高中數(shù)學第一章：《三角函數(shù)》復習（蘇教必修4）

三角函數(shù)圖象性質(zhì)任意角三角函數(shù)基本關系式誘導公式高中數(shù)學知識體系注意問題方法指導首頁結束放映.第三章立體幾何初步第四章平面解析幾何初步高中數(shù)學總知識體系第七章不等式第八章數(shù)列、極限、數(shù)學歸納法第九章復數(shù)第十章排列組合、二項式定理必修一立體幾何代數(shù)(下冊)解析幾何第五章直線和平面第六章多面體和旋轉(zhuǎn)體第十一章直線和圓第十二章橢圓、雙曲線、拋物線第十三章參數(shù)方程、極坐標回首頁第一章集合第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)必修二.

(2)角的度量:

角度制:圓周360等分之一的弧所對的圓心角為1角.

弧度制:等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度角.換算:=180,1(弧度)57174557.3,1=(弧度).(一)任意角的三角函數(shù)1.角的概念2.三角函數(shù)(3)終邊相同的角與象限角的表示:{|=2k+,kZ}或{|=360k+,kZ}(,終邊相同)x軸正半軸=2k,kZx軸負半軸=2k+,kZ2y軸正半軸=2k+,kZy軸負半軸=2k+,kZ3222k+2k<<,kZ終邊相同的角軸線角象限角ⅠⅡⅢⅣ2k+<<2k+2,kZ322k+<<2k+,kZ321802k+<<2k+,kZ21.角的概念:

(1)正角、負角、零角的含義.返回練習.2.三角函數(shù):

(1)三角函數(shù)的定義:

正弦sin;余弦cos;

正切tan;余切cot;

正割sec;余割csc

(4)特殊角的三角函數(shù)值:(3)三角函數(shù)的符號:(正弦一二象限取正,余弦一四取正,正切一三取正)sincostancot06432322.PO

xy設P(x,y)為終邊上任一點,則:sin=,cos=,tan=,cot=,sec=,csc=.其中r=x2+y2.rxryyxyrxrxy(2)用線段表示三角函數(shù):正弦線MP、余弦線OM、正切線AT、(余切線)OMAPTxy其中A(1,0),試畫出其他象限角對應的三線,并說出正負!01222332232323310-1101210不存在不存在-100不存在0010不存在不存在0133余切、正割、余割呢？又問：第一象限誰取正？自己先試說說它們是怎樣用這平面直角坐標系定義的..練習一(4題)1.設的終邊在直線y=-2x上,那么sin的值為()(A)(B)(C)(D)55255255-255C2.把-75化成弧度,并以弧度制寫出與這個角終邊相同的角的集合.755答:-75=-——=-—，與這個角終邊相同的角的集合為:{|=2k-—,kZ}180125123.下列各組角中,終邊相同的一組是()(A)與k+(kZ)(B)(2k+1)與(4k1)(kZ)(C)k+與2k(kZ)(D)k+與(kZ)k22663k3B4.已知是第二象限角,那么-、、各是第幾象限角?23答案:-是第三象限角,是第一或第三象限角,是第一或第二或第三象限角.32詳解詳解解題提示:令k=-1,0,1,2,3,4等列出幾個值即可比較得.返回回首頁.解:設直線上一點P的坐標為(x,y),其中x≠0,y=-2x,則r=x2+y2=x2+(-2x)2=5|x|,sin=—=——

=5|x|-2xyr255-255(x>0)(x<0)返回題(簡):設的終邊在直線y=-2x上,那么sin的值為()說明：這題極易選錯,可判斷對定義理解的透徹性..解:∵為第二象限角,∴2k+<<2k+(kZ)∴-2k-<-<-2k-(kZ),即-是第三象限角.又k+<<k+(kZ),分別令k為奇數(shù)和偶數(shù),可知為第一或第三象限角,同法可求得是第一或第二或第三象限角.注意不等式運算性質(zhì).2224223返回題:已知是第二象限角,那么-、、各是第幾象限角?23.(二)同角三角函數(shù)的基本關系式1.關系式2.應用1.關系式(三倒二商三平方):

(1)sincsc=1;cossec=1;tancot=1(2)tan=;cot=(3)sin2+cos2=1;1+tan2=sec2;1+cot2=csc2cossinsincos2.利用上述關系,可以解決以下問題:

(1)已知某角的一個三角函數(shù)值,求其他各三角函數(shù)值;(2)化簡某些三角函數(shù)式;(3)證明某些三角恒等式.例:已知sincos=,且<<,則cos-sin=_______.1842-32詳解應夠熟練吧?要再做3題嗎?要!不!這是由定義得出的最基本性質(zhì),它與后面的返回.解:

sincos=,而sin2+cos2=1,∴(cos-sin)2=sin2+cos2-2sincos=1-=又<<∴sin>cos,∴cos-sin=-

1814342432返回.2.已知tan=,則=_________.cos+sincos-sin2提示:顯然cos≠0,分子分母同除以cos后代入即得1.已知是第三象限角,則sec1+tan2+tansec2-1=()(A)1(B)1(C)-1(D)以上都不對3.已知:(0,),化簡1+2sincos-1-2sincos.2-3-22提示:原式=sec|sec|+tan|tan|,又為第三象限角,∴sec<0,tan>0,從而得.C解:原式=(sin+cos)2-(sin-cos)2

=|sin+cos|-|sin-cos|當0<≤時,0<sin≤cos;當<<時,0<cos<sin∴原式=2sin2cos(0,](,)242444返回行了!.用公式時都是把看作銳角,先化簡式子,最后再轉(zhuǎn)化!(三)誘導公式1.常用的六組誘導公式2.利用誘導公式求任意角的三角函數(shù)值1.常用的六組誘導公式:(1)2k+(即k360+)組(2)-(即180-)組(3)+(即180+)組(4)-組(5)-(即90-)組(6)+(即90+)組222.利用誘導公式求任意角的三角函數(shù)值,一般步驟:任意角的三角函數(shù)0到360角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0到90角的三角函數(shù)查表看公式注意:做練習返回.(1)sin(2k+)=sin;cos(2k+)=cos;tan(2k+)=tan;cot(2k+)=cot.(2)sin(-)=sin;cos(-)=-cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-cot.(3)sin(+)=-sin;cos(+)=-cos;tan(+)=tan;cot(+)=cot.(4)sin(-)=-sin;cos(-)=cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-cot.22(5)sin(-)=cos;cos(-)=sin;tan(-)=cot;cot(-)=tan.22(6)sin(+)=cos;cos(+)=-sin;tan(+)=-cot;cot(+)=-tan.2222返回注意公式中的符號注意公式中的符號注意公式中的符號還有三組可由這幾組化出，較少用，你知道是哪三組嗎？相當于第一象限的角都取正號!以下的各組呢?也要找找規(guī)律!.提示:化簡得:tan190=tan(180+10)=tan10,tan100=tan(90+10)=-cot10,tan350=tan(360-10)=-tan10,sin1590=sin(1590-1440)=sin150=sin30,cos(-1860)=cos(1800-1860)=cos(-60)=cos60,

或cos(-1860)=cos1860=cos(1860-1800)=cos60,cot(-960)=cot(1080-960)=cot120=-cot60,tan1395=tan(1395-1440)=tan(-45)=-tan45.練習二(4題)(2)cot10+tan190+tan100+cot350+sin1590cos(-1860)+cot(-960)tan1395=_____.1.若cos(-x)=,x(-,),則x的值為()(A)或(B)(C)(D)326765656234.已知tan(-)=a2且|cos(-)|=-cos,求sec(+)答案:1+a42.計算:(1)sin210+sin280+tan10tan80=_____.1963.化簡求值:(1)sin(-)=_______.tan(+)cos3(--)cot(+4)cos(+)sin2(+3)(2)=_____.1-csc30sin1085sin2075cos5-1-sin295(3)=______.C23314+1211沒問題吧？提示:化為sin210+cos210+tan10cot10這三小題方法與上題一樣,應該能做對!詳解返回回首頁.題:已知tan(-)=a2且|cos(-)|=-cos,求sec(+)解:∵tan(-)=-tan=a2,∴tan=-a2≤0,又|cos(-)|=|cos|=-cos,∴cos≤0,而tan≤0,∴為第二象限角或在y軸負半軸,∴sec≤0,且sec=-1+tan2=-1+a4,∴sec(+)=-sec=1+a4.返回.(四)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的圖象與主要性質(zhì)2.周期函數(shù)3.正弦型函數(shù)y=Asin(x+)的一些概念、性質(zhì)1.正、余弦函數(shù)、正、余切函數(shù)的圖象與主要性質(zhì){x|xR且x≠k+,(kZ)}21-12xyO1-12xO22xyO-函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx一周期圖象定義域值域單調(diào)性奇偶性周期2k+]↑(kZ)2[2k-,22k+]↓(kZ)32[2k+,22xyORR[-1,1]RR{x|xR且x≠k,(kZ)}在[2k+,2k]↑

(kZ)在[2k,2k+]↓(kZ)2k-,2k+)在((kZ)上都是增函數(shù)在(k,k+)(kZ)上都是減函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)22返回練習[-1,1].2.周期函數(shù)和最小正周期的意義3.正弦型函數(shù)y=Asin(x+)的振幅、周期、相位、初相及其圖象與函數(shù)y=sinx之間的關系對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個常數(shù)T≠0,使得當x取定義域中的每一個值時,都有f(x+T)=f(x)成立,那么函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù),T叫做f(x)的周期.對于一個周期函數(shù)來說,如果在所有的周期中存在一個最小的正數(shù),就把這個最小正數(shù)叫做最小正周期.

三角函數(shù)的周期概指最小正周期.(1)當A>0,>0時,A稱為該函數(shù)的振幅,2=T稱為函數(shù)的周期,(為角速度),x+稱為函數(shù)的相位,稱為函數(shù)的初相.(2)當A>0,>0,xR時,y=Asin(x+)的圖象,可以看作把y=sinx的圖象上的所有的點向左(當>0)或向右(<0)平移||個單位,再把所得的各點的橫坐標縮短(>1)或伸長(0<<1)到原來的1/倍(縱坐標不變),最后再把所得的圖象各點縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍(橫坐標不變)..解:函數(shù)化為y=-sin2x+4sinx+2=-(sinx-2)2+6.∵-1≤sinx≤1,而二次函數(shù)y=-(t-2)2+6在[-1,1]上是增函數(shù),∴sinx=-1時,ymin=-3;sinx=1時,ymax=5.注意:這里“左加右減”指的是x的位置變換,即“x”變?yōu)椤皒+a”或“x-a”!(見第一章)練習三(6題)1.下列函數(shù)中,既在區(qū)間(0,)內(nèi)遞增,又是以2為最小正周期的偶函數(shù)是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2(C)y=2cosx(D)y=cot2x2x2.要得到函數(shù)y=sin(2x-)的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x的圖象()(A)向左平移個單位3(C)向左平移個單位6(D)向右平移個單位6(B)向右平移個單位333.函數(shù)y=asinx+b的最大值為2,最小值為-4,則a=____,b=____.4.函數(shù)y=Asin(x+)(其中>0,A>0)的圖象如右,則函數(shù)的解析式為________________________.yxO-(0,-)352-5.函數(shù)y=cos2x+4sinx+1的最大值為______.最小值為______.6.已知函數(shù)y=log0.5cos2x.(1)求定義域、值域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性;(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.詳解BD3-1y=2sin(+)2x3535-3詳解答案:(1)定義域(k-,k+)(kZ);值域{y|y≥0};(2)偶函數(shù);(3)在(k-,k],在[k,k+)(kZ)4444詳解詳解返回回首頁.xx題:下列函數(shù)中,既在區(qū)間(0,)內(nèi)遞增,又是以2為最小正周期的偶函數(shù)是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2(C)y=2cosx(D)y=cot22解:(A)答案是以為周期的函數(shù),且在[,)上是減函數(shù),可排除;(C)答案中,t=cosx在(0,)單調(diào)遞減,而y=2t為增函數(shù),故該函數(shù)在(0,)單調(diào)遞減,排除;(D)答案顯然不是偶函數(shù),且在(0,)單調(diào)遞減,也可排除;故選(B),其實(B)中函數(shù)可化為y=sin2

(還可繼續(xù)化為y=(1-cosx)),分析可知滿足題意.2x212返回注:用排除法解選擇題是常用方法!.題:函數(shù)y=asinx+b的最大值為2,最小值為-4,則a=____,b=____.解:∵sinx的最大值為1,最小值為-1,∴該函數(shù)的最大值為|a|+b,而最小值為-|a|+b,由題得:|a|+b=2,-|a|+b=-4,解得:a=3,b=-1.注:利用sinx和cosx的最大值為1,最小值為-1(有時還要結合二次函數(shù)圖象性質(zhì),如后面的第5題)來出題解題是經(jīng)常的事所以應該經(jīng)常想起這點.返回.解:T=2[--(-)]=3,=3,=.又當x==-時,函數(shù)取最大值,-+=,即=.又圖象過點(0,-3),有Asin=-3,則A=2.故解析式為y=2sin(+).5253537474--5222322x3232題:函數(shù)y=Asin(x+)(其中>0,A>0)的圖象如右,則函數(shù)的解析式為____.yxO-(0,-)352-注:利用圖象的直觀性結合y=Asin(x+)曲線的特征確定A、、的值,是理解曲線與圖象位置關系的重要內(nèi)容,可培養(yǎng)數(shù)形結合、待定系數(shù)法解題思想.返回.(3)由cosx的單調(diào)性、定義域及復合函數(shù)單調(diào)性得:當2k-<2x≤2k(kZ)即x(k-,k](kZ)時,f(x)單調(diào)遞減;同樣得x[k,k+)(kZ)時,f(x)單調(diào)遞增.424解:(1)由cos2x>0,得:2k-<2x<2k+(kZ)∴定義域為{x|k-<x<k+,kZ}又∵0<cos2x≤1,∴y≥0,即值域為{y|y≥0}.2244題:已知函數(shù)y=log0.5cos2x.(1)求定義域、值域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性;(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)f(-x)=log0.5cos(-2x)=log0.5cos2x=f(x),∴(x)是偶函數(shù).返回.(五)方法指導1.坐標法2.主元法3.遞歸法4.幾何模型法5.圖象變換法3.遞歸法:(1)誘導公式可化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù).(2)誘導公式中的角為任意角,確定符號時當銳角處理.(3)研究周期函數(shù)圖象性質(zhì)時,可先歸到一特殊周期研究.1.坐標法(數(shù)形結合法的表現(xiàn)):角的概念在平面直角坐標系中出現(xiàn),能直觀地說明角的內(nèi)涵,終邊相同的角、象限角等概念能把眾多角歸類.2.主元法:當問題涉及多種三角函數(shù)或多個角時,據(jù)條件選取其中一個三角函數(shù)或一個角為主元,把其他各三角函數(shù)或角進行變換,化為主元三角函數(shù)或同角三角函數(shù).簡單說成:

化同名,化同角,切割常化弦.返回.證明:在平面直角坐標系中,取單位圓(如圖).依定義可知,sin=MP,tan=AT,而即為弧AP的長.考慮三角形OMP和OAT及扇形OAP的面積,有S△OMP<S扇形OAP<S△OAT,

再據(jù)三角形及扇形面積計算得:MP<弧長AP<AT,故命題成立.[注:該結論應記住.]4.幾何模型法:單位圓能直觀地解釋三角函數(shù),因而成為幾何工具.主要應用有:(1)用三角函數(shù)射影法作基本三角函數(shù)的圖象;(2)直觀地表示簡單三角方程或簡單三角不等式的解集;(3)證明誘導公式及一些重要的三角等式和不等到式.5.圖象變換法:討論正弦型函數(shù)y=Asin(x+)+h(A>0,>0)的圖象作法,除了用“五點法”外,還有圖象變換法(平移變換、伸縮變換).OMAPTxy例:已知(0,90),求證:sin<<tan..(六)注意問題1.區(qū)分“角”2.判斷符號3.恒等變換4.活用公式5.由形察數(shù)6.對稱問題1.區(qū)分“角”:

主要指當角相同時,三角函數(shù)值相等;而當三角函數(shù)值相等時,角不一定相等!特別是終邊相同的角并不就是相同的角!初學三角函數(shù)時常會把它們混在一起.2.判斷符號:

一指誘導公式中各符號的判斷;二指利用“一倒二商三平方”的“平方關系”求值時,需根據(jù)角的范圍來確定平方根號前的“+”或“-”號.

看個例題如:sin=0.5,(360,450),則=390,千萬不能寫成了30!如果用弧度制寫更易出錯!返回.3.恒等變換:

主要指在化簡或證明過