第三章誤差理論

第三章

測量誤差理論及其處理基礎§3.1測量誤差概述§3.2偶然誤差的特性§3.3衡量精度的指標§3.4誤差傳播定律§3.5等精度直接觀測平差§3.6不等精度直接觀測平差2/4/20231長安大學地測學院

◆測量與觀測值

◆觀測與觀測值的分類

●觀測條件

●等精度觀測和不等精度觀測

●直接觀測和間接觀測

●獨立觀測和非獨立觀測§3.1測量誤差概述測量即將物理量與作為單位的量比較，求出其相對于單位量的數(shù)值過程。一次測量過程稱觀測，得到的數(shù)值稱觀測值或觀測結果?！?/p>

觀測誤差與模型誤差2/4/20232長安大學地測學院

一、測量誤差產生的原因●測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經驗等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風、大氣折光等

●

測量誤差的表現(xiàn)形式

●

測量誤差（真誤差=觀測值-真值）（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）2/4/20233長安大學地測學院例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計算改正

鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準儀i角誤差

操作時抵消(前后視等距)

經緯儀視準軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性。●系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計算改正、觀測方法、儀器檢校)二、測量誤差的分類：1.粗差(錯誤)——超限的誤差。不允許出現(xiàn)在測量結果中。2/4/20234長安大學地測學院3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產生誤差。三、測量誤差的處理原則

多余觀測

四、測量平差2/4/20235長安大學地測學院舉例:

在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內角之和，得到358個三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對三角形閉合差i

進行分析。

分析結果表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?！?.3偶然誤差的特性2/4/20236長安大學地測學院2/4/20237長安大學地測學院用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點連線經光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律

圖3-1誤差統(tǒng)計直方圖2/4/20238長安大學地測學院◆從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的四個特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實用意義。

3.偶然誤差的特性(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的頻率大(聚中性)；(3)絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的頻率大致相等(對稱性)；(4)當觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零

(抵償性)：2/4/20239長安大學地測學院偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖3-2誤差頻率直方圖2/4/202310長安大學地測學院§3.2衡量精度的指標準確度（外部精度）測量成果與真值接近的程度系統(tǒng)誤差越小，準確度越高一、精度的概念:精密度（內部精度）觀測值之間的離散程度

偶然誤差越小，準確度越高精度是準確度與精密度的統(tǒng)稱，無系統(tǒng)誤差時二者統(tǒng)一2/4/202311長安大學地測學院1.方差與中誤差

由正態(tài)分布密度函數(shù)式中、為常數(shù)；

=2.72828…x=y正態(tài)分布曲線(a=0)令：

，上式為：二、衡量精度的指標2/4/202312長安大學地測學院標準差的數(shù)學意義表示的離散程度x=y較小較大稱為標準差：上式中，稱為方差：2/4/202313長安大學地測學院測量工作中，用中誤差作為衡量觀測值精度的標準。中誤差:觀測次數(shù)無限多時，用標準差表示偶然誤差的離散情形：上式中，偶然誤差為觀測值與真值X之差：觀測次數(shù)n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：i=i-

X2/4/202314長安大學地測學院P123表5-22/4/202315長安大學地測學院

m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。2/4/202316長安大學地測學院2.容許誤差(極限誤差)

根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測量中，一般取三倍中誤差(3m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|2/4/202317長安大學地測學院

3.相對誤差(相對中誤差)

——誤差絕對值與觀測量之比。

用于表示距離的精度。用分子為1的分數(shù)表示。分數(shù)值較小相對精度較高；分數(shù)值較大相對精度較低。

K2<K1，所以距離S2精度較高。例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=200米,m1=0.02m；S2=1000米,m2=0.02m。計算S1、S2的相對誤差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=———

20010000100050000解：2/4/202318長安大學地測學院一.一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(a)全微分：(b)設有函數(shù)：為獨立觀測值設有真誤差，函數(shù)也產生真誤差(a)§3.4誤差傳播定律2/4/202319長安大學地測學院對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對K個(e)式取總和：(f)2/4/202320長安大學地測學院(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：<<前面各項即(h)2/4/202321長安大學地測學院(h)考慮，代入上式，得中誤差關系式：(3-26)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。2/4/202322長安大學地測學院

通過以上誤差傳播定律的推導，我們可以總結出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；2.對函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。2/4/202323長安大學地測學院1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點間長度=168.5mm0.2mm,計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

2/4/202324長安大學地測學院2.線性函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設有某線性函數(shù)其中、、分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對上式全微分：由中誤差式得：2/4/202325長安大學地測學院

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術平均值的中誤差式

由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。2/4/202326長安大學地測學院4.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當?shù)染扔^測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

2/4/202327長安大學地測學院觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術平均值

2/4/202328長安大學地測學院誤差傳播定律的應用用DJ6經緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問用DJ6經緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？?=(1+2+3)-180解：由題意：2m=15,則m=7.5每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：2/4/202329長安大學地測學院誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(1)測量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

2/4/202330長安大學地測學院誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(2)測量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中誤差：

其中：

2/4/202331長安大學地測學院誤差傳播定律的應用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為求該正方形的周長S和面積A的中誤差.解:(1)周長,(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

面積,

周長的中誤差為全微分:面積的中誤差為全微分:2/4/202332長安大學地測學院解:(1)周長和面積的中誤差分別為例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

(2)周長;周長的中誤差為面積得周長的中誤差為全微分:但由于2/4/202333長安大學地測學院▓觀測值的算術平均值(最或是值)▓用觀測值的改正數(shù)v計算觀測值的中誤差(即:白塞爾公式)§3.5同（等）精度直接觀測平差2/4/202334長安大學地測學院

一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術平均值為該量的最或是值：

設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L=2/4/202335長安大學地測學院當觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術平均

值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。L≈X2/4/202336長安大學地測學院觀測值改正數(shù)特點二.觀測值的改正數(shù)v：以算術平均值為最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特點1——改正數(shù)總和為零：對上式取和：以代入：通常用于計算檢核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n2/4/202337長安大學地測學院精度評定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的部分是相等的，即在與中：精度評定——用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：2/4/202338長安大學地測學院證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:2/4/202339長安大學地測學院證明兩式根號內相等中誤差定義:白塞爾公式:2/4/202340長安大學地測學院解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數(shù)V計算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表，求其算術平均值及觀測值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測值VVV備注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1.742/4/202341長安大學地測學院距離丈量精度計算例算例2：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測值的中誤差；③算術平均值的中誤差；④算術平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數(shù)表示。2/4/202342長安大學地測學院§3.6不同精度直接觀測平差一、權的概念權是權衡利弊、權衡輕重的意思。在測量工作中權是一個表示觀測結果可靠程度的相對性指標。1