高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理單元測試 第一章章末復(fù)習(xí)

章末復(fù)習(xí)1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類加法計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)，用分類的方法可以有效的將之分解，達(dá)到求解的目的．正確地分類與分步是用好兩個(gè)原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，這是選用計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵．2．排列與組合排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式，在證明恒等式時(shí)，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡的原則，有時(shí)也會從兩邊向中間靠攏．對于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，即是排列問題還是組合問題．3．二項(xiàng)式定理(1)與二項(xiàng)式定理有關(guān)：包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、證明一些簡單的組合恒等式等，此時(shí)主要是要構(gòu)造二項(xiàng)式，合理應(yīng)用展開式；(2)與通項(xiàng)公式有關(guān)：主要是求特定項(xiàng)，比如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、x的某次冪等，此時(shí)要特別注意二項(xiàng)式展開式中第k＋1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0，1，…n)，其二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)，而不是Ceq\o\al(k＋1,n)，這是一個(gè)極易錯(cuò)點(diǎn)．題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用基本計(jì)數(shù)原理提供了“完成某件事情”是“分類”進(jìn)行，還是“分步”進(jìn)行．在分類或分步中，針對具體問題考慮是與“順序”有關(guān)，還是無關(guān)，來確定排列與組合．例1在∠AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共m＋n＋1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有()A．Ceq\o\al(1,m＋1)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n＋1)Ceq\o\al(2,m)B．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)C．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n)D．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n＋1)＋Ceq\o\al(2,m＋1)Ceq\o\al(1,n)答案C解析法一第一類：從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與從OB邊上(不包括O)任取兩點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)個(gè)；第二類：從OA邊上(不包括O)任取兩點(diǎn)與OB邊上(不包括O)任取一點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有Ceq\o\al(2,m)Ceq\o\al(1,n)個(gè)；第三類：從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與OB邊上(不包括O)任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n)個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理共有N＝(Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(2,m)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n))個(gè)三角形．法二從m＋n＋1中任取三點(diǎn)共有Ceq\o\al(3,m＋n＋1)種情況，其中三點(diǎn)均在射線OA上(包括O點(diǎn))，有Ceq\o\al(3,m＋1)個(gè)，三點(diǎn)均在射線OB上(包括O點(diǎn))，有Ceq\o\al(3,n＋1)個(gè)．所以，三角形的個(gè)數(shù)為N＝Ceq\o\al(3,m＋n＋1)－Ceq\o\al(3,m＋1)－Ceq\o\al(3,n＋1).跟蹤演練1現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．144種B．72種C．64種D．84種答案D解析根據(jù)所用顏色的種數(shù)分類第一類：用4種顏色涂，有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(種)．第二類：用3種顏色，必須有一條對角區(qū)域涂同色：有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝48(種)．第三類：用2種顏色，對角區(qū)域各涂一色有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12(種)．共有24＋48＋12＝84(種)．題型二排列與組合應(yīng)用題在解決一個(gè)實(shí)際問題的過程中，常常遇到排列、組合的綜合性問題，而解決問題的第一步是審題，只有認(rèn)真審題，才能把握問題的實(shí)質(zhì)，分清是排列問題、組合問題，還是綜合問題，分清分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)和方式，并且要遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．解決排列組合應(yīng)用題的常用方法：(1)合理分類，準(zhǔn)確分步；(2)特殊優(yōu)先，一般在后；(3)先取后排，間接排除；(4)相鄰捆綁，間隔插空；(5)抽象問題，構(gòu)造模型；(6)均分除序，定序除序．例2用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字2，3相鄰的偶數(shù)有________個(gè)(用數(shù)字作答)．答案18解析數(shù)字2和3相鄰的偶數(shù)有兩種情況．第一種情況，當(dāng)數(shù)字2在個(gè)位上時(shí)，則3必定在十位上，此時(shí)這樣的五位數(shù)共有Aeq\o\al(3,3)＝6(個(gè))；第二種情況，當(dāng)數(shù)字4在個(gè)位上時(shí)，且2，3必須相鄰，此時(shí)滿足要求的五位數(shù)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(個(gè))，則一共有6＋12＝18(個(gè))．跟蹤演練2停車場一排有12個(gè)空位，如今要停放7輛不同的車，要求恰好有4個(gè)空位連在一起，求共有多少種停法？解將4個(gè)連在一起的空位看成一個(gè)整體，由于另一個(gè)空位不能與這個(gè)整體相連，則可把這兩個(gè)元素插在7輛車之間，共有Aeq\o\al(2,8)種方法；而7輛車共有Aeq\o\al(7,7)種排法，因此共有Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(7,7)＝282240(種)不同停法．題型三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用對于二項(xiàng)式定理的考查常有兩類問題：第一類，直接運(yùn)用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)或解決與系數(shù)有關(guān)的問題；第二類，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)式定理來處理的問題．例3(1)已知(x2－eq\f(i,\r(x)))n的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為－eq\f(3,14)，其中i2＝－1，則展開式中系數(shù)為實(shí)數(shù)且最大的項(xiàng)為()A．第3項(xiàng)B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng)D．第5項(xiàng)或第6項(xiàng)答案C解析T3＝－Ceq\o\al(2,n)x2n－5，T5＝Ceq\o\al(4,n)x2n－10.由－Ceq\o\al(2,n)∶Ceq\o\al(4,n)＝－eq\f(3,14)，得n2－5n－50＝0，∴n＝10，又Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(－i)rx20－eq\f(5,2)r，據(jù)此可知當(dāng)r＝0，2，4，6，8，10時(shí)其系數(shù)為實(shí)數(shù)，且當(dāng)r＝4時(shí)，Ceq\o\al(4,10)＝210最大．(2)已知x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，則a9的值為________．答案－10解析法一所給等式即[1－(x＋1)]2＋[1－(x＋1)]10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，而“(x＋1)9”只能從[1－(x＋1)]10中產(chǎn)生，根據(jù)二項(xiàng)式定理，a9＝－Ceq\o\al(9,10)＝－Ceq\o\al(1,10)＝－10.法二因?yàn)閍9與x9項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，等式左邊x9項(xiàng)的系數(shù)為0，所以等式右邊x9項(xiàng)的系數(shù)也為0.因?yàn)閤10的系數(shù)為a10＝Ceq\o\al(0,10)＝1，x9的系數(shù)為a9·Ceq\o\al(0,9)＋a10·Ceq\o\al(1,10)＝a9＋10＝0，所以a9＝－10.跟蹤演練3(1)(x－1)9按x降冪排列的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第4項(xiàng)和第5項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)D．第6項(xiàng)答案B解析根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，(x－1)9的展開式中的中間兩項(xiàng)即第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，但第6項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以只有第5項(xiàng)的系數(shù)最大．(2)已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值為________．答案511解析法一因?yàn)?x＋2)9＝[1＋(x＋1)]9＝Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)(x＋1)＋Ceq\o\al(2,9)(x＋1)2＋…＋Ceq\o\al(9,9)(x＋1)9，所以a0＝Ceq\o\al(0,9)＝1，a1＝Ceq\o\al(1,9)，a2＝Ceq\o\al(2,9)，…，a9＝Ceq\o\al(9,9).因此|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a1＋a2＋…＋a9＝Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(3,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29－1＝511.法二由(x＋2)9＝[1＋(x＋1)]9＝Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)(x＋1)＋Ceq\o\al(2,9)(x＋1)2＋…＋Ceq\o\al(9,9)(x＋1)9知，a1，a2，a3，…，a9均為正，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a1＋a2＋…＋a9.因此，在已知等式中令x＝0，得a0＋a1＋