2021-2022學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市錫中學(xué)校高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市錫中學(xué)校高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，則（?UB）∩A=（） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）參考答案：D【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【分析】根據(jù)題意，先求出集合A，B，進(jìn)而求出B的補(bǔ)集，進(jìn)而根據(jù)交集的定義，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]， B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， ∴CUB=（﹣1，3）， ∴（CUB）∩A=（0，3）， 故選：D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合混合運(yùn)算，注意運(yùn)算的順序，其次要理解集合交、并、補(bǔ)的含義．2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，則集合（?ZA）∩B的子集個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】運(yùn)用二次不等式的解法和補(bǔ)集的定義，化簡(jiǎn)集合?ZA，再由交集的定義和集合子集的個(gè)數(shù)（n個(gè)元素的集合的子集為2n），即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，?ZA={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x＞0}，則集合（?ZA）∩B={1，2，3}，可得集合（?ZA）∩B的子集個(gè)數(shù)為23=8，故選：D．3.已知向量=(－2,1)，=(－1,3)，則(

)A．∥

B．⊥

C.∥(－)

D．⊥(－)參考答案：D4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A由,得，所以，所以，又，選A.5.如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象為折線ABC，設(shè)g(x)＝f[f(x)]，則函數(shù)y＝g(x)的圖象為

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.函數(shù)f（x）=（x∈[1，3]）的值域?yàn)椋ǎ〢．[2，3]B．[2，5]C．D．參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；基本不等式．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：變形可得函數(shù)f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增，可得函數(shù)的最值，進(jìn)而可得答案．解答：解：變形可得函數(shù)f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=1﹣，令1﹣＞0，可得x＞2，故可得函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增，故函數(shù)（x）的最小值為f（2）=2，最大值為f（1）或f（3）中的一個(gè)，可得f（1）=3，f（3）=，故最大值為f（1）=3，故函原數(shù)的值域?yàn)閇2，3]故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，涉及導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬中檔題．7.直線的法向量是，若，則直線的傾斜角為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知函數(shù)f（x）＝lnx＋tan（∈（0，））的導(dǎo)函數(shù)為，若使得＝成立的＜1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．（，）

B．（0，）

C．（，）

D．（0，）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．L4

【答案解析】A

解析：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=lnx0+tanα，∴tanα=﹣lnx0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1，∴α∈（，）．故選：A．【思路點(diǎn)撥】由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=lnx0+tanα，即tanα=﹣lnx0，由0＜x0＜1，可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1，即可得出．9.下列命題中是假命題的是

（

）A．B．

C．是冪函數(shù)，且在（0，+）上遞減D．，函數(shù)都不是偶函數(shù)參考答案：D10.已知一個(gè)幾何體的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示,則該幾何體的體積為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線和，則∥的充要條件是=

．參考答案：3因?yàn)榈男苯厥椒匠虨?，斜率存在為，所以直線的斜率也存在所以，即，所以要使∥，則有，解得或且，所以。12.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝2a，b＝3，cosC，則a＝_____．參考答案：2【分析】由已知利用余弦定理即可求解a的值．【詳解】∵c＝2a，b＝3，cosC，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得（2a）2＝a2+9﹣2×a×3×（），即2a2﹣a﹣6＝0，∴解得a＝2，或（舍去）．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．13.函數(shù)，其定義域?yàn)?/p>

。參考答案：答案：

14.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為_(kāi)__________________.參考答案：由題意可知，所以。因?yàn)椋?，所以。即，即，即，解得，所以橢圓的離心率為。15.若正三棱柱ABC-A1BlC1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是底邊A1C1的中點(diǎn).則直線AD與平面所成角的正弦值為_(kāi)________參考答案：16.下圖是某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是_____。參考答案：略17.定義平面中沒(méi)有角度大于180°的四邊形為凸四邊形，在平面凸四邊形ABCD中，，，，，設(shè)CD=t，則t的取值范圍是______________.參考答案：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcosA=2．∴DB=，即△ABD為等腰直角三角形，角ABD為九十度．∴角DBC為三十度，所以點(diǎn)C在射線BT上運(yùn)動(dòng)（如圖），要使ABCD為平面四邊形ABCD，當(dāng)DC⊥BT時(shí)，CD最短，為，當(dāng)A，D，C共線時(shí)，如圖，在△ABC2中，由正弦定理可得解得∴設(shè)CD=t，則t的取值范圍是.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】49：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，由f（1）﹣f（2）=，解得a的值，綜合可得結(jié)論．【解答】解：由題意可得，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．綜上可得，a=，或a=．19.（本小題滿分12分）已知橢圓C:的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線l過(guò)B點(diǎn)且與x軸垂直，如圖.(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)設(shè)G是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，GH丄x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HG到點(diǎn)Q使得HG=GQ,連接AQ并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M,點(diǎn)N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案：解：（Ⅰ）由題可得：e=．∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+=0相切，∴=b，解得b=1．再由a2=b2+c2，可解得：a=2．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：．……………ks5u…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直線l的方程為：x=2．設(shè)G(x0，y0)(y0≠0)，于是Q(x0，2y0)，且有，即4y02=4-x02．∴直線AQ的方程為：，由

解得：即，∴．∴直線QN的斜率為：，∴直線QN的方程為：即∴點(diǎn)O到直線QN的距離為∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切．

……………12分20.（14分）已知數(shù)列，滿足數(shù)列的前項(xiàng)和為，（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求證：當(dāng)時(shí)，．參考答案：解析：

（Ⅰ）由得，代入整理得:,從而有，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即

…（4分）（Ⅱ）

…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

…（14分）21.（本小題滿分12分）函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)）.（Ⅰ）若在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，.參考答案：（I）；（II）證明見(jiàn)解析.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，由已知，所以，?所以，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，又在上存在極值，所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（Ⅱ）等價(jià)于.令，則，再令，則，因?yàn)椋?，所以在上是增函?shù)，所以，所以，所以在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，故.令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以在上是減函數(shù).所以時(shí)，，所以，即.考點(diǎn)：1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；2.不等式的證明.【方法點(diǎn)晴】利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口.利用導(dǎo)數(shù)解不等式的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而解不等式.22.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣x+a．（Ⅰ）求f（x）的極值；（Ⅱ）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，只需討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值點(diǎn)，求出極值．（2）曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）極大值＜0或f（x）極小值＞0即可．【解答】解：（1）令f'（x）=3x2﹣2x﹣1=