高二（上學期）期末考試數(shù)學試卷

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁高二（上學期）期末考試數(shù)學試卷（含答案解析）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若，則n=（

）A．1 B．8 C．9 D．102．期末考試結(jié)束后，某班要安排節(jié)課進行試卷講評，要求課程表中要排入語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物共六節(jié)課，如果第一節(jié)課只能排語文或數(shù)學，最后一節(jié)不能排語文，則不同的排法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．一臺型號自動機床在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8，有4臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則在一小時內(nèi)至多2臺機床需要工人照看的概率是（

）A． B． C． D．4．某市氣象部門根據(jù)2021年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值（單位：℃）數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖：那么，下列敘述錯誤的是（

）A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有5個D．從2021年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值都呈下降趨勢5．若，則，，已知，則（

）A． B． C． D．6．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是（

）A．有1%的人認為該欄目優(yōu)秀；B．有1%的把握認為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系；C．有99%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系；D．沒有理由認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系.7．若，則的值為．A． B． C． D．8．關(guān)于的二項展開式，下列說法正確的是（

）A．的二項展開式的各項系數(shù)和為B．的二項展開式的第五項與的二項展開式的第五項相同C．的二項展開式的第三項系數(shù)為D．的二項展開式第二項的二項式系數(shù)為9．如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個3×2×3的長方體框架，一個建筑工人欲從A處沿腳手架攀登至B處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為（

）A． B． C． D．10．三棱錐中PA?PB?PC兩兩互相垂直，，，則其體積（

）A．有最大值4 B．有最大值2 C．有最小值2 D．有最小值4二、填空題11．最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則___________.12．某班舉行的聯(lián)歡會由5個節(jié)目組成,節(jié)目演出順序要求如下:節(jié)目甲不能排在第一個,并且節(jié)目甲必須和節(jié)目乙相鄰.則該班聯(lián)歡會節(jié)目演出順序的編排方案共有____種.13．若隨機變量X的概率分布如表，則表中a的值為______.14．設隨機變量ξ~B(2，p)，若P(ξ≥1)=，則D(ξ)的值為_________.15．已知等差數(shù)列中，，則和乘積的最大值是______.16．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為___________.17．經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應概率如下：排隊人數(shù)01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04則該營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是_____．18．點A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距離為，則該球的體積為___________.19．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，平面平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若點是線段的中點，請問在線段是否存在點，使得面？若存在，請說明點的位置，若不存在，請說明理由；（Ⅲ）求二面角的大小.20．四根繩子上共掛有10只氣球,繩子上的球數(shù)依次為1,2,3,4，每槍只能打破一只球,而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球,則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是________.三、解答題21．已知集合，定義上兩點，的距離.（1）當時，以下命題正確的有__________（不需證明）：①若，，則；②在中，若，則；③在中，若，則;（2）當時，證明中任意三點滿足關(guān)系；（3）當時，設，，，其中，.求滿足點的個數(shù)，并證明從這個點中任取11個點，其中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于.22．今年4月，教育部辦公廳印發(fā)了《關(guān)于加強義務教育學校作業(yè)管理的通知》，規(guī)定初中學生書面作業(yè)平均完成時長不超過90分鐘．某市為了更好地貫徹落實“雙減”工作要求，作教育決策，該市教育科學研究院就當前全市初三學生每天完成書面作業(yè)時長抽樣調(diào)查，結(jié)果是學生書面作業(yè)時長（單位：分鐘）都在區(qū)間內(nèi)，書面作業(yè)時長的頻率分布直方圖如下：(1)若決策要求：在國家政策范圍內(nèi)，若當前初三學生書面作業(yè)時長的中位數(shù)估計值大于或等于平均數(shù)（計算平均數(shù)時，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代表）估計值，則減少作業(yè)時長；若中位數(shù)估計值小于平均數(shù)，則維持現(xiàn)狀．請問：根據(jù)這次調(diào)查，該市應該如何決策？(2)調(diào)查統(tǒng)計時約定：書面作業(yè)時長在區(qū)間內(nèi)的為層次學生，在區(qū)間內(nèi)的為層次學生，在區(qū)間內(nèi)的為層次學生，在其它區(qū)間內(nèi)的為層次學生．現(xiàn)對書面作業(yè)時長在70分鐘以上（含70分鐘）的初三學生，按作業(yè)時長出現(xiàn)的頻率用分層抽樣的方法隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人作進一步調(diào)查，設這3人來自個不同層次，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．23．國家文明城市評審委員會對甲?乙兩個城市是否能入圍“國家文明城市”進行走訪調(diào)查.派出10人的調(diào)查組.先后到甲?乙兩個城市的街道?社區(qū)進行問卷調(diào)查，然后打分（滿分100分）.他們給出甲?乙兩個城市分數(shù)的莖葉圖如圖所示：(1)請你用統(tǒng)計學的知識分析哪個城市更應該入圍“國家文明城市”，請說明理由；(2)從甲?乙兩個城市的打分中各抽取2個，在已知有大于80分的條件下，求抽到乙城市的分數(shù)都小于80分的概率；(3)從對乙城市的打分中任取2個，設這2個分數(shù)中不小于80分的個數(shù)為X，求X的分布列和期望.參考答案：1．B【分析】根據(jù)排列數(shù)的運算求解即可.【詳解】由得，，又，所以，解得，所以正整數(shù)n為8．故選：B.2．B【分析】對第一節(jié)課的安排進行分類討論，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：①若第一節(jié)課安排語文，則后面五節(jié)課的安排無限制，此時共有種；②若第一節(jié)課安排數(shù)學，則語文可安排在中間四節(jié)課中的任何一節(jié)，此時共有種.綜上所述，不同的排法共有種.故選：B.3．D【詳解】設在一個小時內(nèi)有ξ臺機床需要工人照看，則ξ～B(4,0.2)，所以P(ξ≤2)＝(0.8)4＋(0.8)3×0.2＋(0.8)2×(0.2)2＝0.9728.故選D4．D【分析】利用折線圖可以判斷選項ABC正確，從2021年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，所以選項D錯誤.【詳解】解：由2021年各月的每天最高氣溫平均值和最低氣溫平均值（單位：數(shù)據(jù)，繪制出的折線圖，知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān)，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2021年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D．5．C【分析】由題意，得，再利用原則代入計算即可.【詳解】∵，由，，∴.故選：C6．C【分析】利用獨立性檢驗的基本原理即可求出答案．【詳解】解：∵表示“電視欄目是否優(yōu)秀與改革沒有關(guān)系”的概率，∴有99%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，故選：C．【點睛】本題主要考查獨立性檢驗的基本應用，準確的理解判斷方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．D【詳解】分析：令，再求f(-1)的值得解.詳解：令，．故答案為．點睛：（1）本題主要考查二項式定理中的系數(shù)求法問題，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)：對于，，.8．A【分析】利用賦值法求出展開式各項系數(shù)和，即可判斷A，根據(jù)二項式展開式的通項，即可判斷B、C、D；【詳解】解：展開式的通項為，故第二項的二項式系數(shù)為，故D錯誤；第三項的系數(shù)為，故C錯誤；的展開式的第五項為，的展開式的第五項為，故B錯誤；令則，即的二項展開式的各項系數(shù)和為，故A正確；故選：A9．B【解析】將問題抽象成“向左三次，向前兩次，向上三次”，計算出總的方法數(shù)，然后利用插空法計算出最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從的方向看，行走方向有三個：左、前、上.從到的最近的行走線路，需要向左三次，向前兩次，向上三次，共次.所以從到的最近的行走線路，總的方法數(shù)有種.不連續(xù)向上攀登的安排方法是：先將向左、向前的安排好，再對向上的方法進行插空.故方法數(shù)有：.所以最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，考查有重復的排列組合問題，考查插空法，屬于中檔題.10．B【分析】依題意可得再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：依題意，當且僅當時取等號，所以，故選：B11．65【分析】由最小二乘法得到的線性回歸方程過點，代入即可解決【詳解】由可知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，又線性回歸方程過點，所以，故故答案為：6512．42【分析】由題意可知，甲可排在第二、三、四、五個，再根據(jù)甲、乙相鄰，分別計算.【詳解】由題意可知，甲可排在第二、三、四、五個，當甲排在第二、三、四個時，甲乙相鄰，有種排法，將甲乙當做一個整體，剩下三個節(jié)目全排列，共3××=36種當甲排在第五個時，甲乙相鄰，只有一種排法，剩下三個節(jié)目全排列，共=6種綜上，編排方案共36+6=42種【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理，分類時要注意不重不漏；解決排列問題時，相鄰問題常用捆綁法，特殊位置要優(yōu)先考慮.13．0.2【解析】利用概率和為1可求出答案.【詳解】由隨機變量X的概率分布表得：，解得.故答案為：0.2【點睛】本題考查的是分布列的性質(zhì)，較簡單.14．【分析】由二項分布的特征，先求出，套公式即可求出D(ξ).【詳解】因為隨機變量ξ~B(2，p)，且P(ξ≥1)=，所以P(ξ≥1)===.解得：.所以D(ξ).故答案為：15．9【分析】設出公差，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，表示出，再列式即可求得結(jié)果.【詳解】因為是等差數(shù)列，設公差為d，可得，于是得，當且僅當d=0，即時，取得最大值.故答案為：9.【點睛】本題考查等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.16．##0.04608【分析】認真分析該選手所有可能的答題情況，是本題的關(guān)鍵【詳解】由該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪，說明他第4、第5兩個問題是連續(xù)答對的，第3個問題沒有答對，第1和第2兩個問題也沒有全部答對，即他答題結(jié)果可能有三種情況：或或，根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公式，可得該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為故答案為：0.0460817．0.74【詳解】試題分析：表示人數(shù)，.考點：互斥事件的概率.18．【分析】根據(jù)截面圓性質(zhì)，先求出截面圓半徑，然后由求得球半徑，從而求得體積．【詳解】因為，，，所以，所以三角形外接圓半徑，又球心O到截面的距離為，所以球的半徑為．球體積為．故答案為：．19．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得，然后由面面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)果；（Ⅱ）當點是線段的中點時，利用中位線定理可得，進而得出面；（Ⅲ）利用二面角的定義先確定是二面角的平面角，易求得，從而求得二面角的平面角為的度數(shù)．試題解析：（Ⅰ）因為四邊形為正方形，所以．因為平面平面，且平面平面，所以平面．（Ⅱ）當點是線段的中點時，有面，連結(jié)交于點，連結(jié)，因為點是中點，點是線段的中點，所以．又因為面，面，所以面.（Ⅲ）因為平面，所以.又因為，所以面，所以面，所以，，所以是二面角的平面角，易得，所以二面角的平面角為45°.考點：1、線面垂直的判定；2、線面平行的判定；2、二面角．【方法點睛】立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究，對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究．解決這類問題時一般根據(jù)探索性問題的設問，假設其存在并探索出結(jié)論，然后在假設下進行推理，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設，若得到矛盾就否定假設．20．12600【詳解】問題等價于編號為的10個小球排列，其中號，號，號的排列順序是固定的，據(jù)此可得：將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是.21．（1）①；（2）證明見解析；（3），證明見解析．【解析】（1）①根據(jù)新定義直接計算．②根據(jù)新定義，寫出等式兩邊的表達式，觀察它們是否相同，即可判斷；③由新定義寫出等式的表達式，觀察有無；（2）由新定義，寫出不等式兩邊的表達式，根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明；（3）根據(jù)新定義，及絕對值的性質(zhì)得點是以為對角線的正方體的表面和內(nèi)部的整數(shù)點，共125個，把它們分布在五個平面上，這五個面一個面取3個點，相鄰面上取一個點，以它們?yōu)轫旤c構(gòu)成三棱錐（能構(gòu)成時），棱錐的體積不超過，然后任取11點中如果沒有4點共面，但至少有一個平面內(nèi)有3個點．根據(jù)這3點所在平面分類討論可得．【詳解】（1）當時，①若，，則，①正確；②在中，若，則，設，所以而，，但不一定成立，②錯誤；③在中，若，在②中的點坐標，有，但不一定成立，因此不一定成立，從而不一定成立，③錯誤．空格處填①（2）證明：設，根據(jù)絕對值的性質(zhì)有，，所以．,（3），，所以，當且僅當以上三個等號同時成立，又由已知，∴，又，∴，，點是以為對角線的正方體內(nèi)部（含面上）的整數(shù)點，共125個，．這125個點在這五面內(nèi)．這三個平面內(nèi)，一個面上取不共線的3點，相鄰面上再取一點構(gòu)成一個三棱錐．則這個三棱錐的體積最大為，現(xiàn)在任取11個點，若有四點共面，則命題已成立，若其中無4點共面，但11個點分在5個平面上至少有一個平面內(nèi)有3個點（顯然不共線），若這三點在這三個平面中的一個上，與這個面相鄰的兩個面上如果有一點，那么這一點與平面上的三點這四點可構(gòu)成三棱錐的四個頂點，其體積不超過，否則還有8個點在平面和上，不合題意，若這三個點在平面或上，不妨設在平面，若在平面在一個點，則同樣四點構(gòu)成的三棱錐體積不超過，否則剩下的8個點在三個平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一種分布都有四點構(gòu)成的三棱錐體積不超過，綜上，任取11個點，其中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題新定義距離，解題關(guān)鍵是利用新定義轉(zhuǎn)化為絕對值，利用絕對值的性質(zhì)解決一些問題．本題還考查了抽屜原理，11個放在5個平面上，至少有一個平面內(nèi)至少有3點，由此分類討論可證明結(jié)論成立．22．(1)該市應該作出減少作業(yè)時長的決策；(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合頻率