姜啟源《大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》第10章

大學(xué)數(shù)學(xué)(shùxué)實(shí)驗(yàn)MathematicalExperiments實(shí)驗(yàn)10數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(tǒngjì)與分析1精品資料數(shù)據(jù)(shùjù)的統(tǒng)計與分析的兩類方法第一類：一般意義(yìyì)的統(tǒng)計（普查）對生產(chǎn)的全部1000件產(chǎn)品逐一檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)18件次品對全區(qū)居民逐一調(diào)查，得到月平均支出為828元次品率：1.8%；月平均支出為828元優(yōu)點(diǎn)：結(jié)果完全確定，可信缺點(diǎn)：調(diào)查、收集的數(shù)據(jù)量可能很大，經(jīng)費(fèi)投入大;有些產(chǎn)品不允許全部檢驗(yàn)，如燈泡、電器的壽命等2精品資料缺點(diǎn)：結(jié)果是隨機(jī)(suíjī)的，是否可信？第二類：數(shù)理統(tǒng)計(shùlǐtǒnɡjì)（抽查）全部產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，發(fā)現(xiàn)2件次品隨機(jī)調(diào)查了200位居民，得到月平均支出為788元次品率：2%；月平均支出788元優(yōu)點(diǎn)：調(diào)查、收集的數(shù)據(jù)量小，經(jīng)費(fèi)投入小，適合不允許全部檢驗(yàn)的產(chǎn)品，如燈泡、電器的壽命等任務(wù)：怎樣用它來估計整體的狀況（全部產(chǎn)品的次品率，全體居民的月平均支出）3精品資料本實(shí)驗(yàn)基本(jīběn)內(nèi)容2.數(shù)據(jù)(shùjù)的整理和描述3.隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)字特征1.實(shí)例及其分析4.用隨機(jī)模擬計算數(shù)值積分5.實(shí)例的建模和求解4精品資料1.實(shí)例(shílì)及其分析5精品資料實(shí)例(shílì)1：報童的利潤報童每天購進(jìn)報紙零售，晚上將賣不掉的報紙退回;每份報紙購進(jìn)價a，零售價b，退回價c:b≥a≥c;為獲得(huòdé)最大利潤，該報童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報紙？設(shè)a=0.8元，b=1元，c=0.75元，為報童提供最佳決策需求量100—120—140—160—180—200—220—240—260—280—天數(shù)3913223235201582159天報紙需求量的情況

6精品資料分析(fēnxī)：每天報紙需求量隨機(jī)，報童每天利潤也隨機(jī)；以每天平均利潤最大為目標(biāo)，確定最佳決策。數(shù)學(xué)模型近似(jìnsì)：決策變量：報童每天購進(jìn)報紙的份數(shù)n每天需求為r的天數(shù)所占的百分比，記做f(r);如200(-219)份所占的百分比為35/159=22%平均利潤：V(n)

實(shí)例1：報童的利潤（續(xù)）7精品資料實(shí)例2：路燈(lùdēng)更換策略管理部門：不亮燈泡，折合(zhéhé)計時進(jìn)行罰款。路政部門:路燈維護(hù)條件:需要專用云梯車進(jìn)行線路檢測和更換燈泡;向相應(yīng)管理部門提出電力使用和道路管制申請;向雇用的各類人員支付報酬等更換策略:

整批更換路政部門的問題：多長時間進(jìn)行一次燈泡的全部更換?換早了，很多燈泡還沒有壞；換晚了，要承受太多的罰款。8精品資料2.數(shù)據(jù)(shùjù)的整理和描述數(shù)據(jù)的收集和樣本的概念(gàiniàn)數(shù)據(jù)的整理、頻數(shù)表和直方圖統(tǒng)計量MATLAB命令9精品資料數(shù)據(jù)(shùjù)的收集銀行隨機(jī)選了50名顧客進(jìn)行(jìnxíng)調(diào)查測量每個顧客感覺舒適時的柜臺高度(單位：厘米)1001101369710410095120119991261131151089311610212212112211811711410611011912711912511910595117109140121122131108120115112130116119134124128115110銀行怎樣依據(jù)它確定柜臺高度呢？10精品資料樣本：統(tǒng)計研究(yánjiū)的主要對象總體--研究對象的全體。如所有顧客感覺(gǎnjué)舒適的高度個體--總體中一個基本單位。如一位顧客的舒適高度樣本--若干個體的集合。如50位顧客的舒適高度樣本容量--樣本中個體數(shù)。如50顧客群體的舒適高度~隨機(jī)變量X，概率分布F(x)n位顧客的舒適高度{xi,i=1,…n}(樣本)~相互獨(dú)立的、分布均為F(x)的一組隨機(jī)變量。樣本：隨機(jī)取值的一組數(shù)據(jù)；一組相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量。11精品資料數(shù)據(jù)(shùjù)的整理比較直觀，比較清晰的結(jié)論21—50歲的中青年患者(huànzhě)大約占總發(fā)病人數(shù)的3/4，提醒民眾中青年是易感人群。年齡10歲以下11-20歲21-30歲31-40歲41-50歲51歲以上總數(shù)人數(shù)241456773823323371897比例1.27%7.64%35.69%20.14%17.50%17.77%100%北京地區(qū)SARS患者的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（截至2003年5月5日）12精品資料頻數(shù)(pínshù)表將數(shù)據(jù)的取值范圍劃分(huàfēn)為若干個區(qū)間，統(tǒng)計這組數(shù)據(jù)在每個區(qū)間中出現(xiàn)的次數(shù)，稱為頻數(shù)，得到一個頻數(shù)表。柜臺高度頻數(shù)表中點(diǎn)95.35100.05104.75109.45114.15118.85123.55128.25132.95137.65頻數(shù)44368125422作用：推測出總體的某些簡單性質(zhì)。如上表表明選擇柜臺高度在107.10至125.90的有31人，占總?cè)藬?shù)的62%，柜臺高度設(shè)計在這個范圍內(nèi)，會得到大多數(shù)顧客的滿意。13精品資料直方圖(histogram)：頻數(shù)(pínshù)分布圖柜臺高度直方圖14精品資料平均值平均值(mean，簡稱(jiǎnchēng)樣本均值)定義為頻數(shù)(pínshù)表和直方圖給出某個范圍的狀況，無法直接給出具體值，如確定柜臺具體高度可作為設(shè)計柜臺高度的參考值15精品資料例：兩個(liǎnɡɡè)班的一次考試成績序號12345678910111213141516甲班92888592957984878865937388879480乙班84838285828182908478758378858479序號17181920212223242526272829303132甲班69868878796888875593798590539981乙班857390778182828086837778現(xiàn)象1：甲班平均值：82.75分，乙班平均值：81.75分結(jié)論：大致表明甲班的平均成績稍高于乙班現(xiàn)象2：甲班90分以上7人，但有2人不及格，分?jǐn)?shù)分散乙班全在73分到90分之間，分?jǐn)?shù)相對(xiāngduì)集中16精品資料考試成績直方圖甲乙17精品資料描述(miáoshù)數(shù)據(jù)的分散程度（統(tǒng)計上稱為變異）樣本(yàngběn)x=(x1,x2,,xn)的標(biāo)準(zhǔn)差(Standarddeviation)為：

甲班的標(biāo)準(zhǔn)差為10.98分，乙班的標(biāo)準(zhǔn)差為3.98分，表明甲班成績的分散程度遠(yuǎn)大于乙班。統(tǒng)計量：由樣本加工出來的、集中反映樣本數(shù)量特征的函數(shù)。三類統(tǒng)計量：位置，變異程度，分布形狀標(biāo)準(zhǔn)差18精品資料偏度(skewness)：分布(fēnbù)對稱性峰度(kurtosis)：分布(fēnbù)形狀表示位置的還有：中位數(shù)(median)：將數(shù)據(jù)由小到大排序后處于中間位置的那個數(shù)值。n為奇數(shù)時，中位數(shù)唯一確定；n為偶數(shù)時，定義為中間兩數(shù)的平均值表示變異程度的還有：極差(range)：x1,x2,,xn的最大值與最小值之差。方差(variance)：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2。表示分布形狀的：統(tǒng)計量19精品資料MATLAB數(shù)據(jù)(shùjù)描述的常用命令命令名稱輸入輸出注意事項(xiàng)[n,y]=hist(x,k)頻數(shù)表x:原始數(shù)據(jù)行向量k：等分區(qū)間數(shù)n:頻數(shù)行向量y:區(qū)間中點(diǎn)行向量[n,y]=hist(x)中k取缺省值10hist(x,k)直方圖同上直方圖同上mean(x)均值x:原始數(shù)據(jù)行向量median(x)中位數(shù)同上中位數(shù)range(x)極差同上極差std(x）標(biāo)準(zhǔn)差同上標(biāo)準(zhǔn)差sstd(x,1):s1var(x）方差同上方差s2var(x,1):s12skewness(x)偏度同上偏度g1kurtosis(x)峰度同上峰度g220精品資料求銀行柜臺高度(gāodù)的頻數(shù)表、直方圖及均值等統(tǒng)計量：示例(shìlì)輸出圖和下列結(jié)果：N=44368125422Y=95.3500100.0500104.7500109.4500114.1500118.8500123.5500128.2500132.9500137.6500x1=115.2600，x2=116.5000x3=47，x4=10.9690x5=-0.0971，x6=2.621621精品資料3.隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)的概率分布及數(shù)字特征頻率與概率概率密度與分布函數(shù)期望和方差常用(chánɡyònɡ)的概率分布MATLAB命令22精品資料頻率(pínlǜ)與概率保證抽取樣本的隨機(jī)性和獨(dú)立性:樣本容量無限增大(zēnɡdà)時，頻率會趨向一個確定值;這個值稱為隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間（a,b]的概率(Probability),記作頻率:樣本數(shù)據(jù)在一個確定區(qū)間（a,b]的頻數(shù)k與樣本容量n的比值23精品資料概率密度與分布(fēnbù)函數(shù)概率密度函數(shù)(Probabilitydensityfunction，簡稱(jiǎnchēng)概率密度)：概率分布函數(shù)（Cumulativedistributionfunction，簡稱分布函數(shù)）對于連續(xù)隨機(jī)變量24精品資料p(x)示例(shìlì)25精品資料期望(qīwàng)和方差隨機(jī)變量X的期望(qīwàng)就是平均值的意思，記作EX或方差總體均值（方差）與樣本均值（方差）的關(guān)系：26精品資料常用(chánɡyònɡ)的概率分布均勻分布(Uniformdistribution)：X~U(a,b)指數(shù)分布(Exponentialdistribution)：X~Exp()

27精品資料相應(yīng)(xiāngyīng)的密度函數(shù)28精品資料正態(tài)分布(Normdistribution)：常用(chánɡyònɡ)的概率分布標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正態(tài)分布29精品資料分布(fēnbù)(Chisquare):，n稱自由度定義(dìngyì)：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量其中相互獨(dú)立、常用的概率分布

30精品資料n為自由度t分布(fēnbù)（Student分布(fēnbù)）其中，X,Y相互獨(dú)立定義：常用(chánɡyònɡ)的概率分布31精品資料F分布(fēnbù)：稱自由度相互獨(dú)立定義：常用(chánɡyònɡ)的概率分布32精品資料記n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功的次數(shù)(cìshù)是隨機(jī)變量X二項(xiàng)分布（Binomialdistribution）X~B(n,p)背景(bèijǐng)問題：產(chǎn)品檢驗(yàn)中的廢品個數(shù)常用的概率分布：離散分布

貝努利試驗(yàn)：一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果（成功和失?。┯洺晒Φ母怕蕿閜，q=1-p33精品資料

當(dāng)二項(xiàng)分布的n，np（常數(shù)(chángshù)）時泊松分布(fēnbù)（Poissondistribution）X~Poiss(),背景問題：服務(wù)系統(tǒng)在一定時間內(nèi)接到的呼喚數(shù)(到達(dá)率)常用的概率分布：離散分布

34精品資料MATLAB命令(mìnglìng)分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布分布t分布F分布二項(xiàng)分布泊松分布字符unifexpnormchi2tfbinopoiss功能概率密度分布函數(shù)逆概率分布均值與方差隨機(jī)數(shù)生成字符pdfcdfinvstatrndy=normpdf(1.5,1,2)正態(tài)分布(=1,=2)在x=1.5處的概率密度（標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正態(tài)分布的,可省略）y=normcdf([-101.5],0,2)在x=-1,0,1.5處分布函數(shù)值[m,v]=fstat(3,5)計算F(3,5)的期望和方差x=tinv(0.3,10)計算t(10)的0.3-分位數(shù)35精品資料二維正態(tài)分布二維隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)二維隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)聯(lián)合分布密度函數(shù)邊際分布密度函數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)36精品資料二維隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ):MATLAB命令cov(x,y)計算(jìsuàn)協(xié)方差(矩陣)

corrcoef(x,y)

計算相關(guān)系數(shù)(矩陣)二維隨機(jī)數(shù)生成/二維密度函數(shù)(例)mu=[1-1],Sigma=[.9.4;.4.3],X=mvnrnd(mu,Sigma,10),p=mvnpdf(X,mu,Sigma)二維數(shù)據(jù)處理37精品資料4.用隨機(jī)(suíjī)模擬計算數(shù)值積分4.1定積分(jīfēn)的計算4.2重積分(jīfēn)的計算4.3MATLAB實(shí)現(xiàn)38精品資料方法的直觀(zhíguān)解釋——隨機(jī)投石y101x·向單位(dānwèi)正方形里隨機(jī)投n塊小石頭*******若有k塊小石頭落在1/4單位圓內(nèi)，當(dāng)n很大時1/4單位圓的面積（計算的一種方法）1）隨機(jī)投點(diǎn)法目的：計算1/4單位圓的面積39精品資料大數(shù)(dàshù)定律（貝努利定理）隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)(X,Y)在單位正方形內(nèi)均勻分布點(diǎn)(xi,yi)落在1/4單位圓內(nèi)概率y101x·一般地投點(diǎn)坐標(biāo)(xi,yi),xi,yi是相互獨(dú)立、(0,1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量（(0,1)隨機(jī)數(shù)）設(shè)k是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對任意的正數(shù),有40精品資料產(chǎn)生n組(0,1)隨機(jī)數(shù)(xi,yi),其中k組滿足隨機(jī)投點(diǎn)法y101x·隨機(jī)(suíjī)投點(diǎn)法(續(xù))41精品資料大數(shù)定律(dìnglǜ)（辛欽定理）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立(dúlì)，服從同一個分布，且具有數(shù)學(xué)期望則對任意的正數(shù)有隨機(jī)變量X的概率密度為的期望為2)均值估計法產(chǎn)生(a,b)區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)xi(i=1,2,…n),n很大42精品資料用隨機(jī)模擬(mónǐ)方法計算任意區(qū)間上的積分其中(qízhōng)ui為(0,1)隨機(jī)數(shù)均值估計法不要產(chǎn)生yi,不用比較限制；沒有均值估計法的優(yōu)點(diǎn)均值估計法(續(xù))43精品資料隨機(jī)模擬法計算(jìsuàn)重積分xy

1

0

1g2(x)g1(x)產(chǎn)生相互(xiānghù)獨(dú)立(0,1)隨機(jī)數(shù)xi,yi,,i=1,…n；落在內(nèi)m個點(diǎn)記作(xk,yk),k=1,…m可用于任意的f,,且可推廣至高維結(jié)果的精度和收斂速度與維數(shù)無關(guān)計算量大，精度低，結(jié)果具有隨機(jī)性44精品資料一般區(qū)間重積分(jīfēn)的計算

分別為[a,b]和[c,d]區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)數(shù)，判斷每個點(diǎn)是否落在Ω域內(nèi)，將落在Ω域內(nèi)的m個點(diǎn)記作則

45精品資料MATLAB實(shí)現(xiàn)(shíxiàn)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(chǎnshēng)：unifrnd(a,b,m,n)產(chǎn)生m行n列[a,b]區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)數(shù)。當(dāng)a=0,b=1時，可用rand(m,n)隨機(jī)投點(diǎn)法計算

n=10000;x=rand(2,n);k=0;fori=1:nifx(1,i)^2+x(2,i)^2<=1k=k+1;endendp=4*k/n46精品資料xy0積分(jīfēn)域和被積函數(shù)的對稱性蒙特卡羅方法(fāngfǎ):x取(0,a)隨機(jī)數(shù),y取(0,b)隨機(jī)數(shù)例:炮彈命中概率1是橢圓在第1象限的部分47精品資料5.實(shí)例(shílì)的建模和求解報童的利潤路燈(lùdēng)更換策略48精品資料報童(bàotóng)的利潤1）每份報紙(bàozhǐ)的購進(jìn)價a，零售價b，退回價為c假設(shè)：2）需求為連續(xù)隨機(jī)變量x，大致服從正態(tài)分布3）將歷史的統(tǒng)計表看作需求量的頻率，由此