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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.32.已知拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4,則點到拋物線焦點的距離為()A.2 B.3 C.4 D.53.已知函數(shù),當(dāng)時,的取值范圍為,則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知三棱錐且平面,其外接球體積為()A. B. C. D.5.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.196.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.7.關(guān)于函數(shù),有下述三個結(jié)論:①函數(shù)的一個周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域為.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.10.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.11.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,點在曲線:上,且在第四象限內(nèi).已知曲線在點處的切線為,則實數(shù)的值為__________.14.若展開式中的常數(shù)項為240,則實數(shù)的值為________.15.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的最大值為______.16.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.18.(12分)已知函數(shù)的最大值為2.(Ⅰ)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)中,,角所對的邊分別是,且,求的面積.19.(12分)已知頂點是坐標(biāo)原點的拋物線的焦點在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關(guān)于點對稱.(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點的直線與交于,與交于,求證:.20.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三個解,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進行一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的成績,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計男生女生總計(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評估機構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來評估該校安全教育活動的成效,若,則認(rèn)定教育活動是有效的;否則認(rèn)定教育活動無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.22.(10分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績,某公司設(shè)計了一套產(chǎn)品促銷方案,并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點.運作一年后,對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各選取了50個,對比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長的百分點分成5組:,分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.(1)請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”;采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤,通過分析上一年度的售價(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價定為多少時日利潤可以達(dá)到最大.附①:附②:對應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡,結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡可得,因為是純虛數(shù),所以,∴,故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運算,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】試題分析:拋物線焦點在軸上,開口向上,所以焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因為點A的縱坐標(biāo)為4,所以點A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點:本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離,考查學(xué)生的運算求解能力.點評:拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到,可以簡化運算.3.C【解析】
求導(dǎo)分析函數(shù)在時的單調(diào)性、極值,可得時,滿足題意,再在時,求解的x的范圍,綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時,,令,則;,則,∴函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為,∴時,的取值范圍為,∴又當(dāng)時,令,則,即,∴綜上所述,的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),屬于難題.4.A【解析】
由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而求解.【詳解】由題,因為,所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.5.B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時,a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時,要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.6.A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質(zhì).7.C【解析】
①用周期函數(shù)的定義驗證.②當(dāng)時,,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,而,當(dāng)時,再求值域.【詳解】因為,故①錯誤;當(dāng)時,,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,易知,故當(dāng)時,,故③正確.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.8.A【解析】
函數(shù)的零點就是方程的解,設(shè),方程可化為,即或,求出的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍.【詳解】由題意得有四個大于的不等實根,記,則上述方程轉(zhuǎn)化為,即,所以或.因為,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因為,所以有兩個符合條件的實數(shù)解,故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點,需且.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點.考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解,方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.9.B【解析】
圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況。【詳解】,故奇函數(shù),四個圖像均符合。當(dāng)時,,,排除C、D當(dāng)時,,,排除A。故選B?!军c睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。10.A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
分別取、的中點、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,在中計算出,再利用勾股定理計算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點,,,且、分別為、的中點,所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點,同理可知,的外心為點,分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,則點在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時考查了計算能力,屬于中等題.12.D【解析】
說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先設(shè)切點,然后對求導(dǎo),根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標(biāo),代入原函數(shù)求出切點的縱坐標(biāo),即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:依題意設(shè)切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,,解得,又因為點在第四象限內(nèi),則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及導(dǎo)數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標(biāo),本題屬于基礎(chǔ)題.14.-3【解析】
依題意可得二項式展開式的常數(shù)項為即可得到方程,解得即可;【詳解】解:∵二項式的展開式中的常數(shù)項為,∴解得.故答案為:【點睛】本題考查二項式展開式中常數(shù)項的計算,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式,再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式,進而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則所以,當(dāng)函數(shù)最大,最大值為故答案為:【點睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式,還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值,屬于簡單題.16.【解析】
根據(jù)切線的斜率為,利用導(dǎo)數(shù)列方程,由此求得切點的坐標(biāo),進而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)【解析】
(1)先求導(dǎo),再對m分類討論,求出的單調(diào)性;(2)對m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】(1)若,當(dāng)時,;當(dāng)時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若,當(dāng)時,;當(dāng)時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,則.則不合題意當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則,即又因為單調(diào)遞增,且,故綜上,【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由題意,f(x)的最大值為所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得x滿足即所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由題意,得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理,得①由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或(舍去),故19.(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意可設(shè).結(jié)合中點坐標(biāo)公式計算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為.半徑,則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)的斜率為,則其方程為,由弦長公式可得.聯(lián)立直線與拋物線的方程有.設(shè),利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可得.則.即.詳解:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則.已知在直線上,故可設(shè).因為關(guān)于對稱,所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因為與軸相切,故半徑,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)的斜率為,那么其方程為,則到的距離,所以.由消去并整理得:.設(shè),則,那么.所以.所以,即.點睛:(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.20.(1);(2).【解析】
(1)對分三種情況討論,分別去掉絕對值符號,然后求解不等式組,再求并集即可得結(jié)果;(2).作出函數(shù)的圖象,當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時,方程有三個解,由圖可得結(jié)果.【詳解】(1)不等式,即為.當(dāng)時,即化為,得,此時不等式的解集為,當(dāng)時,即化為,解得,此時不等式的解集為.綜上,不等式的解集為.(2)即.作出函數(shù)的圖象如圖所示,當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時,方程有三個解,所以.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】絕對值不等式的解法:法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;法三:通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.21.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】
(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計算公式,計算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(III)由(II)中數(shù)據(jù),計算出,進而求得的值,從而得出該校的安全教育活動是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,得分在的頻率為,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為,.性別與合
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