2021-2022學(xué)年湖南省株洲市雷打石中學(xué) 高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省株洲市雷打石中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是兩個全等的正方形，則這個幾何體的俯視圖不可能是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識點(diǎn)】三視圖G2C解析：由題意可得，A是正方體，B是三棱柱，C是半個圓柱，D是圓柱，C不能滿足正視圖和側(cè)視圖是兩個全等的正方形，故選C.【思路點(diǎn)撥】由三視圖的基本概念即可判斷.2.不等式|2x+3|＜1的解集為（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【分析】由不等式|2x+3|＜1可得﹣1＜2x+3＜1，由此解的不等式|2x+3|＜1的解集．【解答】解：由不等式|2x+3|＜1可得﹣1＜2x+3＜1，解得﹣2＜x＜﹣1，故解集為{x|﹣2＜x＜﹣1}，故選：A．3.如右圖，I表示南北方向的公路，A地在公路的正東2km處，B地在A地北偏東6°方向處，河流沿岸PQ（曲線）上任一點(diǎn)到公路I和到A地距離相等，現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建一座碼頭，向A，B兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，經(jīng)測算從M到A，B修建公路的費(fèi)用均為a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（單位萬元）

（

）

A．

B．

C．5a

D．4a參考答案：C略4.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，且時，恒成立，則的最小值是A．

B．

C．

D．參考答案：D5.函數(shù)（）的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則的增區(qū)間（

）A．

B．C．

D．參考答案：C6.一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則它在離三個頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．參考答案：A滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：其中正三角形ABC的面積S三角形=×16=4，滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離至少有一個小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則S陰影=2π，則使取到的點(diǎn)到三個頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故選：A．

7.函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C．2π

D．4π參考答案：B8.已知實數(shù)x，y滿足，則z=2x+y的最大值為(

) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．4參考答案：D考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先畫出滿足條件的平面區(qū)域，將z=2x+y轉(zhuǎn)化為：y=﹣2x+z，由圖象得：y=﹣2x+z過（1，2）時，z最大，代入求出即可．解答： 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，將z=2x+y轉(zhuǎn)化為：y=﹣2x+z，由圖象得：y=﹣2x+z過（1，2）時，z最大，Z最大值=4，故選：D．點(diǎn)評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．9.在等差數(shù)列中，有，則此數(shù)列的前13項之和為（

）A．

24

B．

39

C．

52

D．

104-參考答案：C10.曲線的長度為

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓C1：+=1（a＞0，b＞0），雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程x±y=0，則C1與C2的離心率之積為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的漸近線推出a、b關(guān)系式，然后求解橢圓以及雙曲線的離心率，即可得到結(jié)果．【解答】解：雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程x±y=0，可得：，即，∴雙曲線的離心率為：e=，橢圓中，∴，可得橢圓的離心率為：e=，則C1與C2的離心率之積：=．故答案為：．12.已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B?A，則實數(shù)m=

．參考答案：1【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，若B?A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合題意，舍去，解可得答案，注意最后進(jìn)行集合元素互異性的驗證．【解答】解：由B?A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．驗證可得符合集合元素的互異性，此時B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B?A滿足題意．故答案為：1【點(diǎn)評】本題考查元素的互異性即集合間的關(guān)系，注意解題時要驗證互異性，屬于基礎(chǔ)題．13.已知函數(shù).對函數(shù)，定義關(guān)于的“對稱函數(shù)”為，滿足：對任意，兩個點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱.若是關(guān)于的“對稱函數(shù)”，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：14.如圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動員2012年賽季每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是．參考答案：54【考點(diǎn)】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】由莖葉圖得到甲乙運(yùn)動員的得分?jǐn)?shù)據(jù)，由小到大排列后得到兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和可求．【解答】解：由莖葉圖得到甲運(yùn)動員的得分?jǐn)?shù)據(jù)為：17，22，28，34，35，36．由莖葉圖得到乙運(yùn)動員的得分?jǐn)?shù)據(jù)為：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲運(yùn)動員得分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)是．乙運(yùn)動員得分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)是23．所以甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是54．故答案為54．15.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則俯視圖的面積為

▲

cm2，該幾何體的體積為

▲

cm3．參考答案：6，8； 16.若α∈（0，），且cos2α=sin（α+），則tanα=．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值；二倍角的余弦．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出tanα的值．【解答】解：，且，∴cos2α﹣sin2α=sin（α+），∴（cosα+cosα）（cosα﹣sinα）=?（sinα+cosα），∴cosα﹣sinα=，兩邊平方，得sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=，∴sinαcosα=，∴==，整理得3tan2α﹣10tanα+3=0，解得tanα=或tanα=3，cosα＞sinα，∴tanα＜1，∴tanα=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，是基礎(chǔ)題．17.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度：），俯視圖中圓與四邊形相切，且該幾何體的體積為，則該幾何體的高為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線L交于點(diǎn)A,B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，），求∣PA∣+∣PB∣.參考答案：解法二：19.（2017?長春三模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E為棱PD中點(diǎn)．（1）求證：PD⊥平面ABE；（2）若F為AB中點(diǎn)，，試確定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（I）證明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可證明PD⊥平面ABE．（II）以A為原點(diǎn)，以為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣BDP，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：（I）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD為矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E為PD中點(diǎn)，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A為原點(diǎn)，以為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣BDP，令|AB|=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）設(shè)平面PFM的法向量，，即，設(shè)平面BFM的法向量，，即，，解得．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．20.已知函數(shù)．（I）求函數(shù)f（x）的周期和最小值；（II）在銳角△ABC中，若f（A）=1，，，求△ABC的面積．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：將函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，后兩項提取，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，（I）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小值正周期；由正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最小值；（II）由第一問確定的函數(shù)解析式及f（A）=1，得到關(guān)系式，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡而?=，得到||?||的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．解答：解：f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T==π；∵﹣1≤sin（2x+）≤1，即﹣2≤2sin（2x+）≤2，∴f（x）的最小值為﹣2；（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴2A+=，即A=，而?=||?||cosA=，∴||?||=2，則S△ABC=||?||sinA=．點(diǎn)評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域與值域，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．21.（本題14分）已知函數(shù)，其中（Ⅰ）若函數(shù)、存在相同的零點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）若存在兩個正整數(shù)、，當(dāng)時，有與同時成立，求的最大值及取最大值時的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）=，，經(jīng)檢驗上述的值均符合題意，所以的值為

……5分

（Ⅱ）令則，為正整數(shù)，，

……6分記，令的解集為，則由題意得區(qū)間.

……7分①當(dāng)時，因為，故只能，即或，又因為，故，此時.又Z，所以.