張量彈性力學(xué)2

幾個(gè)基本概念張量的概念只需指明其大小即足以被說明的物理量，稱為標(biāo)量溫度、質(zhì)量、力所做的功除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量物體的速度、加速度在討論力學(xué)問題時(shí)，僅引進(jìn)標(biāo)量和矢量的概念是不夠的如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)、慣性矩、彈性模量等張量關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成：M=rn=3n標(biāo)量:n=0,零階張量矢量:n=1,一階張量應(yīng)力,應(yīng)變等:n=2,二階張量二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義。

幾個(gè)基本概念為了書寫上的方便，在張量的記法中，都采用下標(biāo)字母符號來表示和區(qū)別該張量的所有分量。這種表示張量的方法，就稱為下標(biāo)記號法。下標(biāo)記號法:不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號,在其變程N(yùn)(關(guān)于三維空間N＝3)內(nèi)分別取數(shù)1，2，3，…，N重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號稱為啞標(biāo)號,取其變程N(yùn)內(nèi)所有分量，然后再求和，也即先羅列所有各分量，然后再求和。自由標(biāo)號:啞標(biāo)號:

幾個(gè)基本概念當(dāng)一個(gè)下標(biāo)符號在一項(xiàng)中出現(xiàn)兩次時(shí)，這個(gè)下標(biāo)符號應(yīng)理解為取其變程N(yùn)中所有的值然后求和，這就叫做求和約定。求和約定:dij記號：Kroneker-delta記號

幾個(gè)基本概念凡是同階的兩個(gè)或兩個(gè)以上的張量可以相加(減），并得到同階的一個(gè)新張量，法則為：張量的計(jì)算:1、張量的加減第一個(gè)張量中的每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量，從而得到一個(gè)新的分量的集合—新張量，新張量的階數(shù)等于因子張量的階數(shù)之和。2、張量的乘法張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個(gè)分量都對坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)。3、張量函數(shù)的求導(dǎo)彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)1.1應(yīng)力張量1.2偏量應(yīng)力張量1.3應(yīng)變張量1.4應(yīng)變速率張量1.5應(yīng)力、應(yīng)變Lode參數(shù)1.1應(yīng)力張量～力學(xué)的語言yxzO正應(yīng)力剪應(yīng)力過C點(diǎn)可以做無窮多個(gè)平面K不同的面上的應(yīng)力是不同的到底如何描繪一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)?1).一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzxtzysztxytxzsxtxytxzsxtzxtzyszPABC1.1應(yīng)力張量一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由過該點(diǎn)的微小正平行六面體上的應(yīng)力分量來確定。應(yīng)力張量數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定坐標(biāo)變換式的九個(gè)數(shù)所定義的量叫做二階張量。用張量下標(biāo)記號法下標(biāo)1、2、3表示坐標(biāo)x1、x2、x3即x、y、z方向(1.1)(1.2)1.1應(yīng)力張量2).一點(diǎn)斜面上的應(yīng)力(不計(jì)體力)i：自由下標(biāo)；j為求和下標(biāo)（同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)）。斜截面外法線n的方向余弦:令斜截面ABC的面積為1(1.3)(1.4)1.1應(yīng)力張量斜截面OABC上的正應(yīng)力:斜截面OABC上的剪應(yīng)力:(1.5)(1.6)1.1應(yīng)力張量3).主應(yīng)力及其不變量主平面:剪應(yīng)力等于零的截面主應(yīng)力--λ:主平面上的正應(yīng)力代入采用張量下標(biāo)記號Kronekerdelta記號(1.7)(1.8)(1.9)1.1應(yīng)力張量dij記號：Kroneker-delta記號方向余弦滿足條件：采用張量表示聯(lián)合求解l1,l2,l3：l1,l2,l3不全等于0(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1應(yīng)力張量聯(lián)合求解l1,l2,l3：行列式展開后得：簡化后得(1.14)(1.15)式中:是關(guān)于λ的三次方程，它的三個(gè)根，即為三個(gè)主應(yīng)力，其相應(yīng)的三組方向余弦對應(yīng)于三組主平面。主應(yīng)力大小與坐標(biāo)選擇無關(guān)，故J1,J2,J3也必與坐標(biāo)選擇無關(guān)。1.1應(yīng)力張量若坐標(biāo)軸選擇恰與三個(gè)主坐標(biāo)重合：(1.16)主剪應(yīng)力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：(1.17)主剪應(yīng)力面(t1)213t1213t11.1應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸取向,則一點(diǎn)處任一截面上的剪應(yīng)力的計(jì)算式:消去l3：由極值條件1.1應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：第一組解：第二組解：第三組解：它們分別作用在與相應(yīng)主方向成45o的斜截面上因?yàn)椋?.1應(yīng)力張量4).八面體上的應(yīng)力s1s2s3沿主應(yīng)力方向取坐標(biāo)軸，與坐標(biāo)軸等傾角的八個(gè)面組成的圖形，稱為八面體。(1.19)八面體的法線方向余弦：八面體平面上應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為：八面體（每個(gè)坐標(biāo)象限1個(gè)面）或(1.20)1.1應(yīng)力張量4).八面體上的應(yīng)力s1s2s3八面體面上的正應(yīng)力為:八面體面上的剪應(yīng)力為：八面體（每個(gè)坐標(biāo)象限1個(gè)面）(1.23)(1.21)八面體面上的應(yīng)力矢量為：(1.22)平均正應(yīng)力1.1應(yīng)力張量例題:已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由以下一組應(yīng)力分量所確定,即x＝3,y＝0,z＝0,xy＝1,yz

＝2,zx

＝1,應(yīng)力單位為MPa。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力值。代入式(1.14)后得:解:解得主應(yīng)力為:1.2應(yīng)力偏量張量1).應(yīng)力張量分解物體的變形(1.32)體積改變形狀改變由各向相等的應(yīng)力狀態(tài)引起的材料晶格間的移動引起的球應(yīng)力狀態(tài)/靜水壓力彈性性質(zhì)塑性性質(zhì)球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1.2應(yīng)力偏量張量1).應(yīng)力張量分解(1.31)球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量其中:平均正應(yīng)力/靜水壓力1.2應(yīng)力偏量張量2).主偏量應(yīng)力和不變量(1.31)二階對稱張量其中:剪應(yīng)力分量始終沒有變化主偏量應(yīng)力(1.33)1.2應(yīng)力偏量張量證明偏應(yīng)力狀態(tài)的主方向與原應(yīng)力狀態(tài)的主方向重合例:設(shè)原應(yīng)力狀態(tài)主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)得證明：顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(a)中的任意兩式和l12+l22+l32=1所確定。(a)若設(shè)偏應(yīng)力狀態(tài)主方向的方向余弦為l1’,l2’,l3’，則由式(1.9)同樣得：顯然，方向余弦l1’,l2’,l3’將由式(b)中的任意兩式和l1’2+l2’2+l3’2=1所確定。(b)由于:l1=l1’;l2=l2’;l3=l3’可見式(a)與式(b)具有相同的系數(shù)，且已知l12+l22+l32=l1’2+l2’2+l3’2=11.2應(yīng)力偏量張量2).主偏量應(yīng)力和不變量(1.33)偏應(yīng)力狀態(tài)的主方向與原應(yīng)力狀態(tài)的主方向一致,主值為:滿足三次代數(shù)方程式：(1.34)式中J1’,J2’,J3’為不變量(1.35)1.2應(yīng)力偏量張量(1.40)利用J1’=0，不變量J2’還可寫為:(1.38)1.2應(yīng)力偏量張量(1.43)3).等效應(yīng)力(應(yīng)力強(qiáng)度)在彈塑性力學(xué)中，為了使用方便，將乘以系數(shù)后，稱之為等效應(yīng)力(1.41)簡單拉伸時(shí):“等效”的命名由此而來。各正應(yīng)力增加或減少一個(gè)平均應(yīng)力，等效應(yīng)力的數(shù)值不變，這也說明等效應(yīng)力與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)1.2應(yīng)力偏量張量(1.42)4).等效剪應(yīng)力(剪應(yīng)力強(qiáng)度)“等效”的命名由此而來。例題：已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量如右式，試求該點(diǎn)的球形應(yīng)力張量、偏量應(yīng)力張量、等效應(yīng)力及主應(yīng)力數(shù)值。

解：1.2應(yīng)力偏量張量等效應(yīng)力:1.2應(yīng)力偏量張量關(guān)于主應(yīng)力的方程為:由主應(yīng)力求等效應(yīng)力:1.2應(yīng)力偏量張量1.3應(yīng)變張量1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)位移剛性位移變形位移物體內(nèi)各點(diǎn)的位置雖然均有變化，但任意兩點(diǎn)之間的距離卻保持不變。物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的相對距離發(fā)生了改變。要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對位置變動情況，也即研究變形位移位移函數(shù)位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)1.3應(yīng)變張量微小六面體單元的變形當(dāng)物體在一點(diǎn)處有變形時(shí)，小單元體的尺寸(即單元體各棱邊的長度)及形狀(即單元體各面之間所夾直角)將發(fā)生改變。由于變形很微小，可以認(rèn)為兩個(gè)平行面在坐標(biāo)面上的投影只相差高階微量，可忽略不計(jì)。1.3應(yīng)變張量微小六面體單元的變形B點(diǎn)位移分量D點(diǎn)位移分量A點(diǎn)位移分量∠xOy的改變量:1.3應(yīng)變張量變形后AB邊長度的平方:M點(diǎn)沿X方向上的線應(yīng)變:(a)(b)(c)代入(a)得:略去高階微量同理，M點(diǎn)沿Y方向上的線應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量同理:∠xOy的改變量，即剪應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量對角線AC線的轉(zhuǎn)角:剛性轉(zhuǎn)動1.3應(yīng)變張量(1.44)1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)工程應(yīng)變分量：(幾何方程/柯西幾何關(guān)系)1.3應(yīng)變張量(1.45)1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取無限多方向上的線應(yīng)變與剪應(yīng)變(任意兩相互垂直方向所夾直角的改變量)的總和，就表示了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。定義:應(yīng)變張量:(1.46)1.3應(yīng)變張量2).主應(yīng)變及其不變量由全微分公式:M點(diǎn)的位移分量N點(diǎn)的位移分量表示剛性轉(zhuǎn)動，不引起應(yīng)變，計(jì)算應(yīng)變時(shí)可忽略。1.3應(yīng)變張量在主應(yīng)變空間中:主平面法線方向的線應(yīng)變主應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量類似于應(yīng)力張量:eij:二階對稱張量。主應(yīng)變e1,e2,

e3滿足：

ei3-I1ei2-I2ei

-I3

=0

I1、I2、I3

為應(yīng)變張量不變量。其中:(1.47)(1.48)平均正應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量偏量應(yīng)變張量:(1.52)eij的主軸方向與eij

的主方向一致，主值為:e1=e1-e，e2=e2-e，e3=e3-e滿足三次代數(shù)方程式：(1.50)(1.51)I2’應(yīng)用較廣,又可表達(dá)為:1.3應(yīng)變張量等效應(yīng)變(應(yīng)變強(qiáng)度):(1.54)等效剪應(yīng)變(剪應(yīng)變強(qiáng)度):(1.55)1.4應(yīng)變速率張量一般來說物體變形時(shí)，體內(nèi)任一點(diǎn)的變形不但與坐標(biāo)有關(guān)，而且與時(shí)間也有關(guān)。如以u、v、w表示質(zhì)點(diǎn)的位移分量，則:設(shè)應(yīng)變速率分量為:質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度分量1.4應(yīng)變速率張量線應(yīng)變速率在小變形情況下，應(yīng)變速率分量與應(yīng)變分量之間存在有簡單關(guān)系:剪應(yīng)變速率1.4應(yīng)變速率張量在小變形情況下的應(yīng)變速率張量:(1.56)可縮寫為在一般情況下，應(yīng)變速率主方向與應(yīng)變主方向不重合，且在加載過程中發(fā)生變化。1.4應(yīng)變速率張量應(yīng)變增量:應(yīng)變增量由位移增量微分得：由于時(shí)間度量的絕對值對塑性規(guī)律沒有影響，因此dt可不代表真實(shí)時(shí)間，而是代表一個(gè)加載過程。因而用應(yīng)變增量張量來代替應(yīng)變率張量更能表示不受時(shí)間參數(shù)選擇的特點(diǎn)。(1.57)應(yīng)變微分由兩時(shí)刻應(yīng)變差得：泰勒級數(shù)展開高階微量忽略高階微量1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）:任一斜面上應(yīng)力位于陰影線內(nèi)ms=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1如果介質(zhì)中某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力的大小為已知，便可以在-平面內(nèi)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓。1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.61)1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.63)式(1.63)表明，當(dāng)一點(diǎn)處于空間應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，過該點(diǎn)的任一斜截面上的一對應(yīng)力分量、一定落在分別以(1-2)／2、(2-3)／2、(3-1)／2為半徑的三個(gè)圓的圓周所包圍的陰影面積(包括三個(gè)圓周)之內(nèi)。1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)若在一應(yīng)力狀態(tài)上再疊加一個(gè)球形應(yīng)力狀態(tài)(各向等拉或各向等壓)，則應(yīng)力圓的三個(gè)直徑并不改變，只是整個(gè)圖形沿橫軸發(fā)生平移。應(yīng)力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應(yīng)力張量；而各圓的大小(直徑)則取決于偏應(yīng)力張量，與球形應(yīng)力張量無關(guān)。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力按同一比例縮小或增大(應(yīng)力分量的大小有改變，但應(yīng)力狀態(tài)的形式不變)，則應(yīng)力圓的三個(gè)直徑也按同一比例縮小或增大，即應(yīng)力變化前后的兩個(gè)應(yīng)力圓是相似的。這種情況相當(dāng)于偏量應(yīng)力張量的各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。

1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)二、應(yīng)力Lode參數(shù):幾何意義:應(yīng)力圓上Q2A與Q1A之比，或兩內(nèi)圓直徑之差與外圓直徑之比。球形應(yīng)力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常把這一因素分離出來，而著重研究偏量應(yīng)力張量。為此，引進(jìn)參數(shù)——Lode參數(shù)：Lode參數(shù)：表征Q2在Q1與Q3之間的相對位置，反映中間主應(yīng)力對屈服的貢獻(xiàn)。AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)應(yīng)力Lode參數(shù)的物理意義：1、與平均應(yīng)力無關(guān)；2、其值確定了應(yīng)力圓的三個(gè)直徑之比；3、如果兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)相等，就說明兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的應(yīng)力圓是相似的，即偏量應(yīng)力張量的形式相同；Lode參數(shù)是排除球形應(yīng)力張量的影響而描繪應(yīng)力狀態(tài)特征的一個(gè)參數(shù)。它可以表征偏應(yīng)力張量的形式。(1.65)1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)簡單應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)：Q3OQ1Q2stAQ1OQ2Q3stA單向壓縮(s1=s2=0,s3<0)單向拉伸(s1>0,s2=s3=0)