝AB＝=2，因?yàn)镻C＝，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC．

因?yàn)镻A⊥AD，且AD，AC?平面ABCD，AD∩AC=A，所以PA⊥平面ABCD．

（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則P(0，0，1),B(1，,,0),處（1，,，0），D(0，,,0)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)F在線段PD上，設(shè),可得，即，所以，設(shè)平面PBC的法向量為，則有，即，令x=1，得，因?yàn)橹本€CF與平面PBC所成角的正弦值等于，所以，解得，所以點(diǎn)F是線段PD的中點(diǎn)．.48.【2023綿陽(yáng)市第二次診斷性考試】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PD底面ABCD,PD=DC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EFPB,垂足為F,求證：平面;求二面角的余弦值解：（1）如圖，連結(jié)AC、BD交于O，連結(jié)OE．由ABCD是正方形，易得O為AC的中點(diǎn)，從而OE為△PAC的中位線，∴EOBACPDEFOxyz2023湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)期末聯(lián)考】BACPDEFOxyz如圖1，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=，D為邊SC上的點(diǎn)，且AD⊥SC，現(xiàn)將△SAD沿AD折起到達(dá)PAD的位置（折起后點(diǎn)S記為P），并使得PA⊥AB.（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，當(dāng)線段PB取得最小值時(shí)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：①設(shè)點(diǎn)E滿足，則是否存在λ，使得平面EAC與平面PDC所成的銳角是？若存在，求出λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②設(shè)G是AD的中點(diǎn)，則在平面PBC上是否存在點(diǎn)F，使得FG⊥平面PBC？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.50.【2023吉林東北師大附中第一次模擬】在四棱錐S—ABCD中，SA底面ABCD，ADAB,AD∥BC，AD=1，AB=BC=2,（I）求直線BS與平面SCD所成角的正弦值（II）求面SAB與面SCD所成二面角的正弦值解：（Ⅰ）設(shè)SA=m，∵SA2=DS2+DB2﹣2DS?DBcos＜＞，∴4+m2=1+m2+5﹣2××，解得m=2，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），B（0，2，0），=（0，﹣2，2），=（1，2，0），=（﹣1，0，2），設(shè)平面SCD的法向量為=（x，y，z），則，令z=1，則=（2，﹣1，1），設(shè)直線BS與平面SCD所成角為θ，則sinθ===．（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴平面SAB的法向量為=（1，0，0），cos＜＞==，平面SAB與面SCD所成的二面角的正弦值為=．51.【2023豫東、豫北十所名校聯(lián)考】如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADDB，其中三棱錐P-BCD的三視圖如圖所示，且(1)求證：ADPB(2)若PA與平面PCD所成角的正弦值為，求AD的長(zhǎng)解：由三視圖可知又，又。(2)由(1)可知，PD,AD,BD兩兩互相垂直，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=,結(jié)合sin∠BDC=可得.所以設(shè)為平面PCD的法向量，由題意得即，令y=3,則x=4,z=0，得平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)PA與平面PCD所成角為，可得，解之得，即AD=6.52.【2023福建泉州五校畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試】如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值。解：（1）因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.………3分（2）由（=1\*ROMANI）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－,則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，設(shè)平面A1BC1的法向量為，則,即，令，則，，所以.………6分同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以.由題知二面角A1－BC1－B1為銳角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.………8分(3)設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn)，且.所以.解得，，.所以.由，即.解得.………11分因?yàn)?，?/p>