以解析幾何為載體的應用題

以解析幾何為載體的應用題 7數(shù)學源于生活，應用所學數(shù)學知識解決實際問題是能力與素養(yǎng)的具體表現(xiàn).數(shù)學應用問

題是江蘇數(shù)學高考的突出亮點，常以中檔題（17或18題）的形式呈現(xiàn)，具有良好的區(qū)分度,

是高考的重點與熱點.本專題集中介紹以解析幾何為載體的應用問題常見的處理手段是

結合實際問題，利用圖形中的幾何關系，通過解析法建立數(shù)學模型，應用相關數(shù)學知識予

以解決.例題導引 屈微而準園微而細例題：如圖，為了保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經測量，點A位于點O正北方4向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tanZBCO=§?（1） 求新橋BC的長；（2） 當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大?SitKS 聯(lián)想問題重構網絡變式1如圖所示，為建設美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內有一景觀湖EFG（圖中陰影部分）.以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（如圖所示）.景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)y=x

14+X(x>0)模型，園區(qū)服務中心p在x軸正半軸上，po=3百米.若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM,求OM的最短長度；若在線段DE上設置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置，使通道PQ最短.變式2變式2如圖所示，有一矩形鋼板ABCD缺損了一角(圖中陰影部分)，邊緣線OM上每一點到點D的距離都等于它到邊AB的距離．工人師傅要將缺損的一角切割下來使剩余部分成一個五邊形，已知AB=4米，AD=2米.如圖所示建立直角坐標系.求邊緣線OM的軌跡方程；①設點P(t,m)為邊緣線OM上的一個動點，試求出點P處切線EF的方程(用t表示).②求AF的值，使截去的ADEF的面積最小.$liti8i)S 鈾識串聯(lián)秦會貫通串講1如圖，相距14km的兩個居民小區(qū)M和N位于河岸1(直線)的同側，M和N距離河岸分別為10km和8km.現(xiàn)要在河的小區(qū)一側選一地點P，在P處建一個生活污水處理站,從P排直線水管PM，PN分別到兩個小區(qū)和垂直于河岸的水管PQ,使小區(qū)污水經處理后排入河道，設PQ段長為t(0<t<8)km.求污水處理站到兩小區(qū)的水管的總長最小值(用t表示)；請確定污水處理站的位置，使所排三段水管的總長最小，并求出此時污水處理站分別到兩小區(qū)水管的長度.串講2為響應新農村建設，某村計劃對現(xiàn)有舊水渠進行改造，已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧，頂點為水渠最底端（如圖），渠寬為4m,渠深為2m.（1）考慮到農村耕地面積的減少，為節(jié)約水資源，要減少水渠的過水量，在原水渠內填土，使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠，新水渠底面與地面平行（不改變渠寬），問新水渠底寬為多少時，所填土的土方量最少？（2）考慮到新建果園的灌溉需求，要增大水渠的過水量，現(xiàn)把舊水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的新水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請你設計水渠改挖后的底寬，并求出這個底寬．（2018?九章密卷）如圖所示，有一塊扇形區(qū)域的空地，其中ZAOB=90°,OA=120m.現(xiàn)要對該區(qū)域綠化升級改造.設計要求建造三座涼亭供市民休息其中涼亭C位于OA上,且AC=40m，涼亭D位于OB的中點，涼亭E位于弧AB上.（1） 現(xiàn)要在四邊形OCED內種植花卉，其余部分種植草坪，試確定E點的位置，使種植花卉的面積最大；（2） 為了便于市民觀賞花卉，現(xiàn)修建兩條小道EC和ED，其中EC小道鋪設塑膠，造價為每米a元，ED為離開地面高1m的木質棧道，造價為每米2a元，試確定E點的位置，某濕地公園內有一條河，現(xiàn)打算建一座橋(圖1)將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙(圖2)如下：其中，點A,E為x軸上關于原點對稱的兩點，曲線段BCD是橋的主體，C8為橋頂，且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數(shù)的解析式為丫二^^儀日一2,2]),曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點．設計時要求：保持兩曲線在各銜接處(B,D)的切線的斜率相等.求曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式，并寫出定義域；定義車輛在上橋過程中通過某點P所需要的爬坡能力(ClimbingAbility)為Mp=(該點P與橋頂間的水平距離)X(設計圖紙上該點P處的切線的斜率)，其中Mp的單位：米．若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：A引吃山乙引橋EM圖3①游客踏乘；②蓄電池動力；③內燃機動力，它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米，又已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？答案:(1)y=]16(x+6)2(-6<x<-2)；⑵“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋,而“蓄電池動力”和“內燃機動力”的車輛可以順利通過該橋．解析：(1)據(jù)題意，拋物線段AB與x軸相切，且A為拋物線的頂點，設A(a,0)(a<-2)，則拋物線段AB對應函數(shù)的解析式可設為y=Ux—a)2(aWxW—2)@>0),2分8其導函數(shù)為y,=2X(x—a).由曲線段BD的圖象對應函數(shù)的解析式為y=4^2—16x 1(xe[—2,2]),又y'=(4+x2)2,且B(—2,1),所以曲線在B點處的切線斜率為2,

\(—2—a)2=1, "a=—6,因為B點為銜接點，貝H/ 、 1解得｛ 14分〔2入(—2—a)=2，〔入=16所以曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式為y=1j(x+6)2(—6WxW—2).5分⑵設P(x,y)是曲線段AC上任意一點，①若P在曲線段AB上,則通過該點所需要的爬坡能力(Mp)]=(—x)g(x+6)=—8【(x+3)2—9](—6WxW2),6分令y1=—|[(x+3)2—9](—6<x<—2),所以函數(shù)y1=—|[(x+3)2—9]

(—6WxW—2)在區(qū)間［—6,—3］上為增函數(shù)，在區(qū)間［—3,—2］上是減函數(shù),所以［叫)贏=8(米形分—16x②若P在曲線段BC上,貝龐過該點所需要的爬坡能力(Mp)2=(—x).(4+x2)216x216x2(4+x2)2"(―2WxW0),10分?0,4],?0,4],當令t=x2,t￡[0,4],則(Mp)2=(4+t)2,t￡[0,4],記y2=(4+t)2,t=0時，1ZT 1ZTy2=0,而當0<tW4時，y2=^— ,所以當t=4時，t+f"有最小值16,從而y取T+t+8最大值1,此時［(Mp^max^K米)?13分9所以由①，②可知，車輛過橋所需要的最大爬坡能力為■米，14分9答：因為0.8<8<1.5<2,所以“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動力”和“內燃機動力”的車輛可以順利通過該橋.16分例題答案：(1)150；(2)10.解析：(1)如圖，以0為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直4角坐標系xOy.由條件知A(0,60),C(170,0),直線BC的斜率k=—tanZBC0=—.BC 33又因為AB丄BC,所以直線AB的斜率k=4.AB4b－0 4b－603設點B的坐標為(a,b),則*= =—3,k= 0=4?解得a=80,b=120.所BCa－170 3 ABa－04以BC=J(170—80)2+(0+120)2=150.答：新橋BC的長為150m.(2)設保護區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm(0WdW60).4由條件知，直線BC的方程為y=—§(x—170),即4x+3y—680=0.由于圓M與直線BC相切，故點M(0,d)到直線相切，故點M(0,d)到直線BC的距離是r,.因為O和A到圓M即r= 42+T=^上任意一點的距離均不少于80m,所以d：00'd)>80r—(60—d)M80,680—3d< 5即680—3dI5680—3d< 5即680—3dI5—dN80,—(60—d)N80,解得10WdW35.故當d=10時,r=680—3d~5~最大，即圓面積最大.答：當OM=10m時，圓形保護區(qū)的面積最大.變式聯(lián)想變式1答案：(1)冷2邁+2百米；(2)點Q在線段DE上且距離y軸扌百米.解析：(1)設直線OM：y=kx(其中k一定存在)，代入y=x+~,得kx=x+~,化簡為xx(k—1)x2=1.設M(X],y1),則 1，(k>1),所以OM=pxf+y/n^xj+kzx/n■■■；'1+k2fJk—1='Jk—令七=k—1(七>0)，則k—1 2=七+￥+2鼻2-屈+2,

當且僅當t=\運時等號成立，即k=-./2+l時成立.綜上，OM的最短長度為遏+2百米.(2)當直線PQ與邊界曲線相切時，PQ最短.若直線PQ斜率不存在，則直線方程為x=43,不符合題意；若直線PQ斜率存在，設PQ方程為(4、 1 4y=kj—勸，代入y=x+；，化簡得(k—1)x2—§kx—1=0.當k=1時，方程有唯一解x=—4(舍去)，當kH1時，因為直線與曲線相切，所以△=(—3kj+4(k—1)=0,解得k31=—3或k=4(舍去)，此時直線PQ方程為y=—3x+4，令y=5，得x=—3，即點Q在線段DE上且距離y軸*百米.答：當點Q在線段DE上且距離y軸￡百米，通道PQ最短.變式21112答案：(1)y=4x2(0WxW2)；(2)①y=0tx—Rt2；②AF=§.解析：(1)因為邊緣線OM上每一點到點D的距離都等于它到邊AB的距離，所以邊緣線OM是以點D為焦點，直線AB為準線的拋物線的一部分.因為D(0，1)，M(2，1)，所以邊緣線OM的方程為y=4x2(0WxW2).(2)①設切點為p(t,*2)(0VtV2)，則點P處的切線斜率為11.所以直線EF的方程為『_條=瓢_?11即y=2tx—4七2.②點E，F(xiàn)的坐標分別為E（4++tt，J，F(xiàn)^0，—112）所以S因為S因為S'?efW△DEF=0,得t=學(=—誓舍)當tu(0,霜時'S'△DEF>0,所以SeF在(0,呼［上是減函數(shù)’在［學，2)上答：取AF=3時，沿直線EF畫線段切割，可使截去的ADEF的面積最小.說明：很多實際問題都與曲線有關（如直線、圓、拋物線以及由函數(shù)關系給出的曲線），通常的處理方法是仔細審題，明確解題方向，根據(jù)題意，結合所給圖形的結構特征，建立直角坐標系，把要解決的問題放在坐標平面上使之與有關曲線相聯(lián)系，根據(jù)相關等量關系建立數(shù)學模型（函數(shù)模型、不等式模型等），運用解析幾何的基本知識、思想和方法予以解決，此類問題通常涉及確定最優(yōu)解的點的位置，如例題和變式題就是這樣的問題.串講激活串講1 答案：（1）2-Jt2—18t+l29（0VtV8）； _（2）滿足題意的P點距河岸5km,距小區(qū)M到河岸的垂線5叮3km,此時污水處理站到小區(qū)M和N的水管長度分別為10km和6km.解析：（1）如圖，以河岸l所在直線為x軸，以過M垂直于l的直線為y軸建立直角坐標系，則可得點M（0,10），點N（8\：?,8）.:02.IJ河 *設點P(s,t),過P作平行于x軸的直線m,作N關于m的對稱點N,則N(8^3,2t—8).則PM+PN=PM+PN'MMN'hJ(83-0)2+(121-8-10)2=2\；t2-18t+129(0VtV8)即為所求.(2)設三段水管總長為L,則由(1)知L=PM+PN+PQMMN+PQ=t+2叮12-18t+129(0VtV8)，所以(L-t)2=4(t2-181+129)，即方程3t2+(2L-72)t+(516-L2)=0在t￡(0,8)上有解.故△=(2L-72)2-12(516-L2)M0,即L2-18L-63N0,解得LM21或LW-3,所以L的最小值為21,此時對應的t=5￡(0,8).故N(8\；3J3 廠2),MN'方程為y=10—，令y=5得x=5\3即P(5^3,5).從而PM=\：(5\甬)2+(5-10)2=10,PN=\；‘（5J3-81鳶）2+（5-8）2=6.答：滿足題意的P點距河岸5km,距小區(qū)M到河岸的垂線5展km,此時污水處理站到小區(qū)M和N的水管長度分別為10km和6km.串講2答案：（1）3m；（2）J?m.解析：建立如圖所示的直角坐標系,設拋物線的方程為x2=2py(p>0),由已知點P(2,2)在拋物線上，得p=1,所以拋物線的方程為y=*x2.為了使填入的土最少，內接等腰梯形的面積要最大，如圖1,設點A(t,1t2)(0VtV2)，則此時梯形APQB的面積S(t)=1(21+4)?(2一討=一113—1?+2t+4,?：S，(t)3 3 2 ( 2、=_尹_21+2,令S，(t)=一尹一2t+2=0,得t=3，當tG(O,3)時,S，(t)>0,S(t)單調遞增，當t諸，2)時，S，(t)<0,S(t)單調遞減，所以當t=3時，S(t)有最大值器4答：改挖后的水渠的底寬為3m時，可使填土的土