自動控制系統(tǒng)(第四版)李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

9.4李雅普諾夫穩(wěn)定性

分析概述一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。分析一個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關(guān)注的最重要問題。對于簡單系統(tǒng)，常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)、根軌跡判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。但這些穩(wěn)定性判別方法只適用于線性定常系統(tǒng),不能推廣到時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,大都存在非線性或時變因素,在解決這類復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時,最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論,即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理。早在1892年,俄國學(xué)者李雅普諾夫（AleksandrMikhailovichLyapunov，1857–1918)

發(fā)表題為“運(yùn)動穩(wěn)定性一般問題”的著名文獻(xiàn),建立了關(guān)于運(yùn)動穩(wěn)定性研究的一般理論。百余年來,李雅普諾夫理論得到極大發(fā)展,在數(shù)學(xué)、力學(xué)、控制理論、機(jī)械工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。李雅普諾夫把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近線性化,然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點(diǎn))分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。這是一種較簡捷的方法,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法,亦稱為李雅普諾夫第一法。第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性,而是通過定義一個叫做李雅普諾夫函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種方法稱為直接法,亦稱為李雅普諾夫第二法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來分析線性定常系統(tǒng),而且也能用來研究時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng),甚至離散時間系統(tǒng)、離散事件動態(tài)系統(tǒng)、邏輯動力學(xué)系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這正是其優(yōu)勢所在?？墒窃谙喈?dāng)長的一段時間里,李雅普諾夫第二法并沒有引起研究動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視,這是因?yàn)楫?dāng)時討論系統(tǒng)輸入輸出間關(guān)系的經(jīng)典控制理論占有絕對地位。隨著狀態(tài)空間分析法引入動態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕生,李雅普諾夫第二法又重新引起控制領(lǐng)域人們的注意,成為近40年來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法,并得到了進(jìn)一步研究和發(fā)展。本章節(jié)將詳細(xì)介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,李雅普諾夫第一法和第二法的理論及應(yīng)用。1平衡狀態(tài)設(shè)我們所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中x為n維狀態(tài)變量；f(x,t)為n維的關(guān)于狀態(tài)變量向量x和時間t的線性或非非線性向量函數(shù)。一、李雅普諾夫穩(wěn)定性概念如果對于所有t，滿足的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)（平衡點(diǎn)）。平衡狀態(tài)的各分量不再隨時間變化；若已知狀態(tài)方程，令所求得的解x

,便是平衡狀態(tài)。由于導(dǎo)數(shù)表示的狀態(tài)的運(yùn)動變化方向,因此平衡狀態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運(yùn)動的狀態(tài),如圖所示。顯然，對于線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是滿足下述方程的解。Axe=0當(dāng)矩陣A為非奇異時，線性系統(tǒng)只有一個孤立的平衡狀態(tài)xe=0;而當(dāng)A為奇異時，則存在無限多個平衡狀態(tài)，且這些平衡狀態(tài)不為孤立平衡狀態(tài)，而構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個子空間。對于非線性系統(tǒng)，可以存在一個或多個平衡狀態(tài)，它們分別為對應(yīng)于式f(x,t)0的常值解。例如，對于非線性系統(tǒng)其平衡狀態(tài)為下列代數(shù)方程組的解，即下述狀態(tài)空間中的三個狀態(tài)為其平衡狀態(tài)。

對于線性定常系統(tǒng)，通常只存在唯一的一個平衡狀態(tài)，因此對于系統(tǒng)而言只有一種穩(wěn)定性，可以一般地說系統(tǒng)是否穩(wěn)定。對于非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)中可以存在不同的平衡狀態(tài)，而不同的平衡狀態(tài)又可以有不同的穩(wěn)定性，所以，一般來說，只能提某一平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，不能籠統(tǒng)地談系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性在敘述李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義之前,我們先引入如下幾個數(shù)學(xué)名詞和符號：范數(shù)球域然后介紹李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性的定義。1)

范數(shù)范數(shù)在數(shù)學(xué)上定義為度量n維空間中的點(diǎn)之間的距離。對n維空間中任意兩點(diǎn)x1和x2,它們之間距離的范數(shù)記為||x1-x2||。由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應(yīng)有各種具體范數(shù)的定義。在工程中常用的是2-范數(shù),即歐幾里德范數(shù),其定義式為其中x1,i和x2,i分別為向量x1和x2的各分量。2)

球域以n維空間中的點(diǎn)xe為中心,在所定義的范數(shù)度量意義下的長度為半徑內(nèi)的各點(diǎn)所組成空間體稱為球域,記為S(xe,),即S(xe,)包含滿足||x-xe||的n維空間中的各點(diǎn)x。3）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性若狀態(tài)方程所描述的系統(tǒng),對于任意的>0和任意初始時刻t0,都對應(yīng)存在一個實(shí)數(shù)(,t0)>0,從任意位于球域S(xe,)的初始狀態(tài)x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x都位于球域S(xe,)內(nèi),則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。

通常δ與、t0

都有關(guān)。如果δ與t0

無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的δ與t0

無關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。

注意：按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動時則認(rèn)為是穩(wěn)定的，同經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的。經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。3漸近穩(wěn)定性上述穩(wěn)定性定義只強(qiáng)調(diào)了系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近的解總是在該平衡狀態(tài)附近的某個有限的球域內(nèi),并未強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的最終狀態(tài)穩(wěn)定于何處。下面我們給出強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)最終狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定性定義。漸近穩(wěn)定李雅普諾夫意義下穩(wěn)定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有：

稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。若實(shí)數(shù)(,t0)與初始時刻t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。對于定常系統(tǒng)來說,上述定義中的實(shí)數(shù)(,t0)與初始時刻t0必定無關(guān),故其穩(wěn)定性與一致穩(wěn)定性兩者等價。但對于時變系統(tǒng)來說,則這兩者的意義很可能不同。對于李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性，還有如下說明：穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定，兩者有很大的不同。對于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠(yuǎn)不會跑出球域S(xe,)，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何規(guī)定。而對漸近穩(wěn)定，不僅要求狀態(tài)的運(yùn)動軌跡不能跑出球域，而且還要求最終收效或無限趨近平衡狀態(tài)xe。4大范圍(全局）漸近穩(wěn)定性對于線性定常系統(tǒng),因?yàn)榫€性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān)，所以如果其平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。但對于非線性系統(tǒng)則不然,漸近穩(wěn)定性是一個局部性的概念,而非全局性的概念。當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)具有漸近穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。此時。5不穩(wěn)定性不論δ取得得多么小，只要在內(nèi)有一條從x0

出發(fā)的軌跡跨出，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。二、李雅普諾夫第一法（間接判別法）

李雅普諾夫第一法（間接法）是利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統(tǒng)。

定理1：線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)對于系統(tǒng)1)系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值具有非正實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為A的最小多項式的單根。

2)漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值具有負(fù)實(shí)部，即

李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理：根據(jù)物理學(xué)原理，若系統(tǒng)貯存的能量（含動能與位能）隨時間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會到達(dá)平衡狀態(tài)。

實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與及t

有關(guān)，是一個標(biāo)量函數(shù)，記以；若不顯含t

，則記。

考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用或表示。

實(shí)踐表明，對于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)

作為李雅普諾夫函數(shù)。三、李雅普諾夫第二法（直接判別法）1、標(biāo)量函數(shù)定號性

正定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對所有非零狀態(tài)有且，則稱均在域S內(nèi)正定。如是正定的。

負(fù)定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對所有非零狀態(tài)有且，則稱均在域S內(nèi)負(fù)定。如是負(fù)定的。如果是負(fù)定的，則一定是正定的。正（負(fù)）半定性：，且在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有，而其它狀態(tài)處均有（），則稱在域S內(nèi)正（負(fù)）半定。設(shè)負(fù)半定，則為正半定。如為正半定。不定性:

在域S內(nèi)可正可負(fù)，則稱不定。如是不定的。

二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記其中，P

為對稱矩陣，有。

當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r，即則正定，且稱P為正定矩陣。當(dāng)P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時，即

則負(fù)定，且稱P為負(fù)定矩陣。若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負(fù)半定。不屬以上所有情況的不定。2.李雅普諾夫第二法的主要定理下面分別介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性分析的如下3個定理:漸近穩(wěn)定性定理穩(wěn)定性定理不穩(wěn)定性定理(1)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性定理1定理2

設(shè)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中xe=0為其平衡狀態(tài)。若存在一個有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x),滿足下述條件:1)

若

為負(fù)定的;2)

當(dāng)||x||→,有V(x)→,

則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2.李雅普諾夫第二法的主要定理對上述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的使用有如下說明:此定理只為判別系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,而非必要條件。也就是說,若找到滿足上述條件的一個李雅普諾夫函數(shù),則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。但是,如果我們一時找不到這樣的李雅普諾夫函數(shù),也并不意味著平衡狀態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的。此時,我們或者繼續(xù)尋找滿足條件的李雅普諾夫函數(shù),或者可利用后續(xù)定理的結(jié)論來判別平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性。2)

對于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài),滿足條件的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的,但并不唯一。例

試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。解顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài),如果我們選擇正定函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t),V(x)對時間的全導(dǎo)數(shù)是負(fù)定函數(shù)。此外,當(dāng)||x||→時,必有V(x)→。因此,由定理2知,在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。例：試確定如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。解

顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài),如果我們選擇正定函數(shù)則V(x)對時間的導(dǎo)數(shù)是負(fù)半定函數(shù),故由定理2知,根據(jù)所選的函數(shù)分析不出該平衡狀態(tài)是否漸近穩(wěn)定。但這也并不意味著該平衡狀態(tài)就并不漸近穩(wěn)定。定理2中嚴(yán)格要求選擇的李雅普諾夫函數(shù)為正定函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為負(fù)定函數(shù)。這給該定理的應(yīng)用,特別是尋找適宜的李雅普諾夫函數(shù)帶來一定困難。下面給出一個定理對上述定理2作一補(bǔ)充,以減弱判別條件。(2)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性定理2定理3：設(shè)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中xe=0為其平衡狀態(tài)。若存在一個有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x),滿足下述條件:1)

若

為負(fù)半定的;2)

對任意3)當(dāng)||x||→,有V(x)→,

則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。將狀態(tài)方程代入，若能導(dǎo)出非零解，表示不滿足定理3中條件2）；若導(dǎo)出全零解，表示滿足定理3中條件2）

。注意：若滿足條件1），不滿足條件2），表明平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。是否有恒為零：令判斷在非零狀態(tài)下例：試確定如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。解

顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài),如果我們選擇正定函數(shù)則V(x)對時間的導(dǎo)數(shù)是負(fù)半定函數(shù),故由定理3判斷該平衡狀態(tài)是否漸近穩(wěn)定。因此,由定理3知,在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(3)不穩(wěn)定的判別定理定理4：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為若存在一個有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t),滿足：

1）為正定的或2）為正半定的，且則平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。例：試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。解顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為則由于

正半定,但其只在x1=0,x2=0時才恒為零,而在其他狀態(tài)不恒為零,因此由定理4的2)可知,系統(tǒng)的該平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。下面將前面討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性的判定方法作一小結(jié)

V(x)

結(jié)論正定(>0)負(fù)定(<0)該平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)半負(fù)定(0)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)半負(fù)定(0)且恒為0(對某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡狀態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(>0)正定(>0)該平衡狀態(tài)不穩(wěn)定正定(>0)半正定(0)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡狀態(tài)不穩(wěn)定1線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判別設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn):1)

當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時,系統(tǒng)有且僅有一個平衡態(tài)xe=0,即為狀態(tài)空間原點(diǎn);2)

若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe=0的某個鄰域上是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的;3)

對于該線性系統(tǒng),其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。四、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,A為非奇異矩陣，故原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)?？梢匀≌ǘ涡秃瘮?shù)