高中數(shù)學北師大版2第一章推理與證明 第1章2分析法

分析法1.了解分析法的思維過程、特點.(重點)2.會用分析法證明數(shù)學問題.(難點)[基礎·初探]教材整理分析法閱讀教材P9～P11，完成下列問題.1.分析法的定義從求證的結論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結論成立的充分條件，直到歸結為這個命題的條件，或者歸結為定義、公理、定理等，這種思維方法稱為分析法.2.分析法證明的思維過程用Q表示要證明的結論，則分析法的思維過程可用框圖表示為：eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(\a\al(得到一個明顯成立的條件))3.綜合法和分析法的綜合應用在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結合起來使用：根據(jù)條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q′；根據(jù)結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P′.若由P′可以推出Q′成立，即可證明結論成立.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分析法就是從結論推向已知.()(2)分析法的推理過程要比綜合法優(yōu)越.()(3)并不是所有證明的題目都可使用分析法證明.()【解析】(1)錯誤.分析法又叫逆推證法，但不是從結論推向已知，而是尋找使結論成立的充分條件的過程.(2)錯誤.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點.(3)正確.一般用綜合法證明的題目均可用分析法證明，但并不是所有的證明題都可使用分析法證明.【答案】(1)×(2)×(3)√[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]應用分析法證明不等式已知a>b>0，求證：eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b).【精彩點撥】本題用綜合法不易解決，由于變形后均為平方式，因此要先將式子兩邊同時開方，再找出使式子成立的充分條件.【自主解答】要證eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b)，只需證eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,2)<eq\f(（a－b）2,8b).∵a>b>0，∴同時除以eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,2)，得eq\f(（\r(a)＋\r(b)）2,4a)<1<eq\f(（\r(a)＋\r(b)）2,4b)，同時開方，得eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))<1<eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b))，只需證eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(a)，且eq\r(a)＋eq\r(b)>2eq\r(b)，即證eq\r(b)<eq\r(a)，即證b<a.∵a>b>0，∴原不等式成立，即eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b).1.分析法證明不等式的思維是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件為已知(或已證)的不等式.2.分析法證明數(shù)學命題的過程是逆向思維，即結論?…?…?…已知，因此，在敘述過程中，“要證”“只需證”“即證”等詞語必不可少，否則會出現(xiàn)錯誤.[再練一題]1.(2023·合肥高二檢測)已知a>0，求證：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.【導學號：94210013】【證明】要證eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需證eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2)，即證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))＋2))eq\s\up8(2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))eq\s\up8(2)，即a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥a2＋eq\f(1,a2)＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋4，只需證2eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))).只需證4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2＋\f(1,a2)))，即a2＋eq\f(1,a2)≥2.上述不等式顯然成立，故原不等式成立.用分析法證明其他問題(2023·合肥高二檢測)求證：以過拋物線y2＝2px(p>0)焦點的弦為直徑的圓必與直線x＝－eq\f(p,2)相切.【精彩點撥】【自主解答】如圖所示，過點A，B分別作AA′，BB′垂直準線于點A′，B′，取AB的中點M，作MM′垂直準線于點M′.要證明以AB為直徑的圓與準線相切，只需證|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|.由拋物線的定義有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，因此只需證|MM′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|).根據(jù)梯形的中位線原理可知上式是成立的，所以以過拋物線y2＝2px焦點的弦為直徑的圓必與直線x＝－eq\f(p,2)相切.1.分析法是逆向思維，當已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法.2.分析法的思路與綜合法正好相反，它是從要求證的結論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知，即已知條件、已經(jīng)學過的定義、定理、公理、公式、法則等.[再練一題]2.已知eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，求證：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα).【導學號：94210014】【證明】要證cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需證eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝3，只需證eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝3，只需證1－tanα＝3(1＋tanα)，只需證tanα＝－eq\f(1,2).∵eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－eq\f(1,2)顯然成立，∴結論得證.[探究共研型]綜合法與分析法的綜合應用探究1綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？【提示】綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，它們的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，從而得到的每一個結論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2綜合法與分析法有什么區(qū)別？【提示】綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因導果；分析法是從待求結論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因.在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個數(shù)a，則能使x，a，y成等差數(shù)列；若插入兩個數(shù)b，c，則能使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).【精彩點撥】可用分析法找途徑，用綜合法由條件順次推理，易于使條件與結論聯(lián)系起來.【自主解答】由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))消去x，y得2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，且a>0，b>0，c>0.要證(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需證a＋1≥eq\r(（b＋1）（c＋1）)，因eq\r(（b＋1）（c＋1）)≤eq\f(（b＋1）＋（c＋1）,2)，只需證a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1,2)，即證2a≥b＋c.由于2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，故只需證eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c，只需證b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即證b2＋c2－bc≥bc，即證(b－c)2≥0.因為上式顯然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結論入手，易于尋找解題思路，在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結合起來使用，稱為分析綜合法，其結構特點是根據(jù)條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q；根據(jù)結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P；若由P可推出Q，即可得證.[再練一題]3.已知△ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).【證明】要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即證eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需證c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2accosB，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)成立.[構建·體系]1.要證明eq\r(2)＋eq\r(7)>2eq\r(3)，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是()A.綜合法 B.分析法C.比較法 D.歸納法【解析】由分析法和綜合法定義可知選B.【答案】B2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則()≤eq\f(1,2) ≥eq\f(1,2)＋b2≥2 ＋b2≤3【解析】∵a＋b＝2≥2eq\r(ab)，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.【答案】C\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)成立的充要條件是()(b－a)>0 >0且a>b<0且a<b (b－a)<0【解析】eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)?(eq\r(3,a)－eq\r(3,b))3<(eq\r(3,a－b))3?a－b－3eq\r(3,a2b)＋3eq\r(3,ab2)<a－b?eq\r(3,ab2)<eq\r(3,a2b)?ab2<a2b?ab(b－a)<0.【答案】D4.設a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為________.【導學號：94210015】【解析】因為a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,a)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋6＝9.當且僅當a＝b＝c時等號成立.【答案】95.已知a，b，c∈R且不全相等，求證：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【證明】法一：(分析法)要證a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需證2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需證(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需證(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因為a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因為a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立.所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立.法二：(綜合法)因為a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因為a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(四)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.若a，b∈R，則eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)成立的一個充分不必要條件是()>0 >a<b<0 (a－b)<0【解析】由a<b<0?a3<b3<0?eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)，但eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)不能推出a<b<0，∴a<b<0是eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)的一個充分不必要條件.【答案】C2.求證：eq\r(7)－1>eq\r(11)－eq\r(5).證明：要證eq\r(7)－1>eq\r(11)－eq\r(5)，只需證eq\r(7)＋eq\r(5)>eq\r(11)＋1，即證7＋2eq\r(7×5)＋5>11＋2eq\r(11)＋1，即證eq\r(35)>eq\r(11)，∵35>11，∴原不等式成立.以上證明應用了()A.分析法B.綜合法C.分析法與綜合法配合使用D.間接證法【解析】該證明方法符合分析法的定義，故選A.【答案】A3.(2023·汕頭高二檢測)要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()－1－a2b2≤0＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0D.(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要證明(a2－1)(1－b2)≤0，即證(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】D4.在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結論，三邊a，b，c應滿足什么條件()<b2＋c2 ＝b2＋c2>b2＋c2 ≤b2＋c2【解析】由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，∴b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.【答案】C5.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”，索的因應是()－b>0 －c>0C.(a－b)(a－c)>0 D.(a－b)(a－c)<0【解析】由題意知eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?b2＋a(a＋b)<3a2?b2＋a2＋ab<3a2?b2＋ab<2a2?2a2－ab－b2>0?a2－ab＋a2－b2>0?a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0?a(a－b)－c(a－b)>0?(a－b)(a－c)>0，故選C.【答案】C二、填空題6.(2023·煙臺高二檢測)設A＝eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)，B＝eq\f(2,a＋b)(a>0，b>0)，則A，B的大小關系為________.【解析】∵A－B＝eq\f(a＋b,2ab)－eq\f(2,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2－4ab,2ab（a＋b）)＝eq\f(（a－b）2,2ab（a＋b）)≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7.(2023·西安高二檢測)如果aeq\r(a)>beq\r(b)，則實數(shù)a，b應滿足的條件是________.【導學號：94210016】【解析】要使aeq\r(a)>beq\r(b)成立，只需(aeq\r(a))2>(beq\r(b))2，只需a3>b3>0，即a，b應滿足a>b>0.【答案】a>b>08.如圖1-2-5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側棱垂直于底面，滿足________時，BD⊥A1C(寫出一個條件即可).圖1-2-5【解析】要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面AA1C.因為AA1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面為菱形)三、解答題9.設a，b>0，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2.【證明】法一：分析法要證a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需證a2－ab＋b2>ab成立，只需證a2－2ab＋b2>0成立，即需證(a－b)2>0成立.而依題設a≠b，則(a－b)2>0顯然成立，由此命題得證.法二：綜合法a≠b?a－b≠0?(a－b)2>0?a2－2ab＋b2>0?a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a3＋b3>a2b＋ab2.10.(2023·深圳高二檢測)已知三角形的三邊長為a，b，c，其面積為S，求證：a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.【證明】要證a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S，只要證a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2eq\r(3)absinC，即證a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因為2absin(C＋30°)≤2ab，只需證a2＋b2≥2ab，顯然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[能力提升]1.已知a，b，c，d為正實數(shù)，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，則()\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d)\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d)D.以上均可能【解析】先取特殊值檢驗，∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，則eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,5)，滿足eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).∴B，C不正確.要證eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，∵a，b，c，d為正實數(shù)，∴只需證a(b＋d)<b(a＋c)，即證ad<bc.只需證eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，而eq\f(a,b)<eq\f(c,d)成立，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可證eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故A正確，D不正確.【答案】A2.(2023·黃岡高二檢測)下列不等式不成立的是()＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(a＋b)(a>0，b>0)\r(a)－eq\r(a－1)<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)\r(2)＋eq\r(10)>2eq\r(6)【解析】對于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；對于B，∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(a＋b))2＝a＋b，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(a＋b)；對于C，要證eq\r(a)－eq\r(a－1)<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)成立，只需證明eq\r(a)＋eq\r(a－3)<eq\r(a－2)＋eq\r(a－1)，兩邊平方得2a－3＋2eq\r(a（a－3）)<2a－3＋2eq\r(（a－2）（a－1）)，即eq\r(a（a－3）)<eq\r(（a－2）（a－1）)，兩邊平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因為0<2顯然成立，所以原不等式成立；對于D，(eq