回歸分析的基本思想及應(yīng)用

精品資料精品資料●課程目標(biāo)1．雙基目標(biāo)(1)通過(guò)典型(diǎnxíng)案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用．(2)通過(guò)典型(diǎnxíng)案例的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用．2．情感目標(biāo)本章提供了數(shù)據(jù)處理的方法，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理和分析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的直觀(guān)特點(diǎn)、增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧己闷焚|(zhì)．精品資料●重點(diǎn)難點(diǎn)本章重點(diǎn)：回歸分析、殘差分析、相關(guān)指數(shù)的意義以及獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2的有關(guān)計(jì)算．本章難點(diǎn)：借助于回歸分析的思想選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛿M合變量間的相關(guān)關(guān)系(尤其是非線(xiàn)性的)，由于該部分內(nèi)容的數(shù)據(jù)相對(duì)較復(fù)雜，故在高考(ɡāokǎo)中出現(xiàn)大題的可能性不是很大，應(yīng)以選擇、填空題為主，旨在考察對(duì)回歸方程的求解及預(yù)測(cè)，K2的計(jì)算等．精品資料●學(xué)法探究本章內(nèi)容是統(tǒng)計(jì)案例中常見(jiàn)方法中的兩種：回歸分析和獨(dú)立性的檢驗(yàn)．通過(guò)對(duì)典型案例的學(xué)習(xí)，理解問(wèn)題和方法的實(shí)質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的基本(jīběn)思想．在學(xué)習(xí)過(guò)程中多與社會(huì)實(shí)踐相結(jié)合，親自動(dòng)手實(shí)踐，加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，鞏固知識(shí)，不斷創(chuàng)新，多尋找規(guī)律，形成方法．精品資料1．1回歸分析的基本(jīběn)思想及其初步應(yīng)用精品資料精品資料1．知識(shí)與技能通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀(guān)認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系．2．過(guò)程與方法通過(guò)求線(xiàn)性回歸方程，探究(tànjiū)相關(guān)性檢驗(yàn)的基本思想．通過(guò)對(duì)典型案例的探究(tànjiū)，體會(huì)回歸分析在生產(chǎn)實(shí)際和日常生活中的廣泛應(yīng)用．精品資料精品資料本節(jié)重點(diǎn)：了解(liǎojiě)線(xiàn)性回歸模型與函數(shù)模型的差異，了解(liǎojiě)判斷刻畫(huà)模型擬合效果的方法——相關(guān)指數(shù)和殘差分析．本節(jié)難點(diǎn)：解釋殘差變量的含義，了解(liǎojiě)偏差平方和分解的思想．精品資料精品資料1．通過(guò)復(fù)習(xí)線(xiàn)性回歸方程，探究相關(guān)性檢驗(yàn)的基本(jīběn)思想．2．培養(yǎng)類(lèi)比、遷移、化歸的能力．精品資料精品資料一、相關(guān)關(guān)系的概念當(dāng)一個(gè)變量取值一定(yīdìng)時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定(yīdìng)隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．二、回歸分析的相關(guān)概念1．回歸分析是處理兩個(gè)變量之間 的一種統(tǒng)計(jì)方法．若兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則稱(chēng)相應(yīng)的回歸分析為 ．相關(guān)(xiāngguān)關(guān)系線(xiàn)性回歸分析精品資料精品資料3．線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系強(qiáng)與弱的判斷：用 來(lái)描述線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量 ；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量 ．r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間 線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|大于 時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．4．隨機(jī)誤差的概念：當(dāng)樣本點(diǎn)散布在某一條(yītiáo)直線(xiàn)的附近，而不是在一條(yītiáo)直線(xiàn)上時(shí)，不能用一次函數(shù)y＝bx＋a來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，而是用線(xiàn)性回歸模型

來(lái)表示，其中 為模型的未知參數(shù)， 稱(chēng)為隨機(jī)誤差．相關(guān)系數(shù)r正相關(guān)(xiāngguān)負(fù)相關(guān)幾乎不存在0.75y＝bx＋a＋ea和be精品資料精品資料R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果越 ．在線(xiàn)性回歸(huíguī)模型中，R2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的 ．R2越接近于1，表示回歸(huíguī)的效果越好(因?yàn)镽2越接近于1，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng))．好貢獻(xiàn)率精品資料精品資料(2)利用圖形來(lái)分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為

，橫坐標(biāo)可以選為 ，這樣作出的圖形稱(chēng)為殘差圖．如果圖中有某個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤．如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線(xiàn)性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因．另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用(xuǎnyòng)的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．殘差樣本(yàngběn)編號(hào)精品資料回歸分析問(wèn)題有線(xiàn)性回歸問(wèn)題和非線(xiàn)性回歸問(wèn)題，對(duì)于非線(xiàn)性回歸問(wèn)題，往往利用轉(zhuǎn)換變量的方法(fāngfǎ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變?yōu)榫€(xiàn)性回歸問(wèn)題．精品資料精品資料[例1]有下列說(shuō)法：①線(xiàn)性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線(xiàn)，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀(guān)判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線(xiàn)性關(guān)系表示；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀(guān)測(cè)值都可以求得一個(gè)(yīɡè)線(xiàn)性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ()精品資料A．1 B．2C．3 D．4[分析]由題目可獲取以下信息：①線(xiàn)性回歸分析；②散點(diǎn)圖；③相關(guān)性檢驗(yàn)等的相關(guān)概念及意義．解答本題(běntí)可先逐一核對(duì)相關(guān)概念及其性質(zhì)，然后再逐一作出判斷，最后得出結(jié)論．精品資料[答案]C[解析]①反映的正是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫(huà)散點(diǎn)圖的作用，也正確．③解釋的是回歸方程＝x＋的作用，故也正確．④是不正確的，在求回歸方程之前必須進(jìn)行(jìnxíng)相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．[點(diǎn)評(píng)]線(xiàn)性回歸分析的過(guò)程：(1)隨機(jī)抽取樣本，確定數(shù)據(jù)，形成樣本點(diǎn)(2)由樣本點(diǎn)形成散點(diǎn)圖，判定是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；(3)由最小二乘法確定線(xiàn)性回歸方程；(4)由回歸方程觀(guān)察變量的取值及變化趨勢(shì)．精品資料下列有關(guān)線(xiàn)性回歸的說(shuō)法，不正確的是 ()A．變量取值一定(yīdìng)時(shí)，因變量的取值帶有一定(yīdìng)隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖C．線(xiàn)性回歸方程最能代表具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的x，y之間的關(guān)系D．任何一組觀(guān)測(cè)值都能得到具有代表意義的線(xiàn)性回歸方程精品資料[答案]D[解析]只有對(duì)兩個(gè)變量具有(jùyǒu)線(xiàn)性相關(guān)性作出判斷時(shí)，利用最小乘法求出線(xiàn)性方程才有意義.精品資料[例2]某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)(duìyìng)數(shù)據(jù)：(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)求y關(guān)于x的回歸直線(xiàn)方程．精品資料[解析(jiěxī)](1)散點(diǎn)圖如圖所示．精品資料(2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)(yǒuguān)計(jì)算.精品資料[點(diǎn)評(píng)]求回歸直線(xiàn)方程，關(guān)鍵在于正確地求出，，由于，的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行(jìnxíng)，避免計(jì)算失誤．精品資料精品資料精品資料精品資料[例3]一個(gè)車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額(dìngé)，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：把零件數(shù)x作為解釋變量，加工時(shí)間y作為預(yù)報(bào)變量．(1)計(jì)算總偏差平方和、殘差平方和及相關(guān)指數(shù)；(2)作出殘差圖；(3)進(jìn)行殘差分析．精品資料[解析(jiěxī)](1)由x，y的數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖如圖．精品資料由散點(diǎn)圖可以認(rèn)為樣本點(diǎn)大致分布在某條直線(xiàn)的附近，因此可以用線(xiàn)性回歸模型(móxíng)來(lái)擬合．設(shè)線(xiàn)性回歸方程為＝＋x，列出下表：續(xù)表精品資料精品資料將數(shù)據(jù)代入相應(yīng)(xiāngyīng)公式可得如下數(shù)據(jù)表：精品資料續(xù)表精品資料(2)作出殘差圖如圖，橫坐標(biāo)為零件(línɡjiàn)數(shù)的數(shù)據(jù)，縱坐標(biāo)為殘差．精品資料(3)由題中數(shù)據(jù)可得樣本相關(guān)系數(shù)r的值為0.9998，再結(jié)合散點(diǎn)圖可以說(shuō)明x與y有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．由R2的值可以看出回歸效果很好，也說(shuō)明用線(xiàn)性回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好．由殘差圖也可以觀(guān)察到，第4個(gè)樣本點(diǎn)和第5個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集在這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤．[點(diǎn)評(píng)]本題涉及公式多且復(fù)雜，計(jì)算量也很大，需首先了解(liǎojiě)公式，明白原理．精品資料(2)在利用殘差圖對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析時(shí)，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸f(shuō)明模型擬合精度(jīnɡdù)越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度(jīnɡdù)越高．精品資料某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動(dòng)成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系(guānxì)如下：(1)作出散點(diǎn)圖；(2)求出線(xiàn)性回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計(jì)算R2；(5)試預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練47次及55次的成績(jī)．精品資料[解析](1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(jī)(chéngjì)(y)之間的散點(diǎn)圖，如圖所示，由散點(diǎn)圖可知，它們之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．精品資料精品資料(3)殘差分析作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用(xuǎnyòng)的模型比較合適．精品資料(4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2＝0.9855.說(shuō)明了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的差異(chāyì)有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的．精品資料精品資料[例4]煉鋼廠(chǎng)出鋼時(shí)所用的盛鋼水的鋼包，在使用過(guò)程中，由于鋼液廠(chǎng)爐渣對(duì)包襯耐火材料的侵蝕(qīnshí)，使其容積不斷增大，請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出使用次數(shù)x與增大的容積y之間的關(guān)系.精品資料續(xù)表[解析]先根據(jù)試驗(yàn)(shìyàn)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示．精品資料精品資料精品資料精品資料[點(diǎn)評(píng)]作出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖選擇合適(héshì)的回歸方程類(lèi)型是解決本題的關(guān)鍵，在這里線(xiàn)性回歸模型起了轉(zhuǎn)化的作用．對(duì)于非線(xiàn)性回歸問(wèn)題，并沒(méi)有給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與必修模塊《數(shù)學(xué)1》中學(xué)過(guò)的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)的圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸問(wèn)題，使其得到解決．精品資料精品資料[例5]在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)值如下表：試建立(jiànlì)y與x之間的回歸直線(xiàn)方程．精品資料精品資料[辨析]此題解法是錯(cuò)誤的，原因是這兩個(gè)變量之間不是線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．此類(lèi)問(wèn)題的解決，應(yīng)先對(duì)兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，然后(ránhòu)結(jié)合作出的散點(diǎn)圖，選擇適宜的回歸方程．精品資料精品資料由置換(zhìhuàn)后的數(shù)值表作散點(diǎn)如圖所示：精品資料由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系(guānxì)．列表如下：精品資料精品資料精品資料一、選擇題1．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 ()A．如果變量x與y之間存在著線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則我們根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到(dédào)的點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)將散布在某一條直線(xiàn)的附近B．如果兩個(gè)變量x與y之間不存在線(xiàn)性關(guān)系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫(xiě)出一個(gè)線(xiàn)性方程精品資料[答案]B[解析]兩變量x與y之間不存在(cúnzài)線(xiàn)性關(guān)系，根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…n)可通過(guò)已有的函數(shù)知識(shí)進(jìn)行變換，利用線(xiàn)性回歸模型來(lái)建立y與x之間的非線(xiàn)性回歸方程精品資料A．y平均增加(zēngjiā)2.5個(gè)單位B．y平均增加(zēngjiā)2個(gè)單位C．y平均減少2.5個(gè)單位D．y平均減少2個(gè)單位[答案]C精品資料精品資料[答案(dáàn)]C精品資料4．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)(hánshù)關(guān)系的是()A．角度和余弦值B．正n邊形的邊數(shù)和一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)C．棱錐的體積和底面積D．某種物質(zhì)和溶解度和溫度[答案]D精品資料精品資料6．某種產(chǎn)品(chǎnpǐn)的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y(單位：萬(wàn)元)之間有下表關(guān)系：已知y與x之間是線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，若實(shí)際銷(xiāo)售額不低于82.5萬(wàn)元，則廣告費(fèi)支出最少是__________萬(wàn)元．[答案]10[解析]由本節(jié)例2可知y關(guān)于x