2021-2022學(xué)年山西省晉城市高平原村中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省晉城市高平原村中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a、b、c、d成等比數(shù)列，且曲線(xiàn)y=x2﹣4x+7的頂點(diǎn)是（b，c），則ad等于（）A．5 B．6 C．7 D．12參考答案：B【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】把拋物線(xiàn)的方程配方得到頂點(diǎn)式方程，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得到b和c的值，又a，b，c，d成等比數(shù)列，得到ad=bc=6．【解答】解：把曲線(xiàn)方程y=x2﹣4x+7配方得：y=（x﹣2）2+3，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），即b=2，c=3，由a，b，c，d成等比數(shù)列，則ad=bc=6，故選B．2.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么以為概率的事件是（）A．都不是一等品 B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品 D．至多一件一等品參考答案：D【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】從5件產(chǎn)品中任取2件，有C52種結(jié)果，通過(guò)所給的條件可以做出都不是一等品有1種結(jié)果，恰有一件一等品有C31C21種結(jié)果，至少有一件一等品有C31C21+C32種結(jié)果，至多有一件一等品有C31C21+1種結(jié)果，做比值得到概率．【解答】解：5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，從5件產(chǎn)品中任取2件，有C52=10種結(jié)果，∵都不是一等品有1種結(jié)果，概率是，恰有一件一等品有C31C21種結(jié)果，概率是，至少有一件一等品有C31C21+C32種結(jié)果，概率是，至多有一件一等品有C31C21+1種結(jié)果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型，是一個(gè)由概率來(lái)對(duì)應(yīng)事件的問(wèn)題，需要把選項(xiàng)中的所有事件都作出概率，解題過(guò)程比較麻煩．3.在腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形內(nèi)任取一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到此三角形的直角頂點(diǎn)的距離不大于1的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.若不論為何值，直線(xiàn)與曲線(xiàn)總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且在x=±1處的切線(xiàn)斜率均為﹣1，有以下命題：①f（x）的解析式為：f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；

③f（x）的最大值與最小值之和等于零，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)榍€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，所以c=0，因?yàn)樵趚=±1處的切線(xiàn)斜率均為﹣1，所以函數(shù)在x=±1處的導(dǎo)數(shù)等于﹣1，再利用導(dǎo)數(shù)等于0求極值點(diǎn)，以及函數(shù)的最大值與最小值，逐一判斷三個(gè)命題即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，∴c=0對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得，f′（x）=3x2+2ax+b，∵在x=±1處的切線(xiàn)斜率均為﹣1，∴f′（1）=1，f′（﹣1）=1，即，3+2a+b=﹣1，3﹣2a+b=﹣1解得a=0，b=﹣4∴（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]，①正確．f′（x）=3x2﹣4，令f′（x）=0，得，x=，∴f（x）的極值點(diǎn)有兩個(gè)，②錯(cuò)誤f（﹣2）=0，f（﹣）=，f（）=﹣，f（2）=0∴f（x）的最大值為，最小值為﹣，最大值與最小值之和等于零．③正確．故選B6.將八位數(shù)135（8）化為二進(jìn)制數(shù)為（）Ａ1110101（2）Ｂ1010101（2）Ｃ1011101（2）Ｄ1111001（2）參考答案：C略7.若直線(xiàn)：與：互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）

A.或6

B.或

C.

D.3或6參考答案：A略8.某校有40個(gè)班，每班55人，每班選派3人參加“學(xué)代會(huì)”，這個(gè)問(wèn)題中樣本容量是（）A．40 B．50 C．120 D．155參考答案：C【考點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法．【分析】由題意，第班抽三人，四十個(gè)班共抽取120人，由此知樣本容量即為120，選出正確選項(xiàng)即可【解答】解：由題意，是一個(gè)分層抽樣，每個(gè)班中抽三人，總共是40個(gè)班，故共抽取120人組成樣本所以，樣本容量是120人．故選C9.設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P（﹣1，2），且與x軸交于M（m，0），N（n，0）兩點(diǎn)，則mn=（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2參考答案：C【考點(diǎn)】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系．【分析】設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=ty+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及拋物線(xiàn)的性質(zhì)，求得圓心坐標(biāo)，由以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P（﹣1，2）代入即可求得t的值，求得橢圓方程，當(dāng)y=0時(shí)，即可求得m和n的值，即可求得mn．【解答】解：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=﹣1…．設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=ty+1，A、B的坐標(biāo)分別為（，y1），（，y2）由，y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，x1+x2=ty1+1+ty2+1=t（y1+y2）+2=4t2+2，=2t2+1，=2t，則圓心D（2t2+1，2t），由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知：丨AB丨=x1+x2+p=4（t2+1），由P到圓心的距離d=，由題意可知：d=丨AB丨，解得：t=1，則圓心為（3，2），半徑為4，∴圓的方程方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=42，則當(dāng)y=0，求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)m＞n，則m=3﹣2，n=3+2，∴mn=（3﹣2）（3+2）=﹣3，故選：C．10.（

）A.π B.2π C.2 D.1參考答案：A【分析】根據(jù)定積分表示直線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成的圖像面積，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎ǚe分表示直線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成的圖像面積，又表示圓的一半，其中；因此定積分表示圓的，其中，故.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，熟記定積分幾何意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以下三個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若｜PA｜－｜PB｜＝K，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)。②方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率③雙曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn)。④已知拋物線(xiàn)y2=2px,以過(guò)焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切其中真命題為

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）.參考答案：②③④12.已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為_(kāi)_______．參考答案：13.某公司有大量客戶(hù)，且不同年齡段客戶(hù)對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異．為了解客戶(hù)的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．參考答案：分層抽樣14.已知向量，，其中.若，則的最小值為

.參考答案：15.如圖，已知矩形ABCD中，，現(xiàn)沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，連接BD，得到三棱錐B-ACD，則其外接球的體積為

．參考答案：16.設(shè)f（x）=，則f（）+（）+f（）+…+f（）=_________．參考答案：17.在區(qū)間中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是______________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）四棱錐中，面,為菱形，且有，,∠,為中點(diǎn).（1）證明：面；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：解：（1）∵為菱形，∴設(shè)為的中心，連結(jié),則有∥又∵面，∴,∴∴垂直于面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)∴

(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，則有

設(shè)分別是面ABE和面ABC的法向量由解得，同理可得

所以二面角的平面角的余弦值為.

略19.(本題滿(mǎn)分14分）如圖，正三棱錐ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a，M是A1B1的中點(diǎn)．（I）求證：是平面ABB1A1的一個(gè)法向量；（II）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角．參考答案：（1）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC為平面，

方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（０，０，０），B（a，０，０），B1（a，０，a），M（，０，a），C1（，，a）。所以

?！?分因?yàn)?/p>

所以，，從而平面ABB1A1.故是平面的一個(gè)法向量.

……9分（II）。因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以，即.

………

13分故與側(cè)面所成的角為.

……14分略20.（14分）如圖，拋物線(xiàn)：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為、、.⑴求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程；⑵經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程．參考答案：⑴由解得、、…………3分所以，，從而…………5分，橢圓的方程為…………6分⑵依題意設(shè)：…………7分，由得…………8分依題意得…………11分，解得…………13分所以，直線(xiàn)的方程是或…………14分21.已知拋物線(xiàn)C2：（）的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦）長(zhǎng)為4，橢圓C1：（）的離心率為，且過(guò)拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)C2和橢圓C1的方程；（2）過(guò)定點(diǎn)引直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C2于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），分別過(guò)A、B作拋物線(xiàn)C2的切線(xiàn)，，且與橢圓C1相交于P、Q兩點(diǎn)，記此時(shí)兩切線(xiàn)，的交點(diǎn)為D.①求點(diǎn)D的軌跡方程；②設(shè)點(diǎn)，求的面積的最大值，并求出此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：解：（1）∵拋物線(xiàn)的通徑長(zhǎng)為∴，得∴拋物線(xiàn)的方程為∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在橢圓上∴，得∵橢圓的離心率為∴∴橢圓的方程為（2）設(shè)，其中，，∵點(diǎn)、、三點(diǎn)共線(xiàn)∴∴（*）設(shè)切線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去，得，由，可得即同理可得，切線(xiàn)的方程為聯(lián)立兩方程解得，點(diǎn)坐標(biāo)為①設(shè)點(diǎn)，則，代入（*）式得，點(diǎn)的軌跡方程為：②由切線(xiàn)和橢圓方程，消去得：∴，∴∵點(diǎn)到切線(xiàn)的距離為∴的面積為∴當(dāng)，時(shí)，有最大值為此時(shí)，由（*）可得∴點(diǎn)坐標(biāo)為

22.（本題滿(mǎn)分15分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，（Ⅰ）求角的取值范圍；（Ⅱ）若的面積，為鈍角，求角的大?。畢⒖即鸢福海á瘢┯傻眉匆?yàn)樗?/p>

……………3分由正弦定理，得故必為銳角。

……………4分又,所以

……………6分因此角的取值范圍為