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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點,復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.2.在中,,則()A. B. C. D.3.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.4.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn),使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.5.設(shè)是虛數(shù)單位,則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件6.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.07.一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.8.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50509.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦至少有2個陽爻的概率是()A. B. C. D.10.若x,y滿足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]11.集合中含有的元素個數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.1212.一輛郵車從地往地運送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時,裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車到達,,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達式為().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_____.14.函數(shù)的定義域為_____________.15.如圖所示,在邊長為4的正方形紙片中,與相交于.剪去,將剩余部分沿,折疊,使、重合,則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.16.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函數(shù)f(x)的最大值m;(2)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=m,求證:18.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線的切線方程為,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)設(shè)前項積為的數(shù)列,(為常數(shù)),且是等差數(shù)列.(I)求的值及數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè)是數(shù)列的前項和,且,求的最小值.20.(12分)隨著改革開放的不斷深入,祖國不斷富強,人民的生活水平逐步提高,為了進一步改善民生,2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策,其政策的主要內(nèi)容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費用②子女教育費用③繼續(xù)教育費用④大病醫(yī)療費用等.其中前兩項的扣除標(biāo)準(zhǔn)為:①贍養(yǎng)老人費用:每月扣除2000元②子女教育費用:每個子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下:級數(shù)一級二級三級四級每月應(yīng)納稅所得額(含稅)不超過3000元的部分超過3000元至12000元的部分超過12000元至25000元的部分超過25000元至35000元的部分稅率3102025(1)現(xiàn)有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養(yǎng)老人,除此之外,無其它專項附加扣除.請問李某月應(yīng)繳納的個稅金額為多少?(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料,通過整理資料可知,有一個孩子的有400人,沒有孩子的有100人,有一個孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人,沒有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人,并且他們均不符合其它專項附加扣除(受統(tǒng)計的500人中,任何兩人均不在一個家庭).若他們的月收入均為20000元,依據(jù)樣本估計總體的思想,試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額的分布列與期望.21.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,其面積記為,滿足.(1)求;(2)若,求的值.22.(10分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進而得出,由得出可計算出,由此可計算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點,,則,,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計算的值.【詳解】因為所以為的重心,所以,所以,所以,因為,所以,故選A.【點睛】對于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點,且滿足,那么為的重心.3.C【解析】
由題意,模擬程序的運行,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值,當(dāng)時,不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運行過程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時,滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.5.D【解析】
結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設(shè),此時復(fù)數(shù),不是純虛數(shù),所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】
試題分析:如圖所示,截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點:本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.8.C【解析】
因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.9.C【解析】
利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻(即6個全部是陰爻)的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選:C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】
由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點和可行域內(nèi)的點的直線斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標(biāo)函數(shù)可表示連接點和可行域內(nèi)的點的直線斜率的倒數(shù),由圖可知,直線的斜率最小,直線的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.【點睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】解:因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B12.D【解析】
根據(jù)題意,分析該郵車到第站時,一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進而計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,該郵車到第站時,一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.4038.【解析】
由函數(shù)圖象的對稱性得:函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱,則,,即,得解.【詳解】由知:得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱則故,即本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心,屬中檔題.14.【解析】
由題意可得,,解不等式可求.【詳解】解:由題意可得,,解可得,,故答案為.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
將三棱錐置入正方體中,利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知,將三棱錐置入正方體中,如圖所示,,故正方體體對角線長為,所以外接球半徑為,其體積為.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題,一般在處理特殊幾何體的外接球問題時,要考慮是否能將其置入正(長)方體中,是一道中檔題.16.【解析】
設(shè),判斷為偶函數(shù),考慮x>0時,的解析式和零點個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設(shè),則在是偶函數(shù),當(dāng)時,,由得,記,,,故函數(shù)在增,而,所以在減,在增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此的圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點的個數(shù)問題,涉及構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,以及化簡運算能力和推理能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)見解析【解析】
(1)利用絕對值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式證得不等式成立;方法二,利用“的代換”的方法,結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】(1)由絕對值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即,所以.法2:由得,,當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.【點睛】本小題主要考查絕對值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式,屬于中檔題.18.(1);(2)或【解析】
(1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點坐標(biāo)為,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程,構(gòu)造函數(shù),并求得,由導(dǎo)函數(shù)求得有最小值,進而可知由唯一零點,即可代入求得的值;(2)將解析式代入,結(jié)合零點定義化簡并分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個交點;求得并令求得極值點,列出表格判斷的單調(diào)性與極值,即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】(1)依題意,,,設(shè)切點為,,故,故,則;令,,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,故當(dāng)時,函數(shù)有最小值,由于,故有唯一實數(shù)根0,即,則;(2)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”;由于.由,解得,.當(dāng)變化時,與的變化情況如下表所示:30+0極小值極大值所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因為,,,,故當(dāng)或時,直線與曲線在上有兩個交點,即當(dāng)或時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,由切線方程求參數(shù)值,構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,函數(shù)零點的意義及綜合應(yīng)用,屬于難題.19.(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時,由,得到,兩邊同除以,得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.(Ⅱ),根據(jù)前n項和的定義得到,令,研究其增減性即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時,,所以,即,所以.因為是等差數(shù)列.,所以,,令,,,所以,即;(Ⅱ),所以,,令,所以,,即,所以數(shù)列是遞增數(shù)列,所以,即.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義,前n項和以及數(shù)列的增減性,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.20.(1)李某月應(yīng)繳納的個稅金額為元,(2)分布列詳見解析,期望為1150元【解析】
(1)分段計算個人所得稅額;
(2)隨機變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】解:(1)李某月應(yīng)納稅所得額(含稅)為:29600?5000?1000?2000=21600元
不超過3000的部分稅額為3000×3%=90元
超過3000元至12000元的部分稅額為9000×10%=900元,
超過12000元至25000元的部分稅額為9600×20%=1920元
所以李某月應(yīng)繳納的個稅金額為90+900+1920=2910元,
(2)有一個孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000?2000=12000元,
月應(yīng)繳納的個稅金額為:90+900=990元
有一個孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000=14000元,
月應(yīng)繳納的個稅金額為:90+900+400=1390元;
沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?50
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