cht10 相關系數與Copula函數

相關系數與Copula函數Chapter10

,金融風險管理

張學功1CorrelationandCovarianceThecoefficientofcorrelationbetweentwovariablesV1andV2isdefinedasThecovarianceis

E(V1V2)?E(V1)E(V2)金融風險管理張學功2IndependenceV1andV2areindependentiftheknowledgeofonedoesnotaffecttheprobabilitydistributionfortheother wheref(.)denotestheprobabilitydensityfunction金融風險管理張學功3IndependenceisNottheSameasZeroCorrelationSupposeV1=–1,0,or+1(equallylikely)IfV1=-1orV1=+1thenV2

=1IfV1

=0thenV2=0 V2isclearlydependentonV1(andviceversa)butthecoefficientofcorrelationiszero金融風險管理張學功4TypesofDependence(Figure11.1,page235)

金融風險管理張學功5E(Y)XE(Y)E(Y)X(a)(b)(c)XMonitoringCorrelationBetweenTwoVariablesXandYDefinexi=(Xi?Xi-1)/Xi-1andyi=(Yi?Yi-1)/Yi-1Alsovarx,n:dailyvarianceofXcalculatedondayn-1vary,n:dailyvarianceofYcalculatedondayn-1covn:covariancecalculatedondayn-1Thecorrelationis金融風險管理張學功6CovarianceThecovarianceondaynisE(xnyn)?E(xn)E(yn)ItisusuallyapproximatedasE(xnyn)金融風險管理張學功7MonitoringCorrelationcontinued EWMA:

GARCH(1,1)金融風險管理張學功8金融風險管理張學功9假設λ=0.95，m變量X及Y在第n-1天的相關系數估計為0.6，同時我們又假設變量X及Y在第n-1天的技動率估計分別為1%及2%。由協(xié)方差及相關系數的關系式，在第n-1天的協(xié)方差估計為0.6x0.01x0.02=0.00012假定變量X及Y在第n-1天的百分比變化分別為0.5%及2.5%，在第n天的方差及協(xié)方差的估計分別為σ2X，n=0.95x0.012+0.05x0.005=0.00009625σ2Y，n

=0.95x0.02+0.05x0.0252=0.00041125COVn=0.95x0.00012+0.05x0.005x0.025=0.00012025變量X的最新波動率估計為;變量Y的最新波動率估計為，X及Y的最新相關系數為PositiveFiniteDefiniteCondition

Avariance-covariancematrix,W,isinternallyconsistentifthepositivesemi-definiteconditionwTWw≥0 holdsforallvectorsw金融風險管理張學功10Example Thevariancecovariancematrix isnotinternallyconsistent金融風險管理張學功11V1andV2BivariateNormalConditionalonthevalueofV1,V2isnormalwithmean

andstandarddeviationwherem1,,m2,s1,ands2aretheunconditionalmeansandSDsofV1andV2andristhecoefficientofcorrelationbetweenV1andV2金融風險管理張學功12N元聯合正態(tài)分布的隨機抽樣生成n個相互獨立，并且服從正態(tài)分布的隨機抽樣Zi

，則n元正態(tài)隨機分布變量為：這個過程稱為Cholesky分解方法，此過程產生的方差協(xié)方差矩陣需要滿足一致性條件，矩陣必須為半正定矩陣。b金融風險管理張學功13因子模型WhenthereareNvariables,Vi(i=1,2,..N),inamultivariatenormaldistributionthereareN(N?1)/2correlationsWecanreducethenumberofcorrelationparametersthathavetobeestimatedwithafactormodel金融風險管理張學功14One-FactorModelcontinued

金融風險管理張學功15IfUihavestandardnormaldistributionswecanset

wherethecommonfactorFandtheidiosyncraticcomponentZi

haveindependentstandardnormaldistributionsCorrelationbetweenUi

andUj

isaiaj單一因子模型的優(yōu)點是這一模型對于相關結構做了某種假設，在沒有因子模型的前提下，我們必須對N個變量之間的相關性進行估計，這就造成我們需要估計N(N-l)/2個參數，而在因子模型的前提下，我們只需要估計等N個參數。資本資產定價模型是單一因子模型的特例，其中股票的回報與某單一市場變量及若干相互獨立的特殊(idiosyncratic)非系統(tǒng)變量有關。單一因子模型可以被推廣到M個因子模型，在M個因子模型中因子，服從標準正態(tài)分布，并且相互獨立，因子Zi

之間相互獨立，并且每一個Zi與所有的F因子也相互獨立，這時的相關系數為金融風險管理張學功16GaussianCopulaModels假定已經對及的邊際分布有所估計，那么如何確定變量之間的聯合分布。當

及的邊際分布均為正態(tài)分布時，一種方便的做法是假設及服從二元正態(tài)分布。但是對于兩個不同的邊際分布，并沒有一個自然的方式來定義相關結構，這就是我們需要引人Copula函數的原因。金融風險管理張學功17GaussianCopulaModels:

CreatingacorrelationstructureforvariablesthatarenotnormallydistributedSupposewewishtodefineacorrelationstructurebetweentwovariableV1andV2thatdonothavenormaldistributionsWetransformthevariableV1toanewvariableU1thathasastandardnormaldistributionona“percentile-to-percentile”basis.WetransformthevariableV2toanewvariableU2thathasastandardnormaldistributionona“percentile-to-percentile”basis.U1andU2areassumedtohaveabivariatenormaldistribution金融風險管理張學功18TheCorrelationStructureBetweentheV’sisDefinedbythatBetweentheU’s

金融風險管理張學功19-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2One-to-onemappingsCorrelationAssumptionV1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2One-to-onemappingsCorrelationAssumptionExample(page241)金融風險管理張學功20V1V2V1MappingtoU1金融風險管理張學功21V1PercentileU10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2MappingtoU2金融風險管理張學功22V2PercentileU20.28?1.410.432?0.470.6680.470.8921.41金融風險管理張學功23假定U1及U2服從正態(tài)分布，他們的聯合分布為二元正態(tài)分布，由此可以推導出V1及V2的聯合分布以及相關結構。其相關性，我們將出V1及V2映射到狀態(tài)較好(well-behaved)的分布上。假定U1及U2的相關系統(tǒng)為0.5，10-3顯示出U1及U2的聯合分布。為了說明計算過程，我們首先考慮如何計算V1<0.1及V2

<0.1的概率，從表10-1及表10-2出發(fā)，我們知道這一概率同U1<-1.64及U2<-2.05的概率相同，通過兩元正態(tài)分布，我們可以得出在ρ=0.5的情形下這一概率數值為0.006(=0的情形下，這一概率僅僅為0.02x0.05=0.001)。ExampleofCalculationofJointCumulativeDistributionProbabilitythatV1andV2arebothlessthan0.2istheprobabilitythatU1<?0.84andU2<?1.41Whencopulacorrelationis0.5thisis M(?0.84,?1.41,0.5)=0.043

where

Misthecumulativedistributionfunctionforthebivariatenormaldistribution金融風險管理張學功24金融風險管理張學功25U1及U2的相關系數被定義為Copula相關系數，這一相關系數與通常意義V1及V2的相關系數不同，因為U1及U2服從二元正態(tài)分布，U1的條件期望值與U2有線性關系，U2的條件標準差為常數，但是對于V1及V2卻沒有類似的結論。10.4.1Copula函數的代數表達形式金融風險管理張學功26假定G1及G2

分別為V1及V2的累積邊際概率分布函數，我們將V1=v1映射到U1=u1，V2=v2映射到U2=u2映射方式如下：G1(v1)=N(u1)及G2(v2)=N(u2)其中N代表累積正態(tài)分布函數，這意味著u1=N-1[G(v1)]，u2=N-1[G(v2)]v1=G-1[N(u1)]，v2=G-1[N(u2)]變量U1及U2被假設為服從二元正態(tài)分布，Copula函數的主要特征就是在定義其相關結構時，V1及V2的邊際分布沒有任何改變(不管邊際分布是何種形式)。OtherCopulasInsteadofabivariatenormaldistributionforU1andU2wecanassumeanyotherjointdistributionOnepossibilityisthebivariateStudenttdistributionEviews8：genrt=@rtdist(10)matlab：

R=trnd(V)

R=trnd(V,m)

R=trnd(V,m,n)金融風險管理張學功275000RandomSamplesfromtheBivariateNormal

mvnrnd（mu,sigma,cases,t)matlab金融風險管理張學功2810.4.3尾部相關性5000RandomSamplesfromtheBivariateStudenttR=MVTRND(C,DF,CASES)

CisacorrelationmatrixandDFisthedegreesoffreedom.

CASESisthenumberofrowsinR.T=mvtrnd([1-0.9;-0.91],nu,n);

生成兩個相關系數為0.9，自由度nu，數據個數為n的分布金融風險管理張學功29MultivariateGaussianCopulaWecansimilarlydefineacorrelationstructurebetweenV1,V2,…VnWetransformeachvariableVi

toanewvariableUithathasastandardnormaldistributionona“percentile-to-percentile”basis.TheU’sareassumedtohaveamultivariatenormaldistribution金融風險管理張學功30

10.4.5因子Copula模型在多元Copula模型中，常常假定變量Ui之間的相關性由某種因子來決定。F及Zi分別服從標準正態(tài)分布，Zi之間相互獨立，Zi與F之間也相互獨立。其他形式的因子Copula模型在選擇因子時也通常要保證F及Zi的期望值為0、標準差為1的條件，但F及Zi的分布可以是其他形式。例如，Zi為正態(tài)分布，F為學生t-分布，Ui之間服從多元學生t-分布，選擇不同的分布會影響變量之間的相關性。金融風險管理張學功31CreditDefaultCorrelation假定在一個貸款組合中涉及N個公司，定義Ti（1≤i≤N）為公司i的違約時間。定義Qi為Ti的累積概率分布。i為了應用一元高斯Copula模型來描述Ti之間的相關結構，我們將變量Ti的分位數與Ui的分位數之間進行一-對應的映射，我們假定Ui滿足式(10-8)，F及Zi分別服從標準正態(tài)分布，Zi之間相互獨立，Zi與F之間也相互獨立。從而有：Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)，U

=N-1[Qi(T)]金融風險管理張學功32在因子F的條件下，Ui<U的條件概率為ToanalyzethemodelweCalculatetheprobabilitythat,conditionalonthevalueofF,UiislessthansomevalueUThisisthesameastheprobabilitythatTiislessthatTwhereTandUarethesamepercentilesoftheirdistributionsThisleadsto金融風險管理張學功33金融風險管理張學功34我們假定對于所有不同i，違約時間的分布Qi均等于Q，意味著所有公司之間的Copula相關系數均等同，此量被記為，因為公司i與公司j之間Copula相關系數為，因此對于所有的i，我們有，式(10-11)變化為對于一個較大的貸款組合，以上表達式是對貸款組合違約比率的很好的估計，我們將以上表達式定義為違約率(defaultrate)。當F減小時，違約率會增加，那么違約率的最壞狀況是怎樣的呢?因為F服從標準正態(tài)分布，F<N-1(y)的概率為y，違約率大于的概率是Y。TheModelcontinued定義WCDR(T，X)為有X%把握，違約率沒有被超過所對應的數量。TheX%worstcasevalueofFisN-1(X)Thewor