2017-2018版高中數(shù)學第一章計數(shù)原理3組合第1課時組合與組合數(shù)公式學案2-3

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第1課時組合與組合數(shù)公式學習目標1.理解組合及組合數(shù)的概念.2。能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式,并會應(yīng)用公式解決簡單的組合問題．知識點一組合的定義思考①從3，5,7,11中任取兩個數(shù)相除;②從3，5，7,11中任取兩個數(shù)相乘．以上兩個問題中哪個是排列?①與②有何不同特點?梳理從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．知識點二組合數(shù)與組合數(shù)公式從3，5,7,11中任取兩個數(shù)相除，思考1如何用分步乘法計數(shù)原理求商的個數(shù)？思考2你能得出Ceq\o\al（2,4）的計算公式嗎？梳理組合數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號________表示.組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al（m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al（m，m)）＝________________階乘形式Ceq\o\al（m，n）＝________________性質(zhì)Ceq\o\al(m,n）＝____________Ceq\o\al（m,n＋1）＝____________＋____________備注n，m∈N＋，且m≤n，規(guī)定Ceq\o\al（0，n）＝________類型一組合概念的理解例1判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．（1)8個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？（2)8個朋友相互各寫一封信，一共寫了多少封信？(3)從1,2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個?（4)從1,2,3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個集合，這樣的集合有多少個？反思與感悟判斷一個問題是否是組合問題的流程跟蹤訓(xùn)練1給出下列問題：(1)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3）a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需賽多少場?(4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍,有多少種不同的結(jié)果?在上述問題中,________是組合問題，________是排列問題．類型二組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1有關(guān)組合數(shù)的計算與證明例2（1)計算Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(3,7)·Aeq\o\al（3，3）；（2）求證：Ceq\o\al（m,n）＝eq\f（m＋1,n＋1）Ceq\o\al(m＋1，n＋1)。反思與感悟（1）涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Ceq\o\al(m，n)＝eq\f(A\o\al(m，n）,A\o\al（m,m）)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m?。┯嬎悖?)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f（n！,m！n－m！)計算．（3)計算時常利用的組合數(shù)的兩個性質(zhì)①Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al(n－m，n).②Ceq\o\al（m，n＋1）＝Ceq\o\al(m，n)＋Ceq\o\al（m－1,n）.跟蹤訓(xùn)練2（1）計算Ceq\o\al(98,100）＋Ceq\o\al（199,200)＝________.（2）計算Ceq\o\al(3,4）＋Ceq\o\al（3,5)＋Ceq\o\al（3,6）＋…＋Ceq\o\al(3，2015）的值為()A．Ceq\o\al(4，2015） B．Ceq\o\al(5，2015）C．Ceq\o\al(4,2016）－1 D．Ceq\o\al(5，2015)－1命題角度2含組合數(shù)的方程或不等式例3(1)已知eq\f(1,C\o\al(m，5））－eq\f（1,C\o\al(m,6）)＝eq\f(7，10C\o\al（m,7))，求Ceq\o\al（m，8）＋Ceq\o\al（5－m,8)；(2)解不等式：Ceq\o\al（4,n)>Ceq\o\al（6，n)。反思與感悟與排列組合有關(guān)的方程或不等式問題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，求解時，要注意由Ceq\o\al(m,n）中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m確定m、n的范圍,因此求解后要驗證所得結(jié)果是否適合題意．跟蹤訓(xùn)練3解方程3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al（2，x－4）。類型三簡單的組合應(yīng)用題例4一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球．(1）從口袋內(nèi)取出3個球,共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法?（3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球,有多少種取法？反思與感悟解簡單的組合應(yīng)用題,要首先判斷它是不是組合問題，即取出的元素是“合成一組"還是“排成一列”,其次要看這件事是分類完成還是分步完成．跟蹤訓(xùn)練4現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．（1）現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2）現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？1．下列四個問題屬于組合問題的是()A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從0，1，2,3，4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù)C．從全班同學中選出3名同學出席深圳世界大學生運動會開幕式D．從全班同學中選出3名同學分別擔任班長、副班長和學習委員2．集合M＝{x｜x＝Ceq\o\al(n，4），n≥0且n∈N}，集合Q＝｛1,2，3,4｝，則下列結(jié)論正確的是（)A．M∪Q＝{0，1，2，3，4｝ B．Q?MC．M?Q D．M∩Q＝{1，4｝3．滿足方程Cx2－x16＝Ceq\o\al（5x－5,16)的x值為(）A．1，3，5，－7B．1,3C．1，3，5D．3,54．不等式Ceq\o\al（n－3,10)〈Ceq\o\al（n－2，10）的解為(）A．3<n〈7 B．3≤n≤6C．n＝3,4，5 D．n＝3,4,5，6,75．從7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動，若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答)1．“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念，組合是m個元素形成的一個整體,不是數(shù),組合數(shù)是形成的不同組合的個數(shù)，是數(shù)量．2．對于有關(guān)組合數(shù)的計算、證明、解方程或不等式等問題，一是要注意組合數(shù)本身的意義及未知數(shù)的取值范圍．二是掌握組合數(shù)性質(zhì),在計算Ceq\o\al(m,n）時，若m〉eq\f(n,2），通常使用Ceq\o\al（m,n）＝Ceq\o\al（n－m,n）轉(zhuǎn)化；求多個組合數(shù)的和時，要注意觀察上、下標的特征，靈活運用Ceq\o\al(m,n＋1）＝Ceq\o\al（m，n)＋Ceq\o\al(m－1,n）.

答案精析問題導(dǎo)學知識點一思考①是排列，①中選取的兩個數(shù)是有序的，②中選取的兩個數(shù)無需排列．梳理為一組知識點二思考1第1步，從這四個數(shù)中任取兩個數(shù)，有Ceq\o\al（2，4)種方法；第2步，將每個組合中的兩個數(shù)排列，有Aeq\o\al(2，2）種排法．由分步乘法計數(shù)原理，可得商的個數(shù)為Ceq\o\al（2，4）Aeq\o\al(2,2)＝12。思考2因為Aeq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2），所以Ceq\o\al(2，4)＝eq\f（A\o\al（2，4)，A\o\al（2，2))＝6.梳理所有組合的個數(shù)Ceq\o\al（m,n）eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m?。〆q\f(n！，m!n－m!）Ceq\o\al（n－m，n)Ceq\o\al（m，n）Ceq\o\al(m－1,n）1題型探究例1解（1)每兩人握手一次，無順序之分,是組合問題．（2)每兩人相互寫一封信，是排列問題，因為發(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的．（3）是排列問題,因為取出3個數(shù)字后，如果改變這3個數(shù)字的順序，便會得到不同的三位數(shù)．(4)是組合問題，因為取出3個數(shù)字后，無論怎樣改變這3個數(shù)字的順序,其構(gòu)成的集合都不變．跟蹤訓(xùn)練1（1)(3）(2)（4）例2(1）解原式＝Ceq\o\al（4,10）－Aeq\o\al（3,7)＝eq\f（10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0。（2)證明因為右邊＝eq\f（m＋1，n＋1）Ceq\o\al(m＋1，n＋1)＝eq\f(m＋1，n＋1）·eq\f（n＋1！,m＋1！n－m?。絜q\f（n！，m！n－m?。紺eq\o\al(m,n),左邊＝Ceq\o\al(m，n)，所以左邊＝右邊，所以原式成立．跟蹤訓(xùn)練2（1)5150(2）C例3解(1)∵eq\f（1,C\o\al(m,5)）－eq\f(1，C\o\al（m，6))＝eq\f（7,10C\o\al（m，7）），∴eq\f(m!5－m！，5！)－eq\f(m！6－m!，6！)＝eq\f（7×7－m！m！,10×7!)，即eq\f(m！5－m！，5！)－eq\f(m！6－m5－m！,6×5!)＝eq\f（7×m！7－m6－m5－m！，10×7×6×5！)?！?－eq\f（6－m，6)＝eq\f（7－m6－m,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.∵0≤m≤5，∴m＝2，∴Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8)＝Ceq\o\al(2,8）＋Ceq\o\al（3,8)＝Ceq\o\al（3，9)＝84.(2)由Ceq\o\al（4，n）〉Ceq\o\al（6，n）,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(n！，4！n－4!)>\f(n！，6!n－6!)，，n≥6））?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n2－9n－10<0,,n≥6))?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－1〈n〈10，，n≥6，））又n∈N＋，∴該不等式的解集為｛6，7,8,9}．跟蹤訓(xùn)練3解原式可變形為3Ceq\o\al(4，x－3)＝5Aeq\o\al(2，x－4）,即eq\f（3x－3x－4x－5x－6，4×3×2×1）＝5(x－4）(x－5),所以(x－3）(x－6）＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去負根）．經(jīng)檢驗符合題意，所以方程的解為x＝11.例4解(1）從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,8）＝eq\f（8×7×6，3×2×1）＝56。（2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al（2,7）＝eq\f(7×6，2×1）＝21.(3）由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al（3,7）＝eq\f（7×6×5，3×2×1）＝35.跟蹤訓(xùn)練4解(1)從10名教師中選2