常用數(shù)字控制器設(shè)計

常用數(shù)字控制器設(shè)計第一頁，共六十頁，2022年，8月28日第一節(jié)數(shù)字控制器連續(xù)化設(shè)計技術(shù)工程上多數(shù)情況下被控對象是連續(xù)的。這樣組成的計算機系統(tǒng)中，既有連續(xù)信號又有離散信號，稱之為“混合系統(tǒng)”，如圖3.1所示。

被控對象：其輸入輸出均為模擬量，是系統(tǒng)的連續(xù)部分。

數(shù)字控制器:可以是計算機，工業(yè)控制機或數(shù)字控制器等。第二頁，共六十頁，2022年，8月28日圖3.1混合系統(tǒng)第三頁，共六十頁，2022年，8月28日一數(shù)字控制器的兩類設(shè)計方法連續(xù)信號與離散信號的轉(zhuǎn)換時通過采樣器、AD轉(zhuǎn)換器、DA轉(zhuǎn)換器、保持器來實現(xiàn)的，如圖3.2所示，依據(jù)觀察點的不同選擇，數(shù)字控制器有兩大類設(shè)計方法：連續(xù)化設(shè)計方法（間接設(shè)計法）和離散化設(shè)計方法（直接設(shè)計法）。3.2典型計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其組成部分第四頁，共六十頁，2022年，8月28日從BB’向左看-連續(xù)化設(shè)計法把DA轉(zhuǎn)換器、數(shù)字控制器、AD轉(zhuǎn)換器看做一個整體，等效成一個模擬控制器D(S)，再加上，這時整個系統(tǒng)可以看做連續(xù)系統(tǒng)，書上圖3-2（a）。數(shù)字控制器D(z)的設(shè)計要分兩步走：先設(shè)計校正裝置的傳遞函數(shù)D(s)，然后采用某種離散化方法，將它變成計算機算法。第五頁，共六十頁，2022年，8月28日從AA’向右看-離散化設(shè)計法把DA轉(zhuǎn)換器、被控對象、AD轉(zhuǎn)換器看為一體，等效成一個離散對象G(z)，再加上數(shù)字控制器D(z)，這時整個系統(tǒng)可看做離散系統(tǒng)，書上圖3-2（b）。數(shù)字控制器D(z)的設(shè)計：已知被控對象的傳遞函數(shù)或特性G(Z)，根據(jù)所要求的性能指標(biāo)，設(shè)計數(shù)字控制器。第六頁，共六十頁，2022年，8月28日二數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計

連續(xù)化設(shè)計方法(也稱模擬化設(shè)計方法)：忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，并采用較高的采樣頻率，在s域中按連續(xù)系統(tǒng)進行初步設(shè)計，求出模擬控制器，再通過某種近似，將模擬控制器變換為數(shù)字控制器，由計算機去實現(xiàn)。工程界熟悉經(jīng)典的連續(xù)系統(tǒng)控制器設(shè)計，如頻率法、根軌跡法，有廣泛的應(yīng)用。D(s)第七頁，共六十頁，2022年，8月28日缺點：離散化過程中，動態(tài)特性總要變壞，需要試湊。離散化方法的選取非常重要。D(s)第八頁，共六十頁，2022年，8月28日數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計步驟第一步：設(shè)計假想的連續(xù)控制器D(s)

按照給定的對象G(s)和要求的性能指標(biāo)，用連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計方法設(shè)計出模擬控制器的傳遞函數(shù)D(s)第二步：選擇合適的采樣周期合理選擇采樣周期Ts，檢驗系統(tǒng)中插入保持器后對系統(tǒng)特性的影響：根據(jù)香農(nóng)采樣定理，選擇一個合適的采樣周期T；倘若由于工程實現(xiàn)上的限制，采樣頻率不能做的很高，就有必要對D(s)進行修正，即考慮保持器的滯后特性對系統(tǒng)性能的影響，重新設(shè)計第九頁，共六十頁，2022年，8月28日第三步：將D(s)離散化為D(z)

選用合適的離散化方法，如雙線性變換法、后向差分法、零極點匹配法、零階保持法等，求出D(z)，其出發(fā)點是如何使D(z)逼近D(s)的特性第四步：校驗用計算機仿真技術(shù)進行閉環(huán)特性分析，檢驗其閉環(huán)特性是否符合設(shè)計要求，這樣減少了實際系統(tǒng)的調(diào)試時間和費用。第五步：求得計算機編程算法將D(s)變?yōu)椴罘址匠绦问?，在計算機上實現(xiàn)控制程序，得到易于編程的控制器編程算法。第十頁，共六十頁，2022年，8月28日S變換與Z變換（為什么把傅里葉變換轉(zhuǎn)為laplace變換？）拉普拉斯變換（S變換），是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡化計算而建立的實變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來表示；在線性系統(tǒng)，控制自動化上都有廣泛的應(yīng)用。第十一頁，共六十頁，2022年，8月28日引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性（見信號流程圖、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運動過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。拉普拉斯變換是以法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯命名的一種變換方法，主要是針對連續(xù)信號的分析。第十二頁，共六十頁，2022年，8月28日

S變換的一些性質(zhì)：

原函數(shù)微分

原函數(shù)的積分

第十三頁，共六十頁，2022年，8月28日延時（時域平移）

s域平移第十四頁，共六十頁，2022年，8月28日Z變換主要是針對離散信號的分析。因為有的信號主要在時域表現(xiàn)其特性，如電容充放電的過程；而有的信號則主要在頻域表現(xiàn)其特性，如機械的振動，人類的語音等。若信號的特征主要在頻域表示的話，則相應(yīng)的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當(dāng)我們采集到一段信號之后，在沒有任何先驗信息的情況下，直覺是試圖在時域能發(fā)現(xiàn)一些特征，如果在時域無所發(fā)現(xiàn)的話，很自然地將信號轉(zhuǎn)換到頻域再看看能有什么特征。信號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同一個東西。第十五頁，共六十頁，2022年，8月28日Z變換的一些性質(zhì)序列的移位（重要）設(shè)序列x(n)的z變換為:Z［x(n)］=X(z)Rx-＜|z|＜Rx+

則有：第十六頁，共六十頁，2022年，8月28日二模擬控制器的離散化1.向后差分變換法（1）離散化公式Ts為采樣周期第十七頁，共六十頁，2022年，8月28日

后向差分的近似式是：

等式左邊取拉氏變換為：

等式右邊取Z變換為：

這樣可以得到變換關(guān)系：結(jié)論：第十八頁，共六十頁，2022年，8月28日

[例3-1]

用后向差分變換法離散假設(shè)等效差分方程（控制算法）為：

第十九頁，共六十頁，2022年，8月28日

2.雙線性變換法

由z變換定義可知，，利用級數(shù)展開可得

由上式反求s，得第二十頁，共六十頁，2022年，8月28日[例3-2]

將

Ts=1s雙線性變換成D(z)

等效差分方程（控制算法）為：第二十一頁，共六十頁，2022年，8月28日

S域中零極點的分布直接決定了系統(tǒng)的特性，Z域中亦然。因此，當(dāng)S域轉(zhuǎn)換到Z域時，應(yīng)當(dāng)保證零極點具有一一對應(yīng)的映射關(guān)系，根據(jù)S域與Z域的轉(zhuǎn)換關(guān)系z=eTs，可將S平面的零極點直接一一對應(yīng)地映射到Z平面上，使D(z)的零極點與連續(xù)系統(tǒng)D(s)的零極點完全相匹配，這等效離散化方法稱為“零極點匹配”或“根匹配法”。3.零極點匹配法第二十二頁，共六十頁，2022年，8月28日D(s)到D(z)變換法則：

當(dāng)D(s)的零點數(shù)m少于極點數(shù)n時，定義D(s)含有m個有限零點，n-m個無限零點s=無窮（1）極點和有限零點（2）無限零點第二十三頁，共六十頁，2022年，8月28日（3）低頻增益由

得當(dāng)D(s)分子階次比分母低時，在D(z)分子上匹配（z+1）因子，可獲得雙線性變換的效果。

第二十四頁，共六十頁，2022年，8月28日[例

3-3]

用零點極點對應(yīng)法將下面D(s)變換成D(z)需要在處配置解：D(s)的極點為2個零點，在采樣周期時，確定增益最后得到等效差分方程（控制算法）為:根據(jù)第二十五頁，共六十頁，2022年，8月28日(1)從上述各方法的原理看，只要原有的連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則變換以后得到的離散系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。(2)采樣頻率對設(shè)計結(jié)果有影響，當(dāng)采樣頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的截止頻率時(100倍以上)，用任何一種設(shè)計方法所構(gòu)成的系統(tǒng)特性與連續(xù)系統(tǒng)相差不大。隨著采樣頻率的降低，各種方法就有差別。按設(shè)計結(jié)果的優(yōu)劣進行排序，以雙線性變換法為最好，即使在采樣頻率較低時，所得的結(jié)果還是穩(wěn)定的。其次是零極點匹配法和后向差分。各種離散化方法的比較第二十六頁，共六十頁，2022年，8月28日(3)上述各種設(shè)計方法都有自己的特點，零極點匹配法能保證變換前后直流增益相同，雙線性變換法可以保證變換前后特征頻率不變，以上各種設(shè)計方法在實際工程中都有應(yīng)用，可根據(jù)需要進行選擇。第二十七頁，共六十頁，2022年，8月28日三由計算機實現(xiàn)的編程算法

（課本34-35頁內(nèi)容）將數(shù)字控制器D(z)寫成一般形式，兩邊交叉相乘，再寫出對應(yīng)的差分方程，此差分方程就是用計算機語言編程實現(xiàn)控制算法的算式。例題3-4第二十八頁，共六十頁，2022年，8月28日第二節(jié)數(shù)字PID控制

1PID控制器的概念及發(fā)展現(xiàn)狀比例-積分-微分(Proportion-Integral-Differential，簡稱PID)控制器是一個三項控制器，在自動控制領(lǐng)域擁有悠久歷史。具有原理簡單，結(jié)構(gòu)靈活，適應(yīng)性強等特點，能夠提供一系列令人滿意的過程，實際上它在工業(yè)中已成為標(biāo)準(zhǔn)控制器。第二十九頁，共六十頁，2022年，8月28日當(dāng)被控對象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時，控制理論的其它技術(shù)難以采用時，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗和現(xiàn)場調(diào)試來確定，這時應(yīng)用PID控制技術(shù)最為方便。即當(dāng)我們不完全了解一個系統(tǒng)和被控對象，或不能通過有效的測量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時，最適合用PID控制技術(shù)。PID解決了自動控制理論所要解決的最基本問題，既系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性。第三十頁，共六十頁，2022年，8月28日一數(shù)字PID控制器（一）模擬控制器控制規(guī)律為第三十一頁，共六十頁，2022年，8月28日輸入：控制偏差e(t)=r(t)-y(t)輸出：偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)的線性組合

式中KP

——比例系數(shù)

TI

——積分時間常數(shù)

TD

——微分時間常數(shù)第三十二頁，共六十頁，2022年，8月28日PID控制器中三個環(huán)節(jié)的作用總結(jié)如下：（1）比例環(huán)節(jié)的作用：能迅速反映偏差，從而減小偏差，但不能消除靜差，的加大，會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。（2）積分環(huán)節(jié)的作用：只要系統(tǒng)存在偏差，積分環(huán)節(jié)就會產(chǎn)生控制作用減小偏差，直到最終消除偏差，但積分作用太強會使系統(tǒng)超調(diào)加大，甚至使系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。（3）微分環(huán)節(jié)的作用：有助于系統(tǒng)減小超調(diào)，克服振蕩，加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減小調(diào)節(jié)時間，從而改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能。但過大，會使系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定。第三十三頁，共六十頁，2022年，8月28日實際中要根據(jù)對象的特性、系統(tǒng)性能要求對PID三項控制進行組合，以構(gòu)成適用的控制規(guī)律。常用的有比例(P)控制、積分(I)控制、比例積分(PI)控制、比例微分(PD)控制、比例積分微分(PID)控制。第三十四頁，共六十頁，2022年，8月28日（二）數(shù)字PID控制算法離散后的PID控制式：式中：Ki=KpT/Ti稱為積分系數(shù)，Kd=KpTd/T稱為微分系數(shù)第一項為比例控制，第二項為數(shù)字積分控制，第三項為數(shù)字微分控制第三十五頁，共六十頁，2022年，8月28日數(shù)字PID控制器參數(shù)對性能的影響三個參數(shù)：KpTiTd

影響KpTiTd穩(wěn)態(tài)性能可以減少靜差，但不能消除消除靜差，但不能太大配合比例控制，可以減小靜差動態(tài)性能加快系統(tǒng)速度，但會引起震蕩太小會不穩(wěn)定，太大會影響性能太大和太小都會引起超調(diào)量大，過渡時間長。第三十六頁，共六十頁，2022年，8月28日第三十七頁，共六十頁，2022年，8月28日模擬PID控制器的離散化

在采樣周期遠(yuǎn)小于信號變化周期時，可作如下近似：式中，為采樣周期；為采樣序號，第三十八頁，共六十頁，2022年，8月28日為了便于計算機編寫程序，將上式變?yōu)椋菏街?，是?shù)字PID控制器的輸入，為第個采樣時刻的偏差值；是第個采樣時刻數(shù)字PID控制器的輸出；

為積分系數(shù)

為微分系數(shù)由上式得出的控制量為全量值輸出，也就是每次的輸出值都與執(zhí)行機構(gòu)的位置(如控制閥門的開度)一一對應(yīng)，所以把它稱之為位置式數(shù)字PID控制算法。

第三十九頁，共六十頁，2022年，8月28日當(dāng)控制系統(tǒng)中的執(zhí)行器為步進電機、電動調(diào)節(jié)閥、多圈電位器等具有保持歷史位置功能的裝置時，需要的不是控制量的絕對數(shù)值，而是其增量值。因此，需要由數(shù)字PID位置式導(dǎo)出數(shù)字PID控制算法的增量式。對數(shù)字PID位置式取增量，即數(shù)字控制器輸出的是相鄰兩次采樣時刻所計算的位置值之差：

由于上式得出的是數(shù)字PID控制器輸出控制量的增量值，因此，稱之為增量式數(shù)字PID控制算法。它只需要保持三個采樣時刻的偏差值。第四十頁，共六十頁，2022年，8月28日為了便于計算機編程，簡化計算，提高計算速度，將上式整理為：式中，在編寫程序時，可以根據(jù)事先確定的比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)，計算出、、，存入內(nèi)存單元。利用增量式數(shù)字PID控制算法，可以得到位置式數(shù)字PID控制算法的遞推算式，即

第四十一頁，共六十頁，2022年，8月28日

（1）位置式每次輸出與整個過去狀態(tài)有關(guān)，計算式中要用到過去偏差的累加值，容易產(chǎn)生較大的累積計算誤差。而在增量式中由于消去了積分項，從而可消除控制器的積分飽和，在精度不足時，計算誤差對控制量的影響較小，容易取得較好的控制效果（只存三個偏差值即可）。（2）為實現(xiàn)手動—自動無擾切換，在切換瞬時，必須首先將計算機的輸出值設(shè)置為閥門原始開度。由于增量式計算只與本次的偏差值有關(guān)，與閥門原來的位置無關(guān)，其輸出對應(yīng)于閥門位置的變化部分，因此，易于實現(xiàn)從手動到自動的無擾動切換。（3）采用增量式算法時所用的執(zhí)行器本身都具有保持功能，即使計算機發(fā)生故障，執(zhí)行器仍能保持在原位，不會對生產(chǎn)造成惡劣影響。與位置式數(shù)字PID控制算法相比，增量式數(shù)字PID控制算法有如下優(yōu)點：第四十二頁，共六十頁，2022年，8月28日位置式PID控制算法:第四十三頁，共六十頁，2022年，8月28日增量式PID控制算法第四十四頁，共六十頁，2022年，8月28日（三）數(shù)字PID算法實施中的問題

1算法編程數(shù)的定點是數(shù)據(jù)中小數(shù)點的位置固定不變，一般用來表示一個純小數(shù)或者整數(shù)。數(shù)值的取值范圍有限。數(shù)的浮點表示法是指表示一個數(shù)時，其小數(shù)點的位置是浮動的，解決了定點表示中取值范圍過窄的問題。編程要注意，選擇用定點運算還是浮點運算，在采樣PC機時，大多用浮點運算，應(yīng)用單片機時，通常采用定點運算。定點運算要注意運算結(jié)果的溢出問題，解決辦法是先用比例因子將運算量縮小，運算后再把輸出放大相應(yīng)的倍數(shù)。第四十五頁，共六十頁，2022年，8月28日2輸出限幅控制系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)都有其極限位置，與控制器對應(yīng)就有兩個極限量：最大控制量和最小控制量，輸出超過最大控制量或低于最小控制量時，可能損害設(shè)備或控制性能下降。因此控制輸出硬限幅在范圍內(nèi)。對于增量型的輸出，要保證輸出不超過執(zhí)行機構(gòu)可調(diào)節(jié)的余量第四十六頁，共六十頁，2022年，8月28日3積累整量化誤差在增量型PID控制中，積分項是用計算的，如果采用周期較小，而積分時間較大時，的值可能小于計算機字長所能表示的數(shù)的精度，計算機將忽略做零對待，實際上對于沒有積分作用。解決辦法是將積分項累加起來，，直到累加值大于計算機精度時，將加入到中。第四十七頁，共六十頁，2022年，8月28日二數(shù)字PID的改進（一）積分項的改進積分的作用是消除穩(wěn)態(tài)偏差，提高控制精度，但又對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)造成不良影響，產(chǎn)生大的超調(diào)量或長時間震蕩。為了提高控制性能，采取下面兩種改進措施：

1積分分離法

2抗積分飽和法第四十八頁，共六十頁，2022年，8月28日1積分分離法問題：當(dāng)有較大的擾動或大幅度改變給定值時，由于此時有較大的偏差，以及系統(tǒng)有慣性和滯后，故在積分項的作用下，會產(chǎn)生較大的超調(diào)和長時間的波動。積分分離PID控制算法的基本思想是在系統(tǒng)偏差較大時，取消積分作用；而在偏差小于某個閾值時才引入積分作用。第四十九頁，共六十頁，2022年，8月28日

式中的邏輯系數(shù)為

為根據(jù)系統(tǒng)的實際情況設(shè)置的分離閾值?？梢?，當(dāng)時，即偏差值比較小時，采用PID控制，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，從而保證系統(tǒng)的控制精度。當(dāng)時，即偏差比較大時，采用PD控制，可大大地降低超調(diào)量，改善系統(tǒng)動態(tài)特性。積分分離PID控制算法的控制效果示意圖如圖所示。第五十頁，共六十頁，2022年，8月28日有無積分分離算法的示意圖第五十一頁，共六十頁，2022年，8月28日2抗積分飽和法問題：積分飽和。因長時間出現(xiàn)偏差或偏差較大，計算出的控制量有可能溢出。就是計算機運算得出的控制量u(k)超出了D/A轉(zhuǎn)換器所能表示的數(shù)值范圍。執(zhí)行機構(gòu)有兩個極限位置，如調(diào)節(jié)閥全開或全關(guān)。如果執(zhí)行機構(gòu)已到極限位置，仍然不能消除偏差時，由于積分作用，盡管PID差分方程式所得的運算結(jié)果繼續(xù)增大或減小，但執(zhí)行機構(gòu)已經(jīng)沒有相應(yīng)的動作，這稱為積分飽和。作為防止積分飽和的辦法之一，可對計算出的控制量u(k)進行限幅，同時把積分作用切除。第五十二頁，共六十頁，2022年，8月28日（二）微分項的改進微分有助于減小系統(tǒng)輸出的超調(diào)，克服振蕩，加快動態(tài)過程。但微分作用對高頻干擾非常靈敏。

1不完全微分PID控制算法對于具有高頻擾動的生產(chǎn)過程，由于標(biāo)準(zhǔn)PID控制算式中的微分作用過于靈敏，導(dǎo)致系統(tǒng)控制過程振蕩，降低了調(diào)節(jié)品質(zhì)。特別是，對每個控制回路計算機的輸出是快速的，而執(zhí)行機構(gòu)的動作需要一定的時間。如果輸出值較大，在一個采樣時間內(nèi)執(zhí)行機構(gòu)不能到達應(yīng)到的位置，會使輸出失真。

第五十三頁，共六十頁，2022年，8月28日為此，在標(biāo)準(zhǔn)PID控制算法中加入一個低通濾波器，加在整個PID控制器之后，形成不完全微分PID控制算法，改善系統(tǒng)的性能，結(jié)構(gòu)如圖所示。不完全微分PID控制器框圖第五十四頁，共六十頁，2022年，8月28日圖中為低通濾波器傳遞函數(shù)，即由傳遞函數(shù)的定義則有對等式兩邊同時進行拉氏反變換用后向差分法近似微分項，可以求出差分方程為

第五十五頁，共六十頁，2022年，8月28日對上式進行整理得

式中，，為標(biāo)準(zhǔn)PID位置算式的輸出。