高中數(shù)學(xué)人教A版第三章概率單元測試

章末分層突破[自我校對]①P(A)＋P(B)②P(A)＋P(B)＝1③eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))隨機(jī)事件的概率1.有關(guān)事件的概念(1)必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的必然事件，簡稱必然事件．(2)不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件，簡稱不可能事件．(3)確定事件：必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定事件．(4)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機(jī)事件，簡稱隨機(jī)事件．(5)事件的表示方法：確定事件和隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．2．對于概率的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)．(2)只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件A的概率．(3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值．(4)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．(5)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1.對一批U盤進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率eq\f(b,a)(1)計(jì)算表中次品的頻率；(2)從這批U盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是多少？(3)為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換，要銷售2000個(gè)U盤，至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤？【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合頻率的定義進(jìn)行計(jì)算填表，并用頻率估計(jì)概率．【規(guī)范解答】(1)表中次品頻率從左到右依次為,,,,,.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí)，出現(xiàn)次品的頻率在附近擺動(dòng)，所以從這批U盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是.(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤，為保證其中有2000個(gè)正品U盤，則x(1－≥2000，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x≥2041，即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤．[再練一題]1．某射擊運(yùn)動(dòng)員為備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455(1)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？(3)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？(4)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？【解】(1)由題意，擊中靶心的頻率分別為,,,,,，當(dāng)射擊次數(shù)越來越大時(shí)，擊中靶心的頻率在附近擺動(dòng)，故概率約為.(2)擊中靶心的次數(shù)大約為300×＝270(次)．(3)由概率的意義，可知概率是個(gè)常數(shù)，不因試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．后30次中，每次擊中靶心的概率仍是，所以不一定擊中靶心．(4)不一定．互斥事件與對立事件1.對互斥事件與對立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況．(2)利用集合的觀點(diǎn)來看，如果事件A∩B＝?，則兩事件是互斥的，此時(shí)A∪B的概率就可用加法公式來求，即為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠?，則可考慮利用古典概型的定義來解決，不能直接利用概率加法公式．(3)利用集合的觀點(diǎn)來看，如果事件A∩B＝?，A∪B＝U，則兩事件是對立的，此時(shí)A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1來求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法(1)若A1，A2，…，An互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)利用這一公式求概率的步驟：①要確定這些事件彼此互斥；②這些事件中有一個(gè)發(fā)生；③先求出這些事件分別發(fā)生的概率，再求和．值得注意的是：①、②兩點(diǎn)是公式的使用條件，不符合這兩點(diǎn)，是不能運(yùn)用互斥事件的概率加法公式的．3．對立事件概率的求法P(Ω)＝P(A∪eq\x\to(A))＝P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，由公式可得P(A)＝1－P(eq\x\to(A))(這里eq\x\to(A)是A的對立事件，Ω為必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解決概率問題的重要公式，它能把復(fù)雜的概率問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的概率或轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率求解．甲、乙兩人參加普法知識(shí)競賽，共有5個(gè)不同的題目．其中，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題．(1)甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【精彩點(diǎn)撥】用列舉法把所有可能的情況列舉出來，或考慮互斥及對立事件的概率公式．【規(guī)范解答】把3個(gè)選擇題記為x1，x2，x3,2個(gè)判斷題記為p1，p2.總的事件數(shù)為20.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種．(1)“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).[再練一題]2．某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是；響第2聲時(shí)被接的概率是；響第3聲時(shí)被接的概率是；響第4聲時(shí)被接的概率是.(1)打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？(2)打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？【解】(1)設(shè)事件“電話響第k聲時(shí)被接”為Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A，根據(jù)互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.(2)事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件A“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對立事件，記為eq\o(A,\s\up8(－)).根據(jù)對立事件的概率公式，得P(eq\o(A,\s\up8(－)))＝1－P(A)＝1－＝.古典概型與幾何概型古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝eq\f(m,n)時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，求出n，m.但列舉時(shí)必須按某一順序做到不重復(fù)、不遺漏．幾何概型同古典概型一樣，是概率中最具有代表性的試驗(yàn)概型之一，在高考命題中占有非常重要的位置．我們要理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征，即：每次試驗(yàn)中基本事件的無限性和每個(gè)事件發(fā)生的等可能性，由于其結(jié)果的無限性，概率就不能應(yīng)用P(A)＝eq\f(m,n)求解，而需轉(zhuǎn)化為幾何度量(如長度、面積、體積等)的比值求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．甲、乙兩艘貨輪都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，試求兩船中有一艘在停泊位時(shí)，另一艘船必須等待的概率．【精彩點(diǎn)撥】甲、乙兩艘貨輪?？坎次坏臅r(shí)間是6小時(shí)，當(dāng)兩船到達(dá)泊位的時(shí)間差不超過6小時(shí)時(shí)，兩船中一艘?？?，另一艘必須等待．【規(guī)范解答】設(shè)甲、乙兩船到達(dá)泊位的時(shí)刻分別為x、y.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤24，,0≤y≤24，,|x－y|≤6.))作出如圖所示的區(qū)域．本題中，區(qū)域D的面積S1＝242，區(qū)域d的面積S2＝242－182.∴P＝eq\f(d的面積,D的面積)＝eq\f(242－182,242)＝eq\f(7,16).即兩船中有一艘在停泊位時(shí)另一船必須等待的概率為eq\f(7,16).[再練一題]3．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是()\f(4,5) \f(3,5)\f(2,5) \f(1,5)【解析】∵當(dāng)b＝1時(shí)，沒有滿足條件的a值；當(dāng)b＝2時(shí)，a＝1；當(dāng)b＝3時(shí)，a可以是1，可以是2，∴共3種情況．而從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a，再從{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)b，共有3×5＝15種不同取法，∴概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).【答案】D概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題統(tǒng)計(jì)和古典概型的綜合是高考解答題的一個(gè)命題趨勢和熱點(diǎn)，此類題很好地結(jié)合了統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，并且在實(shí)際生活中應(yīng)用也十分廣泛，能很好地考查學(xué)生的綜合解題能力，在解決綜合問題時(shí)，要求同學(xué)們對圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉，挖掘出圖表所給予的有用信息，排除有關(guān)數(shù)據(jù)的干擾，進(jìn)而抓住問題的實(shí)質(zhì)，達(dá)到求解的目的．隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖3-1所示．圖3-1(1)直接根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高；(2)計(jì)算甲班的樣本方差；(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率．【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)“葉”上的數(shù)據(jù)的集中情況作出判斷；(2)代入方差的計(jì)算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解．【規(guī)范解答】(1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于160cm～179cm之間，而乙班身高集中于170cm～179cm之間．因此乙班平均身高高于甲班；(2)eq\x\to(x)＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170(cm)．甲班的樣本方差s2＝eq\f(1,10)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝(cm2)．(3)設(shè)“身高為176cm的同學(xué)被抽中”為事件A，從乙班10名同學(xué)中抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).[再練一題]4．某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)120第二組[30,35)195p第三組[35,40)100第四組[40,45)a第五組[45,50)30第六組[50,55]15圖3-2(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率．【解】(1)第二組的頻率為1－＋＋＋＋×5＝，所以高為eq\f,5)＝.頻率分布直方圖如下：第一組的人數(shù)為eq\f(120,＝200，頻率為×5＝，所以n＝eq\f(200,＝1000.由題可知，第二組的頻率為，所以第二組的人數(shù)為1000×＝300，所以p＝eq\f(195,300)＝.第四組的頻率為×5＝，所以第四組的人數(shù)為1000×＝150，所以a＝150×＝60.(2)因?yàn)閇40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30＝2∶1，所以采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人．設(shè)[40,45)歲中的4人為a，b，c，d，[45,50)歲中的2人為m，n，則選取2人作為領(lǐng)隊(duì)的選法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15種；其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8種．所以選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為eq\f(8,15).數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在求古典概型和幾何概型的概率中有著廣泛的應(yīng)用．在古典概型中，基本事件的個(gè)數(shù)較多且不易列舉時(shí)，借助于圖形會(huì)比較直觀計(jì)數(shù)．在幾何概型中，把基本事件轉(zhuǎn)化到與長度、面積、體積有關(guān)的圖形中，結(jié)合圖形求長度、面積、體積的比．設(shè)點(diǎn)(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均勻分布出現(xiàn)，試求方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩根都是實(shí)數(shù)的概率．【精彩點(diǎn)撥】試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫蔚拿娣e，方程有兩個(gè)實(shí)根構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A的外部．【規(guī)范解答】基本事件總體的區(qū)域D的度量為正方形面積，即D的度量為S正方形＝62＝36，由方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩根都是實(shí)數(shù)，得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，∴p2＋q2≥1.∴當(dāng)點(diǎn)(p，q)落在如圖所示的陰影部分時(shí)，方程的兩根均為實(shí)數(shù)，由圖可知，構(gòu)成的區(qū)域d的度量為S正方形－S圓＝36－π，∴原方程的兩根都是實(shí)數(shù)的概率為P＝eq\f(36－π,36).[再練一題]5．三個(gè)人玩?zhèn)髑蛴螒?，每個(gè)人都等可能地傳給另兩人(不自傳)，若從A發(fā)球算起，經(jīng)4次傳球又回到A手中的概率是多少？【解】記三人為A、B、C，則4次傳球的所有可能可用樹狀圖方式列出，如下圖：每一個(gè)分支為一種傳球方案，則基本事件的總數(shù)為16，而又回到A手中的事件個(gè)數(shù)為6個(gè)，根據(jù)古典概型概率公式得P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).1．小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()\f(8,15) \f(1,8)\f(1,15) \f(1,30)【解析】∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).【答案】C2．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()\f(7,10) \f(5,8)\f(3,8) \f(3,10)【解析】如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B.【答案】B3．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()\f(1,3) \f(1,2)\f(2,3) \f(5,6)【解析】從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故選C.【答案】C4．某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()\f(1,3) \f(1,2)\f(2,3) \f(3,4)【解析】如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故選B.【答案】B5．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()\f(3,10)\f(1,5)\f(1,10)\f(1,20)【解析】從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C.【答案】C章末綜合測評(三)概率(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()①在學(xué)校明年召開的田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，學(xué)生張濤獲得100米短跑冠軍；②在體育課上，體育老師隨機(jī)抽取一名學(xué)生去拿體育器材，抽到李凱；③從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號簽；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰．A．1 B．2C．3 D．4【解析】①在明年運(yùn)動(dòng)會(huì)上，可能獲冠軍，也可能不獲冠軍．②李凱不一定被抽到．③任取一張不一定為1號簽．④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水在4℃時(shí)不可能結(jié)冰，故①②③是隨機(jī)事件，④是不可能事件．【答案】C2．下列說法正確的是()A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為eq\f(3,5)，則比賽5場，甲勝3場B．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個(gè)病人沒有治愈，則第10個(gè)病人一定治愈C．隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等D．天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%【解析】概率只是說明事件發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機(jī)性．故選D.【答案】D3．給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個(gè)打電話給甲的概率是()\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)【解析】給三人打電話的不同順序有6種可能，其中第一個(gè)給甲打電話的可能有2種，故所求概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.【答案】B4．在區(qū)間[－2,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為()\f(1,3) \f(1,4)\f(1,2) \f(2,3)【解析】由幾何概型的概率計(jì)算公式可知x∈[0,1]的概率P＝eq\f(1－0,1－－2)＝eq\f(1,3).故選A.【答案】A5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化驗(yàn)，則有微生物的概率為()A． B．C． D．【解析】本題考查的是體積型幾何概型．【答案】A6．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】①中兩事件是同一事件；②中兩事件可能同時(shí)發(fā)生；③中兩事件互斥，并且一定有一個(gè)事件發(fā)生，因此是對立事件；④中兩事件可能同時(shí)發(fā)生．故選C.【答案】C7．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能找到的概率為eq\f(4,5)，則河寬為()A．100m B．80mC．50m D．40m【解析】設(shè)河寬為xm，則1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，所以x＝100.【答案】A8．從一批羽毛球中任取一個(gè)，如果其質(zhì)量小于4.8g的概率是，質(zhì)量不小于4.85g的概率是，那么質(zhì)量在[,范圍內(nèi)的概率是()A． B．C． D．【解析】記“取到質(zhì)量小于g”為事件A，“取到質(zhì)量不小于g”為事件B，“取到質(zhì)量在[,范圍內(nèi)”為事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C為必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋P(C)＝1，即P(C)＝1－－＝.【答案】B9．如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()圖1\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)【解析】點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，故所求的概率P＝eq\f(△ABE的面積,矩形ABCD的面積)＝eq\f(1,2).【答案】C10．將區(qū)間[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x1轉(zhuǎn)化為區(qū)間[－2,2]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x，需要實(shí)施的變換為()A．x＝x1*2 ＝x1*4＝x1*2-2 ＝x1*4-2【解析】由題意可知x＝x1*(2+2)-2=4x1－2【答案】D11．先后拋擲兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，則()A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1【解析】先后拋擲兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)共有36個(gè)基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生的．而點(diǎn)數(shù)之和為12的只有1個(gè)：(6,6)；點(diǎn)數(shù)之和為11的有2個(gè)：(5,6)，(6,5)；點(diǎn)數(shù)之和為10的有3個(gè)：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.【答案】B12．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，則下列選項(xiàng)中以eq\f(7,10)為概率的事件是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品【解析】將3件一等品編號為1,2,3,2件二等品編號為4,5，從中任取2件有10種取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率為P1＝eq\f(6,10)，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率為P2＝eq\f(3,10)，其對立事件是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)．13．一個(gè)袋子中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)綠球，8個(gè)黑球，如果隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出綠球}，D＝{摸出紅球}，則P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(4,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(9,20).【答案】eq\f(2,5)eq\f(3,20)eq\f(9,20)14．在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取一個(gè)數(shù)a，能使方程x2＋2ax＋eq\f(1,2)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根的概率為________．【解析】方程有兩個(gè)相異實(shí)根的條件是Δ＝(2a)2－4×1×eq\f(1,2)＝4a2－2>0，解得|a|>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0,1)，所以eq\f(\r(2),2)<a<1，區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))的長度為1－eq\f(\r(2),2)，而區(qū)間(0,1)的長度為1，所以方程有兩個(gè)相異實(shí)根的概率為eq\f(1－\f(\r(2),2),1)＝eq\f(2－\r(2),2).【答案】eq\f(2－\r(2),2)15．甲、乙兩組各有三名同學(xué)，他們在一次測驗(yàn)中的成績的莖葉圖如圖2所示，如果分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的成績相同的概率是________.圖2【解析】由題意可知從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有9種選法，其中這兩名同學(xué)的成績相同的選法只有1種，故所求概率P＝eq\f(1,9).【答案】eq\f(1,9)16．甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則二人“心有靈犀”的概率為________．【解析】此題可化為任意從0～9中取兩數(shù)(可重復(fù))共有10×10＝100種取法．若|a－b|≤1分兩類，當(dāng)甲取0或9時(shí)，乙只能猜0、1或8、9共4種，當(dāng)甲取2～8中的任一數(shù)字時(shí)，分別有3種選擇，共3×8＝24種，所以P＝eq\f(24＋4,10×10)＝eq\f(7,25).【答案】eq\f(7,25)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率．【解】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8).以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為eq\f(7,8).18．(本小題滿分12分)對某班一次測驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如下表所示：分?jǐn)?shù)段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]概率(1)求該班成績在[80,100]內(nèi)的概率；(2)求該班成績在[60,100]內(nèi)的概率．【解】記該班的測試成績在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]內(nèi)依次為事件A，B，C，D，由題意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．(1)該班成績在[80,100]內(nèi)的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.(2)該班成績在[60,100]內(nèi)的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.19．(本小題滿分12分)小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為x；小李后擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為y.(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有幾個(gè)？(2)規(guī)定：若x＋y≥10，則小王贏；若x＋y≤4，則小李贏，其他情況不分輸贏．試問這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.【解】(1)由于x，y取值為1,2,3,4,5,6，則以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36個(gè)，即以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個(gè)．(2)滿足x＋y≥10的點(diǎn)有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6個(gè)，所以小王贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，滿足x＋y≤4的點(diǎn)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個(gè)，所以小李贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，則小王贏的概率等于小李贏的概率，所以這個(gè)游戲規(guī)則公平．20．(本小題滿分12分)某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競賽(每人被選到的可能性相同)．(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率．【解】(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(2)選出的2人來自不同年級且恰有