第5章考慮內生流動性風險的VaR證券市場微觀結構理論

第5章流動性風險管理在股票價格服從幾何布朗運動的假設下，同時考慮了股票波動性、股票流動性、投資者變現(xiàn)行為、頭寸規(guī)模等因素對投資者所面臨市場風險的影響，并允許投資者選擇任意的目標頭寸規(guī)模，而且，指標所用到的參數(shù)都可以利用實證數(shù)據(jù)進行測算，設計考慮內生流動性風險的VaR這一指標，較好的實現(xiàn)了理論研究與實踐應用的銜接。

首先給出考慮內生流動性風險的VaR——（LiquidityriskincorporatedValueatRisk，）的定義：

定義1考慮內生流動性風險的VaR是指給定置信水平和持有期，投資者采用某種交易策略對一定頭寸規(guī)模的資產進行變現(xiàn)時的最大變現(xiàn)損失從以上定義可以看出，影響VaR的因素，如資產波動性、相關性等，都會對考慮內生流動性風險的VaR這一指標產生影響；另外，該指標還與投資者所采用的交易策略和頭寸規(guī)模密切相關；并且下面的分析還將表明，資產的流動性也將對指標值產生重要影響，而這幾個因素在傳統(tǒng)的VaR中都是被忽略的。

流動性的影響主要通過其對變現(xiàn)損失的影響來實現(xiàn)的對于一名投資者而言，如果他被迫在較短時間內變現(xiàn)其資產，那么其資產價值在變現(xiàn)前后的差值，即執(zhí)行成本，也將受到波動性風險和流動性風險兩方面因素的影響，而實質上是在一定置信水平下的最大變現(xiàn)損失。

這樣,的計算可以歸結為投資者資產價值在變現(xiàn)前后差值的計算，因此在給出之前將首先計算執(zhí)行成本；另外，為直觀起見，將從組合中只包括單種股票的特殊情況出發(fā)，計算執(zhí)行成本，而后推廣至多種股票的情況。

離散時間幾何布朗運動算術布朗運動

連續(xù)時間幾何布朗運動算術布朗運動5.1算術布朗運動情況下的模型

1、模型的有關假設考慮一名投資者在當前零時刻持有一種股票，其頭寸為，他對該股票準備長期持有的保留頭寸為，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時，投資者將會在持有期第個交易日結束時仍持有股票頭寸，即將在持有期內變現(xiàn)X-Y的股票。將(0,T)期間等分為K個足夠小區(qū)間，每個區(qū)間長度為，定義在時刻，k=1,…，K，該投資者持有的股票頭寸為x(k)。則在零時刻，股票頭寸為x(0)=X，在T時刻，股票頭寸為x(K)=Y。

顯然，投資者可以通過選擇在時刻持有的股票頭寸來確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0,T)期間隨時間變化的股票頭寸x(k)等價于投資者的交易策略，同時定義在期間內頭寸變化為，交易速度，則交易速度同樣也可以等價為交易策略。假定在（0，T）期間股票價格，，服從無漂移的算術布朗運動：

（1）其中為在期間內股價的變動。

3交易對價格沖擊的引入

當投資者對組合中的股票進行持續(xù)的賣出交易時，股票價格將承受向下的價格沖擊。這種沖擊可分解為永久沖擊和瞬時沖擊兩部分：永久沖擊使得股票的均衡價格發(fā)生改變，在股票價格決定的模型中表現(xiàn)為價格運動的微分方程中增加一負向漂移項；瞬時沖擊使得股票的供給和需求在瞬間出現(xiàn)不平衡，股票成交價格與交易前的市場價格存在一定的差額，而一旦下一筆相反方向的指令到達，股票價格就會回到原來的均衡水平。

記為永久沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票使得股票均衡價格下降的幅度，同時假定永久沖擊系數(shù)在變現(xiàn)期間為常數(shù)，且永久價格沖擊為線性的，得到新的價格運動微分方程：

（2）

式（2）中右邊第一項即為投資者的賣出交易引發(fā)股票均衡價格的改變，可以看出交易對價格的永久沖擊與期間內投資者的頭寸變化成正比，比例系數(shù)為。則在時刻，股票價格為：

（3）

瞬時沖擊使交易者的成交價格與股票在該時刻的價格之間存在一個差額，記為瞬時沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票在瞬間推動股票價格下降的幅度，同樣假定該系數(shù)在變現(xiàn)期間不發(fā)生改變，且瞬時價格沖擊為線性的，得到：

（4）式（4）中右邊第二項即為投資者的賣出交易使成交價格和市場價格之間出現(xiàn)的差異，可以看出這一差異與單位時間內頭寸的變化成正比，比例系數(shù)為。

則在時刻，交易者的成交價格為：（5）

式（3）表明，變現(xiàn)過程中股票價格由兩部分組成：第一部分為初始時刻的股票價格，第二部分為交易對價格的累計永久沖擊成分；式中（5）顯示，瞬時沖擊只會在瞬間影響交易者的成交價格。

3、變現(xiàn)損失的計算

投資者變現(xiàn)股票時，在任一時間區(qū)間內，其所持有現(xiàn)金的變化量為股票頭寸的變動量與成交價格之間的乘積：（6）

將式（5）代入式（6），得：（7）

在整個變現(xiàn)期間（0，T)，投資者所持有現(xiàn)金的變化量為：(8)在T時刻，投資者剩余頭寸的價值為：(9)

定義投資者執(zhí)行成本EC為期初資產總值與期末資產總值之差：

(10)將式(8)、(9)代入式(10)：

(11)

由式(11)可以看出，投資者的執(zhí)行成本是一個與交易策略，，有關的隨機變量。 至此，我們已經(jīng)得到在單種股票情況下投資者執(zhí)行成本的表達式。下面，我們將在股票價格服從幾何布朗運動的情況下計算投資者的執(zhí)行成本。

5.2單種股票情況下的執(zhí)行成本

1、模型的有關假設考慮一名投資者在當前零時刻持有一種股票，其頭寸為，他對該股票準備長期持有的保留頭寸為，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時，投資者將會在持有期第個交易日結束時仍持有股票頭寸，即將在持有期內變現(xiàn)X-Y的股票。將(0,T)期間等分為K個足夠小區(qū)間，每個區(qū)間長度為，定義在時刻，k=1,…，K，該投資者持有的股票頭寸為x(k)。則在零時刻，股票頭寸為x(0)=X，在T時刻，股票頭寸為x(K)=Y。

顯然，投資者可以通過選擇在時刻持有的股票頭寸來確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0,T)期間隨時間變化的股票頭寸x(k)等價于投資者的交易策略，同時定義在期間內頭寸變化為，交易速度，則交易速度同樣也可以等價為交易策略。假定在（0，T）期間股票價格，，服從無漂移的幾何布朗運動：

（12）其中為在期間內股價的變動。

2、交易對價格沖擊的引入

當投資者對組合中的股票進行持續(xù)的賣出交易時，股票價格將承受向下的價格沖擊。這種沖擊可分解為永久沖擊和瞬時沖擊兩部分：永久沖擊使得股票的均衡價格發(fā)生改變，在股票價格決定的模型中表現(xiàn)為價格運動的微分方程中增加一負向漂移項；瞬時沖擊使得股票的供給和需求在瞬間出現(xiàn)不平衡，股票成交價格與交易前的市場價格存在一定的差額，而一旦下一筆相反方向的指令到達，股票價格就會回到原來的均衡水平

記為永久沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票使得股票均衡價格下降的幅度，同時假定永久沖擊系數(shù)在變現(xiàn)期間為常數(shù)，且永久價格沖擊為線性的，得到新的價格運動微分方程：（13）式（13）中右邊第一項即為投資者的賣出交易引發(fā)股票均衡價格的改變，可以看出交易對價格的永久沖擊與期間內投資者的頭寸變化成正比，比例系數(shù)為。則在時刻，股票價格為：（14）

瞬時沖擊使交易者的成交價格與股票在該時刻的價格之間存在一個差額，記為瞬時沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票在瞬間推動股票價格下降的幅度，同樣假定該系數(shù)在變現(xiàn)期間不發(fā)生改變，且瞬時價格沖擊為線性的，得到：

（15）式（15）中右邊第二項即為投資者的賣出交易使成交價格和市場價格之間出現(xiàn)的差異，可以看出這一差異與單位時間內頭寸的變化成正比，比例系數(shù)為。

則在時刻，交易者的成交價格為：（16）

式（14）表明，變現(xiàn)過程中股票價格由兩部分組成：第一部分為初始時刻的股票價格，第二部分為交易對價格的累計永久沖擊成分；式中（16）顯示，瞬時沖擊只會在瞬間影響交易者的成交價格。

3、變現(xiàn)損失的計算

投資者變現(xiàn)股票時，在任一時間區(qū)間內，其所持有現(xiàn)金的變化量為股票頭寸的變動量與成交價格之間的乘積：（17）

將式（16）代入式（17），得：（18）

在整個變現(xiàn)期間（0，T)，投資者所持有現(xiàn)金的變化量為：(19)在T時刻，投資者剩余頭寸的價值為：(20)

定義投資者執(zhí)行成本EC為期初資產總值與期末資產總值之差：

(21)將式(19)、(20)代入式(21)：(22)

由式(22)可以看出，投資者的執(zhí)行成本是一個與交易策略，，有關的隨機變量。 至此，我們已經(jīng)得到在單種股票情況下投資者執(zhí)行成本的表達式。下面，我們將在組合中包含多種股票的情況下計算投資者的執(zhí)行成本，以便為統(tǒng)一計算作好準備。5.3多種股票情況下的執(zhí)行成本

1、模型的有關假設考慮一名投資者在零時刻持有由N種股票組成的組合，為第n種股票的頭寸規(guī)模，則該投資者的初始組合為。他對組合中股票準備長期持有的頭寸為，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時，投資者將會在持有期第T個交易日結束時保持組合的頭寸為。

定義在時刻，，，該投資者持有的組合頭寸為。則在0時刻，組合頭寸為，在T時刻，組合頭寸為。

由于投資者可以通過選擇在時刻持有的組合頭寸來確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0,T)期間隨時間變化的組合頭寸等價于投資者的交易策略，同時定義交易速度，它也可以等價為交易策略。

假定組合中的股票價格服從無漂移的標準N維幾何布朗運動

(23)其中，，表示組合中第i種股票在期間內價格變動，，，為矩陣中的元素，矩陣A滿足：C 為組合中證券收益的方差－協(xié)方差矩陣。

則在時刻，投資者所持有組合的價格向量為：(24)2、交易對價格沖擊的引入

與組合中只有一種股票的情況類似，首先引入交易對價格的永久沖擊，，分別為組合中第i

種股票的永久沖擊系數(shù)，并假定永久沖擊系數(shù)在變現(xiàn)期間為常數(shù)，價格沖擊方程為線性的，得到新的價格運動微分方程：

(25)則當引入交易對價格的永久沖擊后，時刻投資者所持有組合的價格向量為：(26)

同樣引入交易對價格的瞬時沖擊，瞬時沖擊將使交易者的成交價格與股票在該時刻的價格之間存在一個差額，記，，為瞬時沖擊系數(shù)，同樣假定該系數(shù)在變現(xiàn)期間不發(fā)生改變，價格沖擊方程為線性的，得到：(27)3、變現(xiàn)損失的計算

投資者變現(xiàn)股票時，在任一時間區(qū)間內，其所持有現(xiàn)金的變化量為股票頭寸的變動量與成交價格之間的乘積：(28)

則在整個變現(xiàn)期間，投資者可以獲得的現(xiàn)金總量為：

(29)在T時刻，剩余頭寸的價值為，定義投資者的執(zhí)行成本EC為期初資產總值與期末資產總值之差：(30)由式(31)可以看出，投資者的執(zhí)行成本是與交易策略，，有關的隨機變量。

5.4的統(tǒng)一表達式

由于5.2節(jié)中單種股票的情況是5.3節(jié)中多種股票情況的特例，故下面將只給出多種股票情況下的表達式，該表達式即為的統(tǒng)一表達式。

令該投資者執(zhí)行成本的期望和方差分別為E[EC]和V[EC]，則在置信水平1-、持有期T下，該投資者采用交易策略，，將證券頭寸由降至時的最大可能損失為：(31)

其中為概率分布的分位數(shù)。

式(31)所定義的即為在置信水平、持有期T下，考慮內生流動性風險的（LiquidityriskincorporatedValueatRisk,）：

(32)5.5與的一致性

在本章的開始已經(jīng)指出，本章所提出的與最大的差別在于引入了流動性風險，即考慮了投資者在未來變現(xiàn)時的執(zhí)行成本。顯然，直觀上講，當投資者在未來時刻不需要變現(xiàn)時，應當與相等。下面將驗證是否具有這一特性。

如果投資者在未來時刻不需要變現(xiàn)，此時投資者的初始頭寸應等于剩余頭寸，即；并且投資者在(0,T)期間組合頭寸保持不變，有：

(33)將式(33)代入考慮永久沖擊證券價格的表達式(26)，得到：(34)將式(34)和成交價格表達式(27)代入期末所得到現(xiàn)金總量的表達式(29)，得到：TC=0(35)

將式(34)、(35)代入執(zhí)行成本的表達式(30)，得到:(36)從式(36)可以看出，當投資者在未來不需要變現(xiàn)時，執(zhí)行成本等于期初和期末由于證券價格變動所導致的組合價值變化，該執(zhí)行成本的期望和方差為：

E[EC]=0(37)

(38)將式(37)、(38)代入(31)的表達式，得到：(39)

此時,LrVaR

等于組合價值變化的標準差乘以，而這一表達式恰恰與VaR的表達式相同！即，當投資者在未來時刻不需要變現(xiàn)時，LrVaR

與VaR

等價。

需要指出的是，盡管LrVaR比VaR多考慮了內生流動性風險，但LrVaR并不一定比VaR大！這是因為：LrVaR考慮了未來變現(xiàn)時的執(zhí)行成本，而VaR忽視了該項成本，從這一點而言，LrVaR應比VaR大；但是LrVaR

同時考慮了未來變現(xiàn)過程中頭寸減少導致投資者組合整體波動性風險的降低，而VaR始終假定投資者持有初始頭寸，會將變現(xiàn)過程中已經(jīng)變現(xiàn)那部分頭寸的波動性風險也計算在內，高估了投資者所面臨的波動性風險。

這樣，LrVaR

和VaR

之間的相對大小是不能確定的。甚至當欲變現(xiàn)的頭寸波動性較高時，VaR所高估的波動性風險會高于LrVaR所額外考慮的執(zhí)行成本，從而使得LrVaR小于VaR，在下面的分析中將可以看到這一點。

5.6連續(xù)時間框架下的度量模型

在5.2中，我們假定證券服從幾何布朗運動。事實上，當證券價格波動不大、變現(xiàn)期較短時，可以對這一假設作出簡化，假定證券服從算術布朗運動。在下面的分析中可以看到，這一簡化為最優(yōu)策略的求解，尤其是解析求解，帶來極大的便利。

1、相關設定與假設考慮一名投資者在初始零時刻持有一種證券的頭寸為X，他對該股票準備長期持有的保留頭寸為Y，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時，投資者將會在持有期第T個交易日結束時仍持有股票頭寸Y，即將在持有期內變現(xiàn)X-Y的股票。

定義在t時刻，，投資者持有的頭寸為x(t)，證券的價格為p(t)，則有：

由于投資者可以通過選擇在t時刻持有的組合頭寸來確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0，T)期間隨時間變化的組合頭寸x(t)等價于投資者的交易策略。

定義交易速度為：

假定證券價格p(t)服從無漂移的標準幾何布朗運動：

(40)

由于本文只考慮短期內的變現(xiàn)，變現(xiàn)前后價格變動差額相對較小，從而可以將價格服從的幾何布朗運動近似為其服從算術布朗運動，即令

其中，為證券在零時刻的價格，為原始波動率，則在變現(xiàn)期內也為常數(shù)。為簡便起見，下文直接將作為波動率。則式可化為：(41)

2、引入交易對價格的沖擊

首先引入交易對價格的永久沖擊，假定永久沖擊為交易速度的線性函數(shù)，為永久沖擊系數(shù)，此時價格運動的微分方程變?yōu)椋?/p>

(42)

則在t時刻，證券價格為：

(43)

同樣，由于瞬時沖擊的存在，投資者在t時刻的成交價格和未成交前的證券價格之間存在一個差值，假定瞬時沖擊為交易速度的線性函數(shù)，得到t時刻的成交價格為： (44)

3、執(zhí)行成本的推導1、變現(xiàn)期間現(xiàn)金的變化 投資者對證券進行變現(xiàn)時，在任一