第04章-機器人動力學(xué)

第四章機器人的動力學(xué)

第一節(jié)前言機器人動力學(xué)是研究機器人運動數(shù)學(xué)方程的建立。其實際動力學(xué)模型可以根據(jù)已知的物理定律(例如牛頓或拉格朗日力學(xué)定律)求得。

前面我們所研究的機器人運動學(xué)都是在穩(wěn)態(tài)下進行的，沒有考慮機器人運動的動態(tài)過程。實際上，機器人的動態(tài)性能不僅與運動學(xué)相對位置有關(guān)，還與機器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機構(gòu)的位置、傳動裝置等因案有關(guān)。機器人動態(tài)性能由動力學(xué)方程描述，動力學(xué)是考慮上述因素，研究機器人運動與關(guān)節(jié)力(力矩)間的動態(tài)關(guān)系。描述這種動態(tài)關(guān)系的微分方程稱為機器人動力學(xué)方程。機器人動力學(xué)要解決兩類問題：動力學(xué)正問題和逆問題。

正動力學(xué)問題。即機器人各執(zhí)行器的驅(qū)動力或力矩為已知，求解機器人關(guān)節(jié)變量在關(guān)節(jié)變量空間的軌跡或末端執(zhí)行器在笛卡爾空間的軌跡，這稱為機器人動力學(xué)方程的正面求解，簡稱為正動力學(xué)問題。逆動力學(xué)問題。即機器人在關(guān)節(jié)變量空間的軌跡已確定，或末端執(zhí)行器在笛卡爾空間的軌跡已確定（軌跡已被規(guī)劃），求解機器人各執(zhí)行器的驅(qū)動力或力矩，這稱為機器人動力學(xué)方程的反面求解，簡稱為逆動力學(xué)問題。

簡單的講：動力學(xué)正問題是——根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩或力，計算機器人的運動(關(guān)節(jié)位移、速度和加速度)；動力學(xué)逆問題是——已知軌跡對應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩或力。不考慮機電控制裝置的慣性、摩擦、間隙、飽和等因素時，n自由度機器人動力方程為n個二階耦合非線性微分方程。方程中包括慣性力/力矩、哥氏力/力矩、離心力/力矩及重力/力矩，是一個耦合的非線性多輸入多輸出系統(tǒng)。對機器人動力學(xué)的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓一歐拉(Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凱恩(Kane)、旋量對偶數(shù)、羅伯遜一魏登堡(Roberson—Wittenburg)等方法。

研究機器人動力學(xué)的目的是多方面的。動力學(xué)正問題與機器人的仿真有關(guān)；逆問題是為了實時控制的需要，利用動力學(xué)模型，實現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達到良好的動態(tài)性能和最優(yōu)指標(biāo)。在設(shè)計中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運動學(xué)和動力學(xué)參數(shù)、傳動機構(gòu)特征和負(fù)載大小進行動態(tài)仿真，從而決定機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動方案，驗算設(shè)計方案的合理性和可行性，以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化程度。在離線編程時，為了估計機器人高速運動引起的動載荷和路徑偏差，要進行路徑控制仿真和動態(tài)模型仿真。這些都需要以機器人動力學(xué)模型為基礎(chǔ)。研究機器人動力學(xué)的目的第二節(jié)機器人的靜力學(xué)

機器人靜力學(xué)研究機器人靜止或者緩慢運動時作用在手臂上的力和力矩問題，特別是當(dāng)手端與外界環(huán)境有接觸力時，各關(guān)節(jié)力矩與接觸力的關(guān)系。一、虛功原理在介紹機器人靜力學(xué)之前，首先要說明一下靜力學(xué)中所需要的虛功原理（principleofvirtualwork）。約束力不作功的力學(xué)系統(tǒng)實現(xiàn)平衡的必要且充分條件是對結(jié)構(gòu)上允許的任意位移（虛位移）施力所作功之和為零。這里所指的虛位移（virtualdisplacement）是描述作為對象的系統(tǒng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的位移，不同于隨時間一起產(chǎn)生的實際位移。為此用“虛”一詞來表示。而約束力（forceofconstraint）是使系統(tǒng)動作受到制約的力。下面看一個例子來理解一下實際上如何使用虛功原理。如圖4－1所示，已知作用在杠桿一端的力，試用虛功原理求作用于另一端的力。假設(shè)杠桿長度，已知。

圖4－1杠桿及作用在它兩端上的力

按照虛功原理，杠桿兩端受力所作的虛功應(yīng)該是

（4－1）

式中，，是杠桿兩端的虛位移。而就虛位移來講，下式成立

（4－2）

式中，是繞杠桿支點的虛位移。把式（4－2）代入式（4－1）消去、，可得到下式

（4－3）由于公式（4－3）對任意的都成立，所以有下式成立

因此得到

（4－4）

當(dāng)力向下取正值時，則為負(fù)值，由于的正方向定義為向上，所以這時表明的方向是向下的，即此時和的方向都朝下。

二、機器人靜力學(xué)關(guān)系式的推導(dǎo)

利用前面的虛功原理來推導(dǎo)機器人的靜力學(xué)關(guān)系式。如圖4－2所示的機械手，要產(chǎn)生圖（a）所示的虛位移，推導(dǎo)出圖（b）所示各力之間的關(guān)系式。這一推導(dǎo)方法本身也適用于一般的情況。圖4－2機械手的虛位移和施加的力

假設(shè)：手爪的虛位移為關(guān)節(jié)的虛位移為手爪力為關(guān)節(jié)驅(qū)動力為如果施加在機械手上的力作為手爪力的反力（用來表示）時，機械手的虛功可表示為：（4－5）

為此，如果應(yīng)用虛功原理，則得到

（4－6）這里，手爪的虛位移和關(guān)節(jié)的虛位移之間的關(guān)系，用雅克比矩陣表示為

（4－7）把式（4－7）代入式（4－6），提出公因數(shù)，可得到下式（4－8）由于這一公式對任意的都成立，因此得到下式成立

（4－9）

進一步整理，把式中第二項移到等式右邊，并取兩邊的轉(zhuǎn)置，則可得到下面的機械手靜力學(xué)關(guān)系式

（4－10）上式表示了機械手在靜止?fàn)顟B(tài)為產(chǎn)生手爪力的驅(qū)動力。

為了加深理解，下面分別求解圖4－3所示的2自由度機械手在圖示位置時，生成手爪力或的驅(qū)動力或。圖示為，時的姿態(tài)。圖4－3求生成手爪力或的驅(qū)動力

由關(guān)節(jié)角給出如下姿態(tài)

則由式（4－10）可以得到驅(qū)動力如下從求解的結(jié)果看到，在這里驅(qū)動力的大小為手爪力的大小和手爪力到作用線距離的乘積。

三、慣性矩的確定動力學(xué)不僅與驅(qū)動力有關(guān)，還與繞質(zhì)心的慣性矩有關(guān)。下面以一質(zhì)點的運動為例，了解慣性矩的物理意義。如圖4－4所示，若將力作用到質(zhì)量為的質(zhì)點時的平移運動，看作是運動方向的標(biāo)量，則可以表示為：

（4－11）式中，表示加速度。若把這一運動看作是質(zhì)量可以忽略的棒長為的回轉(zhuǎn)運動，則得到加速度和力的關(guān)系式為

（4－12）

（4－13）圖4－4質(zhì)點平移運動作為回轉(zhuǎn)運動的解析式中，和是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性矩。將式（4－12）、（4－13）代入式（4－11），得到（4－14）如，則式（4－14）就改寫為

（4－15）上式是質(zhì)點繞固定軸進行回轉(zhuǎn)運動時的運動方程式。與式（4－11）比較相當(dāng)于平移運動時的質(zhì)量，在旋轉(zhuǎn)運動中稱為慣性矩。

對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，求解其慣性矩，可以將其分割成假想的微小物體，然后再把每個微小物體的慣性矩加在一起。這時，微小物體的質(zhì)量及其微小體積的關(guān)系，可用密度表示為

（4－16）所以，微小物體的慣性矩，依據(jù)式，可以寫成（4－17）

因此，整個物體的慣性矩通過積分求得如下：

（4－18）四、運動學(xué)、靜力學(xué)、動力學(xué)的關(guān)系

如圖4－5所示，在機器人的手爪接觸環(huán)境時，手爪力的驅(qū)動力的關(guān)系起重要作用，在靜止?fàn)顟B(tài)下處理這種關(guān)系稱為靜力學(xué)（statics）。圖4－5手爪力的關(guān)節(jié)驅(qū)動力

在考慮控制時，就要考慮在機器人的動作中，關(guān)節(jié)驅(qū)動力會產(chǎn)生怎樣的關(guān)節(jié)位置、關(guān)節(jié)速度、關(guān)節(jié)加速度，處理這種關(guān)系稱為動力學(xué)（dynamics）。對于動力學(xué)來說，除了與連桿長度有關(guān)之外，還與各連桿的質(zhì)量，繞質(zhì)量中心的慣性矩，連桿的質(zhì)量中心與關(guān)節(jié)軸的距離有關(guān)。如圖4－6所示。圖4－6與動力學(xué)有關(guān)的各量

運動學(xué)、靜力學(xué)和動力學(xué)中各變量的關(guān)系如圖4－7所示。圖中用虛線表示的關(guān)系可通過實線關(guān)系的組合表示，這些也可作為動力學(xué)的問題來處理。圖4－7運動學(xué)、靜力學(xué)、動力學(xué)的關(guān)系

第三節(jié)機器人動力學(xué)方程式

一、機器人的動能與位能1．動能

為了導(dǎo)出多關(guān)節(jié)機器人的運動方程式，首先要了解機器人的動能和位能。先看圖4－8所表示的第個連桿的運動能量。圖4－8第個連桿的旋轉(zhuǎn)速度和重心的平移速度

剛體的運動能量，是由該剛體的平移構(gòu)成的運動能量，與該剛體的旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的運動能量之和表示的。因此，圖4－8中表示的連桿的運動能量，可以用下式表示：（4－19）

式中，為連桿的運動能量，為質(zhì)量，為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的重心的平移速度向量，為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的連桿的轉(zhuǎn)動慣量，為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的轉(zhuǎn)動速度向量。因為機器人的全部運動能量，由各連桿的運動能量的總和表示，所以得到（4－20）式中，為機器人的關(guān)節(jié)總數(shù)。其次我們來考慮把作為機器人各關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。這里與分別表示如下：（4－21）（4－22）式中，是與第個連桿重心位置的平移速度相關(guān)的雅可比矩陣，是與第個連桿轉(zhuǎn)動速度相關(guān)的雅可比矩陣。為了區(qū)別于與指尖速度相關(guān)的雅可比矩陣，在上面標(biāo)明了注角（）。

（4－23）（4-24）

在式（4－23）和式（4－24）中，包含著0分量，這是因為第個連桿的運動與其以后的關(guān)節(jié)運動是無關(guān)的。

現(xiàn)在將式（4－21）和式（4－22）代進式（4－19）和式（4－20），機器人的運動能量公式可以寫成（4－25）令（4－26）則機器人的運動能量公式（4－25）寫為（4－27）這里表示的稱為機器人的慣性矩陣。

2．勢能機器人的勢置能量和運動能量一樣，也是由各連桿的位置能量的總和給出，因此可用下式表示：（4－28）式中，表示重力加速度，它是一個在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的三維向量。表示從基準(zhǔn)坐標(biāo)系原點，到個連桿的重心位置的位置向量。

二、機器人動力學(xué)方程的建立舉例

1．牛頓─歐拉方程式首先，以單一剛體為例，如圖4－9所示，其運動方程式可用下式表示

（4－29）

（4－30）

圖4－9單一剛體

式（4－29）和式（4－30）分別被稱為牛頓運動方程式及歐拉運動方程式。式中，是剛體的質(zhì)量；是繞重心的慣性矩陣，的各元素表示對應(yīng)的力矩元素和角加速度元素間的慣性矩；是作用于重心的平動力；是慣性矩；是重心的平移速度；是角速度。下面求解一下圖4－10所示的1自由度機械手的運動方程式，在這里，由于關(guān)節(jié)軸制約連桿的運動，所以可以將式（4－30）的運動方程式看作是繞固定軸的運動。圖4－101自由度機械手假設(shè)繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩為，取垂直紙面的方向為軸，則得到（4－31）（4－32）式中，是重力常數(shù)；是在第3行第3列上具有繞關(guān)節(jié)軸慣性矩的慣性矩陣。把這些公式代入式（4－30），提取只有分量的回轉(zhuǎn)，則得到（4－33）該式為1自由度機械手的歐拉運動方程式，其中：（4－34）

對于一般形狀的連桿，在式（4－31）中，由于除第3分量以外其他分量皆不為0，所以的第1、2分量成了改變軸方向的力矩，但在固定軸的場合，與這個力矩平衡的約束力生成式（4－32）的第1、2分量，不產(chǎn)生運動。

2．拉格朗日方程式

拉格朗日運動方程式一般表示為（4－35）式中，是廣義坐標(biāo)，是廣義力。拉格朗日運動方程式也可以表示為（4－36）這里，是拉格朗日算子，是動能，是勢能。

現(xiàn)在再以前面推導(dǎo)的1自由度機械手為例，利用拉格朗日運動方程式來具體求解，假設(shè)為廣義坐標(biāo)，則得到

由于所以用置換式（4－35）中的廣義坐標(biāo)后，可得到下式（4－37）該式與前面推導(dǎo)的結(jié)果完全一致。

下面推導(dǎo)2自由度機械手的運動方程式，如圖4－11所示。在推導(dǎo)時，把，當(dāng)作廣義坐標(biāo)，，當(dāng)作廣義力，求拉格朗日算子，代入式（4－35）的拉格朗日運動方程式即可。（4-38）（4－39）圖4－112自由度機械手

（4－40）

（4－41）

式中，是第個連桿質(zhì)量中心的位置向量。（4－42）（4－43）（4－44）（4－45）根據(jù)理論力學(xué)的知識，各連桿的動能可用質(zhì)量中心平移運動的動能和繞質(zhì)量中心回轉(zhuǎn)運動的動能之和來表示。

由式（4－42）～（4－45），得到式（4－38），（4－40）中的質(zhì)量中心速度和為

（4－46）（4－47）利用式（4－38）～（4－41）和式（4－46）、（4－47），通過下式（4－48）可求出拉格朗日算子，把它代入式（4－35）的拉格朗日