第9章 梁的應力

第9章梁的應力CD梁段橫截面上只有彎矩,而沒有剪力，這種平面彎曲稱為純彎曲。AC和DB梁段橫截面上不僅有彎矩還伴有剪力，這種平面彎曲稱為橫力彎曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB

與圓軸扭轉同樣，純彎曲梁橫截面上的正應力研究方法是：觀察變形應力分布應力計算公式

σ與ε物理關系靜力學關系一、純彎曲時梁橫截面上的正應力Oyxzbhoyz觀察純彎曲梁變形現象o1ao2b12121.幾何變形方面zyxoMMOyz所有縱向線都彎成曲線，仍與橫向線垂直，靠近凸邊的縱向線伸長了，靠近凹邊的縱向線縮短了。橫向線仍為直線但轉過了一個角度；矩形截面的上部變寬下部變窄。1212MMo1a1o2b1

平面假設：梁變形后其橫截面仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。同時還假設梁的各縱向纖維之間無擠壓。

單向受力假設：將梁看成由無數條縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。中性層MMzy中性軸受壓區(qū)受拉區(qū)

中性層：梁的下部縱向纖維伸長，而上部縱向纖維縮短，由變形的連續(xù)性可知，梁內肯定有一層長度不變的纖維層，稱為中性層。

中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸，由于荷載作用于梁的縱向對稱面內，梁的變形沿縱向對稱，則中性軸垂直于橫截面的對稱軸。梁彎曲變形時，其橫截面繞中性軸旋轉某一角度。

1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx

梁中取出的長為dx的微段變形后其兩端相對轉了d角a1b1O2O1dr距中性層為y處的縱向纖維ab的變形式中ρ為中性層上的纖維的曲率半徑?？芍毫簝热我粚涌v向纖維的線應變與其的坐標成正比。

則纖維的應變?yōu)樵L：))O1O2a1b1O2O1dr1212o1ao2b變形后長：彎曲應力

2.物理關系方面

由于假設梁內各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當材料在線彈性范圍內工作時，由虎克定律可得各縱向纖維的正應力為

梁橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。即彎曲正應力沿截面高度成線性分布。

中性軸上各點處的正應力等于零，距中性軸最遠的上、下邊緣上各點處正應力最大，其它點的正應力介于零到最大值。xyzO坐標系的選?。?/p>

y軸：截面的縱向對稱軸。

z軸：中性軸。

x軸：沿縱向線。

受力分析：dA上的內力為σdA，于是整個截面上所有內力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩MZ，所以橫截面法向的軸力FN和力偶矩My應為零，即：ΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(y

z)M3.靜力學關系方面故：Sz

=0

即中性軸z必過橫截面的形心。代入胡克定律：及：故：Iyz＝0，y軸為對稱軸，z軸又過形心，則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。（中性層曲率公式）故：其中1／ρ是梁軸線變形后的曲率。稱EIZ為梁的抗彎剛度。得純彎曲時橫截面上正應力的計算公式：代入：

表明：橫截面上任一點的正應力與該橫截面上的彎矩和該點到中性軸的距離成正比，而與該截面對中性軸的慣性矩成反比。

計算時公式中代入M和y的絕對值。σ的正負可由彎矩的正負和所求點的位置來判斷.-++-適用條件是：

(1)梁的橫截面至少具有一個縱向對稱軸。(2)正應力不超過材料的比例極限。(3)梁產生純彎曲。橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時，橫截面是不僅有正應力，而且有切應力。二、純彎曲理論的推廣對于跨度與截面高度之比大于5的橫力彎曲梁，橫截面上的最大正應力按純彎曲正應力公式計算，滿足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，誤差就越小。梁在純彎曲時所作的平面假設和各縱向纖維間無擠壓的假設不再成立。

例簡支梁受均布荷載q作用，試完成：(1)求距左端為１m的C截面上a、b、c三點的正應力。(2)求梁的最大正應力值，并說明最大正應力發(fā)生在何處。(3)作出C截面上正應力沿截面高度的分布圖。

200q=3.5kN/mAB3m1m解

（1）求指定截面上指定點的應力先求出支座反力,由對稱性C截面積的彎矩矩形截面對中性軸z的慣性矩MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m=3.5kN·m200q=3.5kN/mAB3m1m計算C截面上a、b、c三點的正應力：200(2)求梁的最大正應力值，及最大正應力發(fā)生的位置。梁的最大正應力發(fā)生在最大彎矩Mmax所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。其最大正應力的值為(3)作C截面上正應力沿截面高度的分布圖。

一般情況下，最大正應力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠處。

式中WZ僅與截面的幾何形狀及尺寸有關，稱為截面對中性軸的抗彎截面模量。單位：m3或mm3。令：三、梁的正應力強度計算1.梁的最大正應力習慣上把產生最大應力的截面稱為危險截面，產生最大應力的點稱為危險點。若截面是高為h，寬為b的的矩形，則若截面是直徑為d的圓形，則

若截面是外徑為D、內徑為d的空心圓形，則

DdDd=a對于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數可從書后“附錄”型鋼表中查出。

對于中性軸不是截面對稱軸的梁，例如T型截面的等直梁。yy1y2C同一橫截面上σtmax≠σcmax，這時整個梁的σtmax或σcmax不一定發(fā)生在|Mmax|截面處，需對最大正彎矩和最大負彎矩處的σtmax和σcmax分別計算。2.梁的正應力強度計算對于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于，所以只要求：梁橫截面上絕對值最大的正應力不超過材料的彎曲許用應力。其正應力強度條件為：對于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于，所以要求：梁橫截面上的最大拉應力不超過材料的彎曲許用拉應力，同時，梁橫截面上的最大壓應力不超過材料的彎曲許用壓應力。其正應力強度條件為：3.強度條件應用●

強度校核:●

設計截面:●

確定許用荷載

:

例

圖示簡支梁選用木材制成，其橫截面為矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應力[σ]=11MPa，試校核該梁的正應力強度。FAyFByhbz解：（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力,由對稱性FBy=FAy=7kNqABl=4mFP10kNm

(2)計算截面的幾何參數。

再作梁的彎矩圖，如圖示。hbz從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為Mmax=10kN·m

。FAyFByqABl=4mFP(3)校核梁的正應力強度。該梁滿足正應力強度要求。截面設計矩形截面簡支木梁，跨度4m，受均布荷栽5kN/m作用，木材[σ]

=10MPa，若截面高寬比為1.5，試確定截面尺寸。解：跨中截面為危險截面kN.m強度條件定截面尺寸可取mm3mmmmmm許可荷栽由兩根20號槽鋼組成的外伸梁，受集中力P作用，若[]=170MPa，試求梁能承受的最大荷栽Pmax。解：作彎矩圖B為危險截面PABCNo.202m6mkN.m2PM圖上部受拉，下部受壓最大荷載查型鋼表，找抗彎截面系數cm3強度條件求最大荷載kNkNy2y1C

例T形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應力分別為[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面對中性軸的慣性矩Iz=5.73×10-6m4，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離y2=38mm。試校核該梁的強度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD解：(1)求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。

4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3mB截面和C截面應力分布規(guī)律圖y2y1C

C截面

B截面B截面滿足正應力強度條件。C截面B截面C截面不滿足正應力強度條件。所以該梁的正應力強度不滿足要求。FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K點正應力2.全梁上最大正應力已知E=200GPa，FSx90kN90kN1.求支反力（壓應力）解：例題BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.全梁最大正應力最大彎矩截面慣性矩分析（1）（2）彎矩最大的截面（3）抗彎截面系數最小的截面圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知材料的許用應力？例題（3）B截面，C截面需校核（4）強度校核B截面：C截面：（5）結論（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖FaFb解：分析（1）確定危險截面（3）計算（4）計算，選擇工字鋼型號某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重材料的許用應力起重量跨度試選擇工字鋼的型號。（2）例題（4）選擇工字鋼型號（5）討論（3）根據計算（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時滿足分析：非對稱截面，要尋找中性軸位置T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。例題（2）求截面對中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：（4）B截面校核（3）作彎矩圖（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖式中，FQ—需求切應力處橫截面上的剪力；Iz—為橫截面對中性軸的慣性矩；

Sz*—為橫截面上需求切應力處平行于中性軸的線以上（或以下）部分的面積對中性軸的靜矩；

b—為橫截面的寬度。三、梁橫截面上的切應力bhyzyFQ1.矩形截面梁

切應力的分布規(guī)律：1)切應力的方向與剪力同向平行。2)切應力沿截面寬度均勻分布，即同一橫截面上，與中性軸等距離的點切應力均相等。3)切應力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布。距中性軸最遠的點處切應力等于零；中性軸上切應力取得該截面上的最大值，其值為將

說明：矩形截面梁任一橫截面上的最大切應力發(fā)生在中性軸上，其值為該截面上平均切應力FQ/A的1.5倍，切應力沿截面高度的分布規(guī)律如圖示。

zyFQ2.工字形截面梁結論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。鉛垂剪應力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應力式中，h1—腹板的高度。b1—腹板的寬度。3.切應力強度條件

一般截面，最大剪應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。zyFQ梁的切應力強度條件表達式為：4.梁的切應力強度條件在工程中的應用與梁的正應力強度條件在工程中的應用相似，切應力強度條件在工程中同樣能解決強度方面的三類問題，即進行切應力強度校核、設計截面、計算許用荷載。在一般情況下，正應力對梁的強度起著決定性作用。所以在實際計算時，通常是以梁的正應力強度條件做各種計算，以切應力強度條件進行校核即可。四、提高梁強度的措施

1、根據抗彎截面系數選擇合理截面

從抗彎截面系數的計算可以推知：一般情況下，抗彎截面系數與截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形狀應該是在橫截面面積A相等的條件下，比值Wz/A盡量大些。

1)通過對矩形、圓形、工字形、正方形截面進行理論計算發(fā)現：在橫截面的面積A相等的情況下，比值Wz/A從大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圓形；zzzz

2)通過對具有相同截面面積的實心及空心截面進行理論分析發(fā)現：不論截面的幾何形狀是哪種類型，空心截面的Wz/A總是大于實心截面的Wz/A。zzzz3）對具有相同面積的矩形截面進行理論計算還發(fā)現：盡管截面形狀和尺寸都沒變，只是放置方式不同（中性軸不同），從而使抗彎截面系數不相同。立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wz/A值大。若h=2b，梁平放時Wz/A=b/6，梁豎放時Wz/A=b/3。zybhhzyb

注意：上面我們只是單從強度觀點出發(fā)分析了截面的選擇規(guī)律，事實上，在實際工程中，選擇截面時，除了考慮強度條件外，還要同時考慮穩(wěn)定性、施工方便、使用合理等因素后才正確選擇梁的截面形狀。這就是大家所看到的在實際工程中仍然大量使用實心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。2、根據材料特性選擇截面sGz對于抗拉和抗壓相同的塑性材料，一般采用對稱于中性軸的截面，如圓形、工字形等，使得上、下邊緣同時達到材料的許用應力值。對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料，最好選用關于中性軸不對稱的截面，如T形、槽形等。彎曲應力3、采用變截面梁

為了