四、材料力學(xué)正應(yīng)力分析

彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析第4章1、與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)

2、平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力

3、斜彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力4、彎矩與軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力第4章彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析

5、基于最大正應(yīng)力的強度計算

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)1、橫截面面積

常見的橫截面有：

矩形——A=h×b;

圓形——A=πR2;bhR2、靜矩、形心

截面面積對軸的矩稱為靜矩：

圖形幾何形狀的中心稱形心：

3、慣性矩、極慣性矩、慣性半徑

慣性矩----

慣性半徑----

極慣性矩------

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)4、常見形體的慣性矩、極慣性矩

a、矩形截面的慣性矩

b、圓形截面的慣性矩C、圓環(huán)截面的慣性矩

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)bhdyzyzdyzDdd、圓形截面的極慣性矩

e、圓環(huán)截面的極慣性矩

4、形心主慣性矩

圖形對形心主軸的慣性矩稱形心主慣性矩，

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)例4-1、求圖中剖面線部分的慣性矩慣性矩Iy;Iz;

解：由負(fù)面積法,

Iz=Hb3/12–hb3/12=b3(H-h)/12;Iy=bH3/12–bh3/12=b(H3-h3)/12;

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)bhzyH

小鳥

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì)

1、平面彎曲的概念

梁的對稱面：梁的橫截面具有

對稱軸，所有相

同的對稱軸組成

的平面。形心主軸平面：所有相同的形心主軸組成的平面。

平面彎曲：所有外力都作用在梁

的同一主軸平面內(nèi)，

梁的軸線在該平面中

彎曲成曲線。

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩作用的情況，如梁的BC段。截面上只有正應(yīng)力。橫向彎曲：梁的橫截面上既有剪力也有彎矩，如梁的AB段。因而其上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力。

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力CBl/5FAl/5MFFFl/5FD3l/5FQFAyFDy++-xx

2、純彎曲時梁的正應(yīng)力分析純彎曲梁的正應(yīng)力分析需要三個步驟：

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力MM

中性軸a、應(yīng)用平面假設(shè)確定應(yīng)變分布

1）彎曲梁變形后，梁表面的縱向線彎曲，截面上面縮短、下面伸長、中間長度未變化。根據(jù)外表面線條可以確定橫截面上面受到壓應(yīng)力；下面受到拉應(yīng)力；而中間沒有應(yīng)力。我們把中間未伸長的一層稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸。

2）梁彎曲時的平面假設(shè)梁變形后周邊表面的橫向線仍然是直線，且垂直于縱向線。我們假定梁的橫截面在變形前后仍然保持為平面，只是相對轉(zhuǎn)過一個角度dθ。

3）沿梁橫截面高度方向正應(yīng)力表達(dá)式：

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力b、應(yīng)用虎克定理確定橫截面上正應(yīng)力分布

由虎克定律

將上述應(yīng)變公式帶人得：

σ

=Eε

即：正應(yīng)力與高度坐標(biāo)成線性關(guān)系

σ=-Ey/ρ其中ρ

表示該點的曲率半徑，它如何表達(dá)呢？

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力

c、應(yīng)用靜力方程確定正應(yīng)力公式由

由

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力yxzΔAzyσxMz

將帶人公式

得正應(yīng)力公式：

正應(yīng)力與截面上彎矩、中性軸距離成正比；與截面的慣性矩成反比。應(yīng)力分布如圖：

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力yxzΔAzyσxMz

d、中性軸在橫截面上的位置中性軸通過橫截面的形心，并且垂直于形心主軸。

e、最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量

對于橫截面上正應(yīng)力最大值

其中Wz=Iz/ymax稱為彎曲截面系數(shù)；

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力σmaxσmax

彎曲截面系數(shù):Wz=Iz/ymax;*矩形截面的彎曲截面系數(shù):Wz=bh2/6;*圓形截面的彎曲截面系數(shù):Wz=πd3/32;*圓環(huán)截面的彎曲截面系數(shù)

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力

f、梁平面彎曲后軸線曲率的計算公式

公式表明梁的軸線彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。3、彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用與推廣

a、梁上最大正應(yīng)力位置的判定

需要考慮彎矩分布；橫截面形狀等因素；

b、純彎曲正應(yīng)力公式可以推廣到橫向彎曲純彎曲正應(yīng)力公式在橫向彎曲也是近似適用的。

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力例題4-2受均布荷載簡支梁如圖,已知梁的截面為矩形b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.試求最大彎矩截面B上1、2兩點的正應(yīng)力。CBqAl/2l/2hbh/4zy21

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力解：1、作梁的內(nèi)力圖，確定最大彎矩及位置

MZB=ql2/8;2、計算正應(yīng)力1點的正應(yīng)力：

為拉伸應(yīng)力2點的正應(yīng)力：

為壓縮正應(yīng)力CBqAFqM

hbh/4zy21l/2l/2xx++-

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力CBFPA20015096.4zy50150例題4-3丁字截面簡支梁受力如圖,已知梁的參數(shù)：

試求最大彎矩截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。l/2l/2

平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力CBFPAl/2FqM20015096.4zy50150解：1、作梁的內(nèi)力圖，確定最大彎矩及位置。

MzB=Fpl/4=16kNm;2、計算最大彎矩截面上最大正應(yīng)力

最大拉伸正應(yīng)力：

位置在梁的下邊緣處

最大壓縮正應(yīng)力：

位置在梁的上邊緣處。思考：對于脆性材料，極限拉伸應(yīng)力小于極限壓縮應(yīng)力，設(shè)置上下非對稱的橫截面并且如此放置，是否最大限度地發(fā)揮了材料的強度潛力？xMZσmax+σmaxˉFpl/4l/2++-xx

斜彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力1、產(chǎn)生斜彎曲的加載條件

當(dāng)梁的外力平面與梁的軸線變形平面不共面時，這種彎曲稱斜彎曲。如圖：

FP2FP1變形平面合力作用平面yz

斜彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力2、疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

當(dāng)梁的受到外力作用在豎直平面和水平面同時彎曲，梁橫截面上的正應(yīng)力可以應(yīng)用疊加法確定。如圖：其最大正應(yīng)力：

公式對于非圓形截面梁都是適用的（圓形截面除外）。

yzCyzCσmax+σmaxˉ

斜彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力圓形截面斜彎曲梁的最大正應(yīng)力：

例4-4圖示矩形截面梁已知：b=90mm;h=180mm;Fp1=800N;Fp2=1650N;l=1m;試求梁內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力及作用位置。解：1、確定梁截面上的內(nèi)力分量，梁的內(nèi)力如圖：最大彎矩在固定端處。

Mymax=-Fp1l;Mzmax=-Fp2l;2、確定梁根部截面上最大正應(yīng)力作用點：如圖,A點處是兩拉應(yīng)力相加；B點處是兩壓應(yīng)力相加。3、計算最大正應(yīng)力:

斜彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力FP1FA1MAyFQMyFP2FA2MAzFQMzxxxxxxzz2FP!lFP2lMy⊕⊕⊕⊕⊕?????Mz⊕⊕⊕???AABByy----σmax+σmaxˉ縱向載荷作用線平行于桿件的軸線，但不重合，這種載荷稱為偏心載荷。

將載荷向截面形心簡化得到兩個內(nèi)力分量：FNx≠0;Mz≠0;其中軸力和彎矩將使梁橫截面產(chǎn)生正應(yīng)力：彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力FPFPFPFPMzMz彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力例4-5圖示開口鏈環(huán)由直徑d=12mm的園鋼制作而成。試求：1）、鏈環(huán)直段部分橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；2）、當(dāng)鏈環(huán)焊接成閉口狀態(tài)應(yīng)力如何？800N800N800N800N21mm彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力解：1、計算開口鏈環(huán)直段部分橫截面上最大應(yīng)力，受力如圖；橫截面上彎矩：橫截面上正應(yīng)力（如圖所示）

800N800N800N800NMzcσmax+

σmaxˉ

彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力課外練習(xí)：4-1；4-5；4-9；4-142、計算閉口鏈環(huán)直段部分橫截面上最大應(yīng)力，受力如圖：橫截面上只有拉應(yīng)力。比較兩種形式鏈環(huán)的正應(yīng)力大小相差近22倍。400N800N800N800N400Nc

課堂練習(xí)4-1圖示矩形截面柱，已知：外加載荷FP以及橫截面尺寸。試求ABED截面上四個角點上的正應(yīng)力。彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力

偏心壓縮：壓力沿軸線方向但與軸線不重合。解：1、確定截面上的內(nèi)力分量，在ABDE橫截面將柱截開由力的平移定理將力平移到橫截面的形心處，內(nèi)力如圖：彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力

2、判斷最大應(yīng)力作用位置：在內(nèi)力作用下A、E分別是最大壓應(yīng)力和拉應(yīng)力作用點3、計算ABDE各點的應(yīng)力，作圖：彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應(yīng)力基于最大正應(yīng)力的強度計算1、基于最大正應(yīng)力的強度條件:σmax≤[σ]2、強度計算的主要步驟：a、計算桿件的約束力；b、作桿件的內(nèi)力圖；c、根據(jù)內(nèi)力、橫截面、材料等因素確定可能的危險點；d、應(yīng)用強度條件進(jìn)行強度計算：

對于塑性材料：σmax≤[σ];

對于脆性材料：σmax+≤[σ]+;

σmaxˉ

≤[σ]ˉ；基于最大正應(yīng)力的強度計算例4-6圖示圓軸AB段是空心的，已知D=60mm;d=40mm，尺寸和外力，[σ]

=120MPa；試分析圓軸強度是否安全。3kN5kN2.93kN5.07kNACBD3001000400基于最大正應(yīng)力的強度計算解：1、作內(nèi)力圖2、判斷可能的危險截面是C、B橫截面；3、計算危險截面上的最大正應(yīng)力：

4、對軸進(jìn)行強度校核：

軸的強度是安全的。2.93kN5kN5.07kN3kN2.93kN3kN-2.07kNFQ-0.9kNm1.17kNmMACBD+-++基于最大正應(yīng)力的強度計算2FpFp6001400ACB例4-7由鑄鐵制作的懸臂梁尺寸如圖，F(xiàn)P=20kN,材料的許用應(yīng)力試校核梁的強度。20015096.4zy50150c基于最大正應(yīng)力的強度計算解：1、作內(nèi)力圖2、判斷可能的危險截面是A、B橫截面；3、計算危險截面上的最大正應(yīng)力：

4、對梁進(jìn)行強度校核：

梁的強度是安全的。-20kN40kN20kN20kN-20kNFq-12kNm16kNmMACB16kNmxMZxMZB截面應(yīng)力分布A截面應(yīng)力分布+-+-σmaxˉσmaxˉσmaxσmax基于最大正應(yīng)力的強度計算例4-8圖示行車梁由32a熱軋工字鋼制成，已知起吊時重物與y軸之間的夾角α=5°;[σ]=160MPa

，試校核梁的強度。80kN80kN4