第二章過程特性及其數(shù)學模型

自動化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：4自動化控制系統(tǒng)特點：2PID圖：A\F\T\P\LC\I\R安裝位置過渡過程？過渡過程評價指標：基本5內(nèi)容回顧*1第二章過程特性及其數(shù)學模型第二章過程特性及其數(shù)學模型內(nèi)容提要化工過程的特點及其描述方法對象數(shù)學模型的建立建模目的機理建模實驗建模描述對象特性的參數(shù)放大系數(shù)Κ時間常數(shù)Τ滯后時間τ*3第二章過程特性及其數(shù)學模型第一節(jié)化工對象的特點及其描述方法化工對象（過程）:需要控制其參數(shù)的設備或裝置。一.化工對象特點：1.差異性：設備和裝置類型不同(換熱器、反應器、塔設備、流體輸送設備)，尺寸不同，內(nèi)部物料不同；需要控制的參數(shù)也各不相同(L、T、P、F)。2.實際情況：操作情況，環(huán)境差異。3.能動性：根據(jù)對對象特性的了解可以采取相應的措施，以達到最佳操作條件。所以，在控制系統(tǒng)的的設計和投運過程中，都離不開對對象特性的研究。二.對象特性：

用數(shù)學方法描述對象的輸出量隨輸入量及時間變化關(guān)系。三.數(shù)學模型的分類：

靜態(tài)模型：

動態(tài)模型：四.數(shù)學模型的表達方式：1.對象特性：用數(shù)學方法描述對象的輸入量與輸出量及時間變化關(guān)系。輸入量(輸入?yún)?shù)):

干擾作用和控制作用。輸出量(輸出參數(shù)):

被控變量對象干擾控制作用輸入輸入輸出y干擾通道：干擾輸出的關(guān)系控制通道：控制作用輸出的關(guān)系不同的通道函數(shù)關(guān)系不同。（差異性）通道:

由對象的輸入?yún)?shù)至被控變量的信號聯(lián)系。2.對象特性的描述方法1.機理法:根據(jù)對象或生產(chǎn)過程的內(nèi)部機理，列出相關(guān)的平衡方程。

物料平衡、能量平衡、物性方程、設備特性微分方程等。2.測試法:在所研究的對象上，對生產(chǎn)過程施加特定輸入作用，然后測取輸出量；得到一系列的實驗數(shù)據(jù),來分析系統(tǒng)的數(shù)學描述模型。三.數(shù)學模型的分類：靜態(tài)模型：輸入→輸出的傳遞函數(shù)關(guān)系。（設備、流程設計的基礎）

精餾塔：QF、QD、QW、TF、P

換熱器：F入、T出、F、T動態(tài)模型：輸入變化→輸出隨時間的變化關(guān)系。（控制系統(tǒng)設計的基礎）△x→y（t）對于控制系統(tǒng)，動態(tài)模型更重要靜態(tài)數(shù)學模型描述的是對象在靜態(tài)時的輸入量與輸出量之間的關(guān)系。動態(tài)模型描述的時對象在輸入量改變以后輸出量的變化情況。靜態(tài)數(shù)學模型是對象在達到平衡狀態(tài)時的動態(tài)數(shù)學模型的一個特例。靜態(tài)數(shù)學模型動態(tài)數(shù)學模型基礎特例*9第二章過程特性及其數(shù)學模型一般是在工藝流程和設備尺寸等都確定的情況，研究對象的輸入變量是如何影響輸出變量的。研究的目的是為了使所設計的控制系統(tǒng)達到更好的控制效果。

在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)量已確定的情況下，通過模型計算，確定設備的結(jié)構(gòu)、尺寸、工藝流程和某些工藝條件。

（a）（b）（c）用于控制的數(shù)學模型（a、b）與用于工藝設計與分析的數(shù)學模型（c）不完全相同。4*10第二章過程特性及其數(shù)學模型四.數(shù)學模型的表達方式：1.非參量模型：用曲線、表格表達數(shù)學模型。輸入量0t0時間t2.參量模型：用數(shù)學方程式來描述數(shù)學模型。

普遍形式：

any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y'(t)+any(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+…+b1x'(t)+bnx(t)

多數(shù)情況：

any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y'(t)+any(t)=x(t)一階對象：a1y'(t)+ay(t)=x(t)輸出量0t0時間t第二節(jié)對象數(shù)學模型的建立一、建模目的（1）控制系統(tǒng)的方案設計

（2）控制系統(tǒng)的調(diào)試和控制器參數(shù)的確定

（3）制定工業(yè)過程操作優(yōu)化方案

（4）新型控制方案及控制算法的確定

（5）計算機仿真與過程培訓系統(tǒng)

（6）設計工業(yè)過程的故障檢測與診斷系統(tǒng)

*12第二章過程特性及其數(shù)學模型二.機理建模根據(jù)對象或生產(chǎn)過程的內(nèi)部機理，列出相關(guān)的平衡方程。

物料平衡、能量平衡、物性方程、設備特性方程等。是對象特性的理論描述，有明確的物理意義，通用性好，便于模型參數(shù)的調(diào)整。缺點：建模過程復雜，有些對象無法建立模型；而且在建模過程中往往需要一些近似，使得模型對對象的描述不準確。二.機理建模1.一階對象：物料平衡:

Q1≠Q(mào)2

(Q1－Q2)dt＝Adh

h1Q12Q2T:時間常數(shù)、K:放大系數(shù)h→Q1（t）二.機理建模2.積分對象：物料平衡:h→Q1（t）

Q1≠Q(mào)2

(Q1－Q2)dt＝Adh

Q2不變h1Q1Q2RC電路eie0RC根據(jù)基爾霍夫定律*16第二章過程特性及其數(shù)學模型典型的微分方程

典型的階躍響應函數(shù)

一階對象：*17第二章過程特性及其數(shù)學模型二.機理建模3.二階對象：

物料平衡:h2→Q1（t）

(Q1－Q12)dt＝Adh1

①(Q12－Q2)dt＝Adh2

②

h11Q1h2R1Q12R2Q2·二階線性對象（總結(jié)）典型的微分方程典型的階躍響應函數(shù)*19第二章過程特性及其數(shù)學模型理論推導：

1.微分方程階數(shù)很高

2.假設因素很多

3.假設的次要因素可能在一定程度上成為主要因素

(數(shù)據(jù)不太可靠)

機理建模對于某些對象，人們還難以寫出它們的數(shù)學表達式，或者表達式中的某些系數(shù)還難以確定時，不能適用。具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很大的適應性，便于對模型參數(shù)進行調(diào)整。

優(yōu)點缺點*21第二章過程特性及其數(shù)學模型過程特性參數(shù)可以由過程的數(shù)學模型通過求解得到，但是在生產(chǎn)過程中，很多過程的數(shù)學模型是很難得到的。工程上一般用實驗方法來測定過程特性參數(shù)。最簡便的方法就是直接在原設備或機器中施加一定的擾動，通過該過程的輸出變量進行測量和記錄，然后通過分析整理得到過程特性參數(shù)。三、實驗建模*22第二章過程特性及其數(shù)學模型對象特性的實驗建?！诒豢貙ο笊先藶榧尤胼斎肓?，記錄表征對象特性的輸出量隨時間的變化規(guī)律。

被控對象輸入量輸出量系統(tǒng)辨識對象模型階躍信號脈沖信號偽隨機信號……表格數(shù)據(jù)響應曲線……階躍輸入t0At0A矩形脈沖t1應用對象的輸入輸出的實測數(shù)據(jù)來決定其模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)----系統(tǒng)辨識*23第二章過程特性及其數(shù)學模型加測試信號前，要求系統(tǒng)盡可能保持穩(wěn)定狀態(tài)，否則會影響測試結(jié)果；輸入量/輸出量的起始時間是相同的，起始時間是輸入量的加入時間，輸出量的響應曲線可能滯后于輸入量的響應，其原因是純滯后或容量滯后；操作要求：*24第二章過程特性及其數(shù)學模型在測試過程中盡可能排除其它干擾的影響，以提高測量精度；在相同條件下重復測試多次，以抽取其共性；在測試和記錄的過程中，應持續(xù)到輸出量達到新的穩(wěn)態(tài)值；許多工業(yè)對象不是真正的線性對象，由于非線性關(guān)系，對象的放大倍數(shù)是可變的，所以作為測試對象的工作點應該選擇正常的工作狀態(tài)（一般要求運行在額定負荷、正常干擾等條件下）。*25第二章過程特性及其數(shù)學模型實驗建模要求小結(jié):*26條件正常工作狀態(tài)生產(chǎn)平穩(wěn)沒有其他干擾操作輸入輸出同步新穩(wěn)定狀態(tài)多次第二章過程特性及其數(shù)學模型階躍擾動法直觀、簡便易行、所以得到了廣泛的應用。但是階躍擾動時間較長、擾動因素較多的話，會影響測試精度；由于工藝條件的限制，階躍擾動幅度不能太大，所以在實施擾動法時應該在系統(tǒng)相對穩(wěn)定的情況下進行。一般所加輸入作用的大小事取額定值的5~10%。1.階躍擾動法：階躍輸入t0A*27簡易但精度較差第二章過程特性及其數(shù)學模型矩形脈沖干擾法來測取對象特性時，由于加在對象的干擾，經(jīng)過一段時間后即被去除，因此干擾的幅度可以取得比較大，以提高實驗精度，對象的輸出量又不至于長時間地偏離給定值，因而對正常生產(chǎn)影響較小。目前，這種方法也是測取對象動態(tài)特性地常用方法之一。t0A矩形脈沖t1*28幅值較大，實驗精度較高第二章過程特性及其數(shù)學模型2.矩形脈沖擾動法在過程的輸入端施加一系列頻率不同的周期性擾動，一般以正弦波居多。由于正弦波擾動圍繞在設定值上下波動，對工藝生產(chǎn)的影響較小，測試精度較高，可直接取得過程的頻率特性，數(shù)據(jù)處理簡單、直觀。本法需要復雜的正弦波發(fā)生器，測試的工作量較大。*29第二章過程特性及其數(shù)學模型3.周期擾動法該法可直接利用正常運行所記錄的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，建立數(shù)學模型，進而獲得過程特性參數(shù)。*30第二章過程特性及其數(shù)學模型4.統(tǒng)計分析法四、對象特性的混合建模

由于機理建模和實驗建模各優(yōu)特點，目前比較實用的方法是將二者結(jié)合起來，成為混合建模?；旌辖５倪^程：先通過機理建模獲取數(shù)學模型的結(jié)構(gòu)形式，通過實驗建模（辨識）來求?。ü烙嫞┠Ｐ偷膮?shù)。

在已知模型結(jié)構(gòu)的基礎上，通過實測數(shù)據(jù)來確定其中的某些參數(shù)---參數(shù)估計*31第二章過程特性及其數(shù)學模型

用特性方程來描述對象特性在實際操作中很不直觀，故提取了3個參數(shù)來直接描述對象特性。下面研究前提，假定輸入量是有一定幅值的階躍作用。第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)*32第二章過程特性及其數(shù)學模型一、放大系數(shù)K

對于前面介紹的水槽對象，當流入流量Q1有一定的階躍變化后，液位h也會有相應的變化，但最后會穩(wěn)定在某一數(shù)值上。如果我們將流量Q1的變化ΔQ1看作對象的輸入，而液位h的變化Δh看作對象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時，對象一定的輸入就對應著一定的輸出，這種特性稱為對象的靜態(tài)特性。*33第二章過程特性及其數(shù)學模型圖2-12水槽液位的變化曲線或K在數(shù)值上等于對象重新穩(wěn)定后的輸出變化量與輸入變化量之比。K越大，就表示對象的輸入量有一定變化時，對輸出量的影響越大，即被控變量對這個量的變化越靈敏。26舉例以合成氨的轉(zhuǎn)換爐為例，說明各個量的變化對被控變量K的影響

生產(chǎn)過程要求一氧化碳的轉(zhuǎn)化率要高，蒸汽消耗量要少，觸媒壽命要長。通常用變換爐一段反應溫度作為被控變量，來間接地控制轉(zhuǎn)換率和其他指標。圖2-13一氧化碳變換過程示意圖圖2-14不同輸入作用時的被控變量變化曲線*35第二章過程特性及其數(shù)學模型K對過渡過程的影響階躍輸入作用下，對象輸出達到新的穩(wěn)定值時，輸出變化量與輸入變化量之比，稱為靜態(tài)增益（輸出靜態(tài)變化量與輸入靜態(tài)變化量之比）。u廣義對象fyK其它參數(shù)不變控制通道放大系數(shù)

干擾通道放大系數(shù)

*36第二章過程特性及其數(shù)學模型K0

越大控制變量u對被控變量y的影響越靈敏控制能力強Kf

越大干擾f對被控變量y的影響越靈敏。在設計控制系統(tǒng)時，應合理地選擇K0使之大些，抗干擾能力強，太大會引起系統(tǒng)振蕩。

*37第二章過程特性及其數(shù)學模型二、時間常數(shù)T

從大量的生產(chǎn)實踐中發(fā)現(xiàn)，有的對象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達到了穩(wěn)定值；有的對象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經(jīng)過很長時間才能達到新的穩(wěn)態(tài)值。圖1-15不同時間常數(shù)對象的反應曲線如何定量地表示對象受干擾后的這種特性呢？

在自動化領(lǐng)域中，往往用時間常數(shù)T來表示。時間常數(shù)越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達新的穩(wěn)定值所需的時間越長。

29*39第二章過程特性及其數(shù)學模型舉例簡單水槽為例由前面的推導可知假定Q1為階躍作用，t<0時Q1=0；t>0或t=0時Q1=A，如左圖。則函數(shù)表達式為（2-33）圖2-16反應曲線*40第二章過程特性及其數(shù)學模型

從上頁圖反應曲線可以看出，對象受到階躍作用后，被控變量就發(fā)生變化，當t→∞時，被控變量不再變化而達到了新的穩(wěn)態(tài)值h（∞），這時上式可得：或

對于簡單水槽對象，K=RS，即放大系數(shù)只與出水閥的阻力有關(guān)，當閥的開度一定時，放大系數(shù)就是一個常數(shù)。（2-34）*41第二章過程特性及其數(shù)學模型將t=T代入式（2-33），得（2-35）將式（2-34）代入式（2-35），得（2-36）

當對象受到階躍輸入后，被控變量達到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時間，就是時間常數(shù)T，實際工作中，常用這種方法求取時間常數(shù)。顯然，時間常數(shù)越大，被控變量的變化也越慢，達到新的穩(wěn)定值所需的時間也越大。*42第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)圖2-17不同時間常數(shù)下的反應曲線T1＜T2＜T3＜T4

說明時間常數(shù)大的對象（如T4)對輸入的反應較慢，一般認為慣性較大。*43第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)在輸入作用加入的瞬間，液位h的變化速度是多大呢？將式（2-33）對t求導，得（2-37）當t=0（2-38）當t

→∞時，式（2-37）可得（2-39）*44第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)圖2-18時間常數(shù)T的求法

由左下圖所示，式（2-38）代表了曲線在起始點時切線的斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值h（∞）上截得的一段時間正好等于T。由式（2-33），當t=∞時，h=KA。當t=3T時，代入式（2-33）得（2-40）

從加入輸入作用后，經(jīng)過3T時間，液位已經(jīng)變化了全部變化范圍的95％，這時，可以近似地認為動態(tài)過程基本結(jié)束。所以，時間常數(shù)T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過程所需要的時間的一個重要參數(shù)。

結(jié)論*45第二章過程特性及其數(shù)學模型T對過渡過程的影響

時間常數(shù)：在階躍輸入作用下，對象輸出達到最終穩(wěn)態(tài)變化量的63.2％所需要的時間。或者：當對象受到階躍輸入作用后，被控變量如果保持初始速度變化，達到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時間就是時間常數(shù)。*46第二章過程特性及其數(shù)學模型時間常數(shù)T是反映響應變化快慢的重要參數(shù)。用T表示的響應變化，T大反應慢，難以控制；T小反應快。T（其它參數(shù)不變）*47第二章過程特性及其數(shù)學模型控制通道TO大

響應慢、控制不及時、過渡時間tp長、超調(diào)量大控制通道TO小

響應快、控制及時、過渡時間tp短、超調(diào)量小控制通道TO太小

響應過快、容易引起振蕩、降低系統(tǒng)穩(wěn)定性。干擾通道的時間常數(shù)對被控變量輸出的影響也是相類似的。*48第二章過程特性及其數(shù)學模型一般情況希望TO小些，但不能太小，Tf大些。*49第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)三、滯后時間τ定義分類

對象在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。滯后性質(zhì)傳遞滯后容量滯后

傳遞滯后又叫純滯后，一般用τ0表示。τ0的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需要一段時間而引起的。

對象在受到階躍輸入作用x后，被控變量y開始變化很慢，后來才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩(wěn)定值。*50第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)1.傳遞滯后顯然，純滯后時間τ0與皮帶輸送機的傳送速度v和傳送距離L有如下關(guān)系：（2-41）溶解槽及其反應曲線純滯后時間舉例第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)從測量方面來說，由于測量點選擇不當、測量元件安裝不合適等原因也會造成傳遞滯后。蒸汽直接加熱器

當加熱蒸汽量增大時，槽內(nèi)溫度升高，然而槽內(nèi)溶液流到管道測溫點處還要經(jīng)過一段時間τ0。所以，相對于蒸汽流量變化的時刻，實際測得的溶液溫度T要經(jīng)過時間τ0后才開始變化。注意：安裝成分分析儀器時，取樣管線太長，取樣點安裝離設備太遠，都會引起較大的純滯后時間，工作中要盡量避免。*52第二章過程特性及其數(shù)學模型圖2-21有、無純滯后的一階階躍響應曲線x為輸入量，y（t）、yτ（t）分別為無、有純滯后時的輸出量時或若無純滯后的對象特性可以用下述方程式描述（2-44）則有純滯后的對象特性可以用下述方程式描述（2-45）第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)*53第二章過程特性及其數(shù)學模型一般是由于物料或能量的傳遞需要通過一定阻力而引起的。

舉例前面介紹過的兩個水槽串聯(lián)的二階對象將輸出量h2用y表示，輸入量Q1用x表示，則方程式可寫為假定輸入作用為階躍函數(shù)，其幅值為A。已知，二階常系數(shù)微分方程式的解是（2-46）（2-47）2.容量滯后*54第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)由于對應的齊次方程式為其特征方程為求得特征根為故齊次方程式的通解為式中，C1、C2為決定于初始條件的待定系數(shù)。（2-48）（2-49）（2-50）*55第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)式（2-46）的一個特解可以認為是穩(wěn)定解，由于輸入x＝A，穩(wěn)定時將式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47）可得用初始條件y(0)=0，y(0)=0代入式（2-52）可分別解得圖2-22具有容量滯后對象的反應曲線

（2-51）（2-52）（2-53）（2-54）*56第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)將上述兩式代入式（2-52），可得

上式便是串聯(lián)水槽對象的階躍反應函數(shù)。由此式可知，在t=0時y（t）=0；在t=∞時，y（t）＝KA。y（t）是穩(wěn)態(tài)值KA與兩項衰減指數(shù)函數(shù)的代數(shù)和。說明：輸入量在作階躍變化的瞬間，輸出量變化的速度等于零，以后隨著t的增加，變化速度慢慢增大，但當t大于某一個t1值后，變化速度又慢慢減小，直至t→∞時，變化速度減少為零。

（2-55）*57第二章過程特性及其數(shù)學模型第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)圖2-23串聯(lián)水槽的反應曲線容量