高中數(shù)學人教A版第二章數(shù)列等比數(shù)列的前n項和 課時提升作業(yè)(十五)

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(十五)等比數(shù)列習題課(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.數(shù)列214，418，6116，…的前n項和S+1+12n+1 (n+1)+12-12n+1 【解析】選=214+418+61=(2+4+6+…+2n)+1=n(2n+2)2=n(n+1)+12-1【延伸探究】本題數(shù)列改為“112，314，518，71【解析】Sn=1+3+5+…+1=n1+2n-12=n2+1-122.(2023·寧波高一檢測)在正項數(shù)列an中，a1=2，點an,an-1n≥2在直線x-2y=0上，+1-2 +12n22 【解析】選A.因為點an,an-1n≥2在直線x-2又因為an>0，所以anan-1=2n所以數(shù)列an所以數(shù)列an的前n項和Sn=21-23.(2023·商丘高二檢測)數(shù)列an的首項為1，bn是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，且bn=an+1-ann∈N*，則 【解析】選A.因為bn所以bn=2×2n-1=2n，因為bn=an+1-ann∈N所以a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1(n≥2)，以上各式相加得an-a1=2+22+…+2n-1=21-2n-11-2=2n-2，所以an=2n-1，a1=1也適合此式，所以an=2n-1.4.“十一”期間，北京十家重點公司將舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來…按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是() 【解析】選B.由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘內(nèi)進入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，記第n個30分鐘內(nèi)進入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn，則an=4×2n-1，bn=n，則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為S=2+4(1-210)1-2-5.(2023·桂林高二檢測)數(shù)列1，(1+2)，(1+2+22)，…，(1+2+22+…+2n-1)…的前n項和為() ·2n-n+1-n +1-2-n【解析】選D.方法一：特殊值法，易知S1=1，S2=4，只有選項D適合.方法二：研究通項an=1+2+22+…+2n-1=2n-1，所以Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2.【補償訓練】已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n-12n，其前n項和Sn= B.10 【解析】選D.因為an=2n-12所以Sn=n-121-12n所以n=6.二、填空題(每小題5分，共15分)6.已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和.若a2·a3=2a1，且a4與2a7的等差中項為54，則S5=__________【解析】設數(shù)列{an}的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a2·a3=a1·a4=2a1，即a4=2.由a4與2a7的等差中項為54知，a4+2a7=2×5所以a7=122×5所以q3=a7a4=18，即q=12，a1所以S5=161-答案：317.某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于__________.【解析】每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，其前n項和Sn=2(1-2n由2n+1-2≥100，得2n+1≥102.由于26=64，27=128.則n+1≥7，即n≥6.答案：68.等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=3116，1a1+1a2+1a3+1a4+1【解題指南】若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列1an【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a解得q=2，a1=116所以Sn=1161-2答案：1三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2023·長春高一檢測)已知等差數(shù)列{an}的前四項和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列.(1)求通項公式an.(2)設bn=2an，求數(shù)列{bn}的前n項和S【解析】(1)設{an}的公差為d，由題意知4所以a1=-2,所以an=3n-5或an=52(2)當an=3n-5時，數(shù)列{bn}是首項為14所以Sn=14(1-8當an=52時，bn=42，所以Sn=42綜上，所以Sn=8n-128或Sn【拓展延伸】等差(比)數(shù)列的基本運算的兩類誤區(qū)(1)忽視題中的條件限制，如公差與公比的符號、大小等，導致增解.(2)不能靈活利用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量.10.(2023·徐州高二檢測)已知數(shù)列{an}的首項a1=23，an+1=2anan+1，n=1(1)證明：數(shù)列1a(2)求數(shù)列nan的前n項和S【解析】(1)因為an+1=2a所以1an+1=an+12an所以1an+1-1=又a1=23，所以1a1所以數(shù)列1an-1是以1(2)由(1)知1an-1=12·1即1an=12n+1，所以設Tn=12+222+3則12Tn=122+223由①-②得12Tn=12+122=121-12n1-1所以Tn=2-12n-1-又1+2+3+…+n=n(n+1)所以數(shù)列nan的前n項和Sn=2-2+n2n+n【補償訓練】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與an滿足Sn=1-an(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)求數(shù)列{n·an}的前n項和Tn.【解析】(1)由S1=1-a1得a1=1-a1，解得a1=12當n≥2時，an=Sn-Sn-1=1-an-(1-an-1)，化簡得：2an=an-1，故anan-1所以，an=12×12n-1(2)由題意得：Tn=1×12+2×122+…+n×1所以12Tn=1×122+2×123+…+(n-1)×①-②得：12Tn=12+122=12×1-12n1-所以Tn=2-2+n2n(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.(2023·臨沂高二檢測)已知數(shù)列{an}，a1=1，且a1+a2+…+an-1=an-1(n≥2，n∈N*)，則1an14n C.231-14【解析】選C.令Sn=a1+a2+…+an，n≥2時，依題意有Sn-1=an-1，①所以Sn=an+1-1，②②-①得an=an+1-an，即an+1又a1=a2-1，得a2=2，所以a2a1=2，所以an所以1an·an+1設數(shù)列1an·則Tn=21=2·141-12.如圖所示，作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去，前n個內(nèi)切圓的面積和為()A.a291-12C.a291-12【解析】選D.設第n個三角形的內(nèi)切圓半徑為an，則易知a1=12atan30°=36a，a2=12an=12an-1，故數(shù)列{an}是首項為36a，公比為12的等比數(shù)列.所以an=36×Sn=π(a12+a2=πa=πa=43×a=a2二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2023·寧波高一檢測)設數(shù)列an是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列bn是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則ab1+ab【解析】由題意得，an=1+2n-1bn=1×2n-1=2n-1，所以abn=2×2n-1-1=2n所以ab1+a=2-1+22-1+…+2n-1=2+22+…+2n-1=21-2n答案：2n+1-n-2【延伸探究】本題條件下計算數(shù)列{ban}的前n項和S【解析】由題意得ban=2a所以數(shù)列{ba其前n項和為Sn=1×1-44.設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f(x)·f(y)=f(x+y)，若a1=12，an=f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是__________【解析】由已知可得a1=f(1)=12a2=f(2)=[f(1)]2=12a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=123，…，an=f(n)=[f(1)]n=所以Sn=12+122+=121-1因為n∈N*，所以12≤Sn答案：1三、解答題(每小題10分，共20分)5.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.(2)令cn=2設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.【解析】(1)設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，由b2+S2=10，a5-2b2=a3，得q解得d所以an=3+2(n-1)=2n+1，bn=2n-1.(2)由a1=3，an=2n+1得Sn=n(n+2)，則n為奇數(shù)時，cn=2Sn=1nn為偶數(shù)時，cn=2n-1，所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=1-13+1=1-12n+1+2(1-4n)1-4=【補償訓練】(2023·南昌高二檢測)已知公比q不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1=12，前n項和為Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差數(shù)列(1)求等比數(shù)列{an}的通項公式.(2)對n∈N*，在an與an+1之間插入3n個數(shù)，使這3n+2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3n個數(shù)的和為bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)因為a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差數(shù)列，所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5，即2a6-3a5+a4=0，所以2q2-3q+1=0，因為q≠1，所以q=12所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an=12(2)bn=an+an+12Tn=34×32-6.(2023·浙江高考)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2，b1=1，an+1=2an(n∈N*)，b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1(1)求an與bn.(2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn.【解題指南】(1)根據(jù)數(shù)列遞推關系式，確定數(shù)列的特點，得到數(shù)列的通項公式.(2)根據(jù)(1)問得到新的數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法進行數(shù)列求和.【解析】(1)由