2021-2022學(xué)年湖南省永州市舂陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省永州市舂陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合等于A. B.C. D.參考答案：C2.已知函數(shù)（）的部分圖像如圖所示，則的圖象可由的圖象.向右平移個長度單位

.向左平移個長度單位.向右平移個長度單位

.向左平移個長度單位參考答案：A試題分析：根據(jù)題中所給的圖像，可知，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)圖像的平移.3.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.關(guān)于兩條不同的直線、與兩個不同的平面、,下列命題正確的是A．m//,n//且//,則m//n

B．m^,n^且^,則m//nC．m^,n//且//,則m^n

D．m//,n^且^,則m//n參考答案：C略5.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為+=1（a＞b＞0），短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根據(jù)三角形面積相等求得a和c的關(guān)系，由e=，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由橢圓的性質(zhì)可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，SABC=AB?OC=?2c?b=bc，SABC=（a+a+2c）?r=?（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案選：C．6.函數(shù)的示意圖是（

）參考答案：C7.在中，，，已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B8.（多選題）如圖所示的曲線圖是2020年1月25日至2020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的曲線圖，則下列判斷正確的是（

）A.1月31日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例中西安市占比超過了B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例都呈遞增趨勢C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的增長率大于2月6日到2月8日的增長率參考答案：ABC【分析】根據(jù)曲線圖可得ABC正確，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了，D說法不正確.【詳解】1月31日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例為，故A正確；由曲線圖可知，1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例都呈遞增趨勢，故B正確；2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了例，故C正確；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了，顯然，故D錯誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】此題考查曲線圖，根據(jù)圖象特征判斷選項(xiàng)說法是否正確，關(guān)鍵在于識圖，弄清圖中的數(shù)據(jù)變化.9.集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈R|x2≤9},則P∩M

=(

)A.{1,2}

B.{0,1,2}

C.{x|0≤x<3}

D.{x|0≤x≤3}參考答案：B10.已知函數(shù)f（x）=+b+6，其中，a，b為常數(shù)，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，則f（lglg2）的值為(

) A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4參考答案：B考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：函數(shù)f（x）=+b+6，可得f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵函數(shù)f（x）=+b+6，∴f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，而lg（log210）+lg（lg2）==0，∴f（lglog210）+f（lglg2）=12，∴f（lglg2）=12﹣8=4．故選：B．點(diǎn)評：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)=x的圖象過點(diǎn)(4,2)，令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=

參考答案：12.已知對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.參考答案：13.已知α是銳角，且cos（α+）=，則cos（α﹣）=．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求sin（α﹣）=，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式計(jì)算可解．【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（α﹣）=，∵α是銳角，α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）===．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14.

．參考答案：15.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如圖所示。（I）直方圖中的值為

；（II）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為

。參考答案：（I）0.0044（II）70略16.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)滿足，，且，則_____________。參考答案：13【分析】作出函數(shù)的圖象，將、、、轉(zhuǎn)化為直線與曲線的四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用進(jìn)行去絕對值得出的值，由曲線的對稱軸得出的值，再將兩個數(shù)值相加可得出答案。【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于，則、、、可視為直線與曲線有四個交點(diǎn)時，四個公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)。由圖象可知，，由于，則，，所以，，即，得，由圖象知，曲線的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，因此，，故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查零點(diǎn)的積與和的問題，在求零點(diǎn)積的時候，充分利用絕對值與對數(shù)的運(yùn)算法則，采用去絕對值的辦法和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；在求零點(diǎn)和的時候，需要考查相應(yīng)函數(shù)的對稱性，借助對稱性來解題。17.已知m>0,n>0,向量，且，則的最小值是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù),,以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為若圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，求的值.參考答案：因?yàn)閳A的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），消去參數(shù)得，，所以圓心，半徑為，……3分因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，化為普通方程為，………6分圓心到直線的距離為，……8分又因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的最大距離為3，即，所以．…10分略19.某工廠有一批貨物由海上從甲地運(yùn)往乙地，已知輪船的最大航行速度為海里/小時，甲地至乙地之間的海上航行距離為海里，每小時的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其它費(fèi)用組成，輪船每小時的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比，比例系數(shù)為，其余費(fèi)用為每小時元．（）把全程運(yùn)輸成本（元）表示為速度（海里/小時）的函數(shù)．（）為使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？參考答案：見解析（）∵速度為海里/小時，航行時間為小時，總?cè)剂腺M(fèi)為元，其余費(fèi)用為元，∴．（）∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，即輪船以海里/小時速度行駛時，全程運(yùn)輸成本最?。?0.（12分）已知橢圓C：+y2=1與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)M、N為橢圓C上相異的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，且直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù)．（1）證明：直線MN的斜率為定值；（2）求△MBN面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)直線AM的方程為y=k（x﹣1），直線BN的方程為y=﹣kx+1，分別與橢圓C聯(lián)立方程組，分別求出M點(diǎn)坐標(biāo)、N點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出直線MN的斜率．（2）設(shè)直線MN的方程為y=，（﹣1＜b＜1），記A，B到直線MN的距離分別為dA，dB，求出dA+dB=，聯(lián)立方程組，得x2+2bx+2b2﹣2=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式能求出S△MBN的取值范圍．【解答】證明：（1）∵直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù)，∴設(shè)直線AM的方程為y=k（x﹣1），直線BN的方程為y=﹣kx+1，聯(lián)立方程組，解得M點(diǎn)坐標(biāo)為M（），聯(lián)立方程組，解得N點(diǎn)坐標(biāo)為N（），∴直線MN的斜率kMN==．解：（2）設(shè)直線MN的方程為y=，（﹣1＜b＜1），記A，B到直線MN的距離分別為dA，dB，則dA+dB=+=，聯(lián)立方程組，得x2+2bx+2b2﹣2=0，∴，|MN|=|xM﹣xN|=，S△MBN=S△AMN+S△BMN=|MN|?dA+|MN|?dB=|MN|（dA+dB）=2，∵﹣1＜b＜1，∴S△MBN∈（2，2]．【點(diǎn)評】本題考查直線斜率為定值的證明，考查三角形面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用．21.在四棱錐P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)．（1）求證：CD⊥平面PBD；（2）若直線EB與平面ABCD所成角的正切值為，試求三棱錐P﹣ABD的外接球的體積．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LG：球的體積和表面積；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中點(diǎn)F，連接DF，在梯形ABCD中，可得CD==2，由BC2=BD2+CD2，得CD⊥BD，又PB⊥平面ABCD，得PB⊥CD，即可得CD⊥平面PBD；（Ⅱ）由直線EB與平面ABCD所成角的正切值，設(shè)三棱錐P﹣BAD的外接球半徑為R，可得（2R）2=PB2+AB2+AD2，得R，利用球的體積公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）如圖，取BC中點(diǎn)F，連接DF，在梯形ABCD中，∵AB=AD=2，BC=4，可得CD==2，則BC2=BD2+CD2，故CD⊥BD，又∵PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PB⊥CD，PB?面PBD，DB?面PBD，且PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（Ⅱ）如圖，過D作DF⊥BC交BC于F，連接EF，則EF∥PB，EF⊥面ABCD∴∠EBC直線EB與平面ABCD所成角，∴tan∠EBC==，∵BF=2，∴EF=1，PB=2設(shè)三棱錐P﹣BAD的外接球半徑為R，可得（2R）2=PB2+AB2+AD2，∴，V球=．22.一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；(2)證明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論．參考答案：(1)幾何體的直觀圖如圖．四邊形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四邊形AA1C1C是邊長為的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其體積V＝×1××＝．(2)∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.